專題01質數那些事

閱讀與思考

一個大于1的自然數如