浙江省溫州市溫州中學2024-2025學年高三下學期開學考數(shù)學試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．給出下列三個命題：①“”的否定；②在中，“”是“”的充要條件；③將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．其中假命題的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．32．已知，是兩條不重合的直線，，是兩個不重合的平面，則下列命題中錯誤的是（）A．若，，則或B．若，，，則C．若，，，則D．若，，則3．雙曲線C：（，）的離心率是3，焦點到漸近線的距離為，則雙曲線C的焦距為（）A．3 B． C．6 D．4．已知，是函數(shù)圖像上不同的兩點，若曲線在點，處的切線重合，則實數(shù)的最小值是（）A． B． C． D．15．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則（）A． B．6 C．4 D．56．已知命題p:直線a∥b，且b?平面α，則a∥α；命題q:直線l⊥平面α，任意直線m?α，則l⊥m.下列命題為真命題的是（）A．p∧q B．p∨（非q） C．（非p）∧q D．p∧（非q）7．已知類產(chǎn)品共兩件，類產(chǎn)品共三件，混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分開來，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件類產(chǎn)品或者檢測出3件類產(chǎn)品時，檢測結(jié)束，則第一次檢測出類產(chǎn)品，第二次檢測出類產(chǎn)品的概率為（）A． B． C． D．8．設(shè)集合，，則()A． B．C． D．9．如圖，圓錐底面半徑為，體積為，、是底面圓的兩條互相垂直的直徑，是母線的中點，已知過與的平面與圓錐側(cè)面的交線是以為頂點的拋物線的一部分，則該拋物線的焦點到圓錐頂點的距離等于（）A． B．1 C． D．10．已知是定義是上的奇函數(shù)，滿足，當時，，則函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)是（）A．3 B．5 C．7 D．911．設(shè)i是虛數(shù)單位，若復數(shù)（）是純虛數(shù)，則m的值為（）A． B． C．1 D．312．由曲線y＝x2與曲線y2＝x所圍成的平面圖形的面積為()A．1 B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知一個正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角為，側(cè)面積為，則該棱錐的體積為__________．14．函數(shù)在上的最小值和最大值分別是_____________．15．“北斗三號”衛(wèi)星的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓.設(shè)地球半徑為R,若其近地點?遠地點離地面的距離大約分別是,,則“北斗三號”衛(wèi)星運行軌道的離心率為__________.16．已知為拋物線：的焦點，過作兩條互相垂直的直線，，直線與交于、兩點，直線與交于、兩點，則的最小值為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某調(diào)查機構(gòu)為了了解某產(chǎn)品年產(chǎn)量x(噸)對價格y(千克/噸)和利潤z的影響，對近五年該產(chǎn)品的年產(chǎn)量和價格統(tǒng)計如下表：x12345y17.016.515.513.812.2（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）若每噸該產(chǎn)品的成本為12千元，假設(shè)該產(chǎn)品可全部賣出，預(yù)測當年產(chǎn)量為多少時，年利潤w取到最大值？參考公式：18．（12分）設(shè)點，分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓上任意一點，且的最小值為1．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，動直線與橢圓有且僅有一個公共點，點，是直線上的兩點，且，，求四邊形面積的最大值．19．（12分）過點作傾斜角為的直線與曲線（為參數(shù)）相交于M、N兩點．（1）寫出曲線C的一般方程；（2）求的最小值．20．（12分）在中國，不僅是購物，而且從共享單車到醫(yī)院掛號再到公共繳費，日常生活中幾乎全部領(lǐng)域都支持手機支付.出門不帶現(xiàn)金的人數(shù)正在迅速增加。中國人民大學和法國調(diào)查公司益普索合作，調(diào)查了騰訊服務(wù)的6000名用戶，從中隨機抽取了60名，統(tǒng)計他們出門隨身攜帶現(xiàn)金（單位：元）如莖葉圖如示，規(guī)定：隨身攜帶的現(xiàn)金在100元以下（不含100元）的為“手機支付族”，其他為“非手機支付族”.（1）根據(jù)上述樣本數(shù)據(jù)，將列聯(lián)表補充完整，并判斷有多大的把握認為“手機支付族”與“性別”有關(guān)？（2）用樣本估計總體，若從騰訊服務(wù)的用戶中隨機抽取3位女性用戶，這3位用戶中“手機支付族”的人數(shù)為，求隨機變量的期望和方差；（3）某商場為了推廣手機支付，特推出兩種優(yōu)惠方案，方案一：手機支付消費每滿1000元可直減100元；方案二：手機支付消費每滿1000元可抽獎2次，每次中獎的概率同為，且每次抽獎互不影響，中獎一次打9折，中獎兩次打8.5折.如果你打算用手機支付購買某樣價值1200元的商品，請從實際付款金額的數(shù)學期望的角度分析，選擇哪種優(yōu)惠方案更劃算？附：0.0500.0100.0013.8416.63510.82821．（12分）已知都是大于零的實數(shù)．（1）證明；（2）若，證明．22．（10分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的離心率為，且過點.為橢圓的右焦點，為橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，連接分別交橢圓于兩點.⑴求橢圓的標準方程；⑵若，求的值；⑶設(shè)直線，的斜率分別為，，是否存在實數(shù)，使得，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

結(jié)合不等式、三角函數(shù)的性質(zhì),對三個命題逐個分析并判斷其真假,即可選出答案.【詳解】對于命題①,因為,所以“”是真命題,故其否定是假命題,即①是假命題;對于命題②,充分性:中,若,則,由余弦函數(shù)的單調(diào)性可知,,即,即可得到,即充分性成立;必要性:中,,若,結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可知,,即,可得到,即必要性成立.故命題②正確;對于命題③,將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,可得到的圖象,即命題③是假命題．故假命題有①③.故選:C本題考查了命題真假的判斷,考查了余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,考查了三角函數(shù)圖象的平移變換,考查了學生的邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.2．D【解析】

根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì)，可判定A；由線面平行的判定定理，可判斷B；C中可判斷，所成的二面角為；D中有可能，即得解.【詳解】選項A：若，，根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì)，有或，故A正確；選項B：若，，，由線面平行的判定定理，有，故B正確；選項C：若，，，故，所成的二面角為，則，故C正確；選項D，若，，有可能，故D不正確.故選：D本題考查了空間中的平行垂直關(guān)系判斷，考查了學生邏輯推理，空間想象能力，屬于中檔題.3．A【解析】

根據(jù)焦點到漸近線的距離，可得，然后根據(jù)，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：雙曲線的漸近線方程為取右焦點，一條漸近線則點到的距離為，由所以，則又所以所以焦距為：故選：A本題考查雙曲線漸近線方程，以及之間的關(guān)系，識記常用的結(jié)論：焦點到漸近線的距離為，屬基礎(chǔ)題.4．B【解析】

先根據(jù)導數(shù)的幾何意義寫出在兩點處的切線方程，再利用兩直線斜率相等且縱截距相等，列出關(guān)系樹，從而得出，令函數(shù)，結(jié)合導數(shù)求出最小值，即可選出正確答案.【詳解】解：當時，，則;當時，則.設(shè)為函數(shù)圖像上的兩點，當或時，，不符合題意，故.則在處的切線方程為；在處的切線方程為.由兩切線重合可知，整理得.不妨設(shè)則，由可得則當時，的最大值為.則在上單調(diào)遞減，則.故選:B.本題考查了導數(shù)的幾何意義，考查了推理論證能力，考查了函數(shù)與方程、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法.本題的難點是求出和的函數(shù)關(guān)系式.本題的易錯點是計算.5．D【解析】

由對數(shù)運算法則和等比數(shù)列的性質(zhì)計算．【詳解】由題意．故選：D．本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查對數(shù)的運算法則．掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．C【解析】

首先判斷出為假命題、為真命題，然后結(jié)合含有簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性，判斷出正確選項.【詳解】根據(jù)線面平行的判定，我們易得命題若直線，直線平面，則直線平面或直線在平面內(nèi)，命題為假命題；根據(jù)線面垂直的定義，我們易得命題若直線平面，則若直線與平面內(nèi)的任意直線都垂直，命題為真命題.故:A命題“”為假命題；B命題“”為假命題；C命題“”為真命題；D命題“”為假命題.故選：C.本小題主要考查線面平行與垂直有關(guān)命題真假性的判斷，考查含有簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假性判斷，屬于基礎(chǔ)題.7．D【解析】

根據(jù)分步計數(shù)原理，由古典概型概率公式可得第一次檢測出類產(chǎn)品的概率，不放回情況下第二次檢測出類產(chǎn)品的概率，即可得解.【詳解】類產(chǎn)品共兩件，類產(chǎn)品共三件，則第一次檢測出類產(chǎn)品的概率為；不放回情況下，剩余4件產(chǎn)品，則第二次檢測出類產(chǎn)品的概率為；故第一次檢測出類產(chǎn)品，第二次檢測出類產(chǎn)品的概率為；故選：D.本題考查了分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用，古典概型概率計算公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8．D【解析】

利用一元二次不等式的解法和集合的交運算求解即可.【詳解】由題意知,集合,,由集合的交運算可得,.故選:D本題考查一元二次不等式的解法和集合的交運算;考查運算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.9．D【解析】

建立平面直角坐標系，求得拋物線的軌跡方程，解直角三角形求得拋物線的焦點到圓錐頂點的距離.【詳解】將拋物線放入坐標系，如圖所示，∵，，，∴，設(shè)拋物線，代入點，可得∴焦點為，即焦點為中點，設(shè)焦點為，，，∴.故選：D本小題考查圓錐曲線的概念，拋物線的性質(zhì)，兩點間的距離等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，空間想象能力，推理論證能力，應(yīng)用意識.10．D【解析】

根據(jù)是定義是上的奇函數(shù)，滿足，可得函數(shù)的周期為3，再由奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知可得，利用周期性可得函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)．【詳解】∵是定義是上的奇函數(shù)，滿足，，可得，

函數(shù)的周期為3，

∵當時，，

令，則，解得或1，

又∵函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，

∴在區(qū)間上，有．

由，取，得，得，

∴．

又∵函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)，

∴方程=0在區(qū)間上的解有共9個，

故選D．本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，考查抽象函數(shù)周期性的應(yīng)用，考查邏輯思維能力與推理論證能力，屬于中檔題．11．A【解析】

根據(jù)復數(shù)除法運算化簡，結(jié)合純虛數(shù)定義即可求得m的值.【詳解】由復數(shù)的除法運算化簡可得，因為是純虛數(shù)，所以，∴，故選：A.本題考查了復數(shù)的概念和除法運算，屬于基礎(chǔ)題.12．B【解析】

首先求得兩曲線的交點坐標，據(jù)此可確定積分區(qū)間，然后利用定積分的幾何意義求解面積值即可.【詳解】聯(lián)立方程：可得：，，結(jié)合定積分的幾何意義可知曲線y＝x2與曲線y2＝x所圍成的平面圖形的面積為：.本題選擇B選項.本題主要考查定積分的概念與計算，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

如圖所示，正四棱錐，為底面的中心，點為的中點，則，設(shè)，根據(jù)正四棱錐的側(cè)面積求出的值，再利用勾股定理求得正四棱錐的高，代入體積公式，即可得到答案.【詳解】如圖所示，正四棱錐，為底面的中心，點為的中點，則，設(shè)，，，，，，.故答案為：.本題考查棱錐的側(cè)面積和體積，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運算求解能力.14．【解析】

求導，研究函數(shù)單調(diào)性，分析，即得解【詳解】由題意得，，令，解得，令，解得.在上遞減，在遞增．，而，故在區(qū)間上的最小值和最大值分別是．故答案為：本題考查了導數(shù)在函數(shù)最值的求解中的應(yīng)用，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題15．【解析】

畫出圖形，結(jié)合橢圓的定義和題設(shè)條件，求得的值，即可求得橢圓的離心率，得到答案.【詳解】如圖所示，設(shè)橢圓的長半軸為，半焦距為，因為地球半徑為R,若其近地點?遠地點離地面的距離大約分別是,,可得，解得，所以橢圓的離心率為.故答案為：.本題主要考查了橢圓的離心率的求解，其中解答中熟記橢圓的幾何性質(zhì)，列出方程組，求得的值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.16．16.【解析】由題意可知拋物線的焦點，準線為設(shè)直線的解析式為∵直線互相垂直∴的斜率為與拋物線的方程聯(lián)立，消去得設(shè)點由跟與系數(shù)的關(guān)系得，同理∵根據(jù)拋物線的性質(zhì)，拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離∴，同理∴，當且僅當時取等號.故答案為16點睛：（1）與拋物線有關(guān)的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)．利用定義可將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，可以使運算化繁為簡．“看到準線想焦點，看到焦點想準線”，這是解決拋物線焦點弦有關(guān)問題的重要途徑；（2）圓錐曲線中的最值問題，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的條件．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）當時，年利潤最大．【解析】

（1）方法一：令，先求得關(guān)于的回歸直線方程，由此求得關(guān)于的回歸直線方程.方法二：根據(jù)回歸直線方程計算公式，計算出回歸直線方程.方法一的好處在計算的數(shù)值較小.（2）求得w的表達式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)作出預(yù)測.【詳解】（1）方法一：取，則得與的數(shù)據(jù)關(guān)系如下123457.06.55.53.82.2，，，.，，關(guān)于的線性回歸方程是即，故關(guān)于的線性回歸方程是.方法二：因為，，，，，所以，故關(guān)于的線性回歸方程是，（2）年利潤，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知:當時，年利潤最大．本小題主要考查回歸直線方程的求法，考查利用回歸直線方程進行預(yù)測，考查運算求解能力，屬于中檔題.18．（1）；（2）2.【解析】

（1）利用的最小值為1，可得，，即可求橢圓的方程；（2）將直線的方程代入橢圓的方程中，得到關(guān)于的一元二次方程，由直線與橢圓僅有一個公共點知，即可得到，的關(guān)系式，利用點到直線的距離公式即可得到，．當時，設(shè)直線的傾斜角為，則，即可得到四邊形面積的表達式，利用基本不等式的性質(zhì)，結(jié)合當時，四邊形是矩形，即可得出的最大值．【詳解】（1）設(shè)，則，，，，由題意得，，橢圓的方程為；

（2）將直線的方程代入橢圓的方程中，得．

由直線與橢圓僅有一個公共點知，，化簡得：．

設(shè)，，當時，設(shè)直線的傾斜角為，則，，，，∴當時，，，．當時，四邊形是矩形，．

所以四邊形面積的最大值為2．本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、向量知識、二次函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想．19．（1）；（2）．【解析】

（1）將曲線的參數(shù)方程消參得到普通方程；（2）寫出直線MN的參數(shù)方程，將參數(shù)方程代入曲線方程，并將其化為一個關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)，結(jié)合韋達定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出的最小值.【詳解】（1）由曲線C的參數(shù)方程（是參數(shù)），可得，即曲線C的一般方程為．（2）直線MN的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），將直線MN的參數(shù)方程代入曲線，得，整理得，設(shè)M，N對應(yīng)的對數(shù)分別為，，則，當時，取得最小值為．該題考查的是有關(guān)參數(shù)方程的問題，涉及到的知識點有參數(shù)方程向普通方程的轉(zhuǎn)化，直線的參數(shù)方程的應(yīng)用，屬于簡單題目.20．（1）列聯(lián)表見解析，99%；（2），；（3）第二種優(yōu)惠方案更劃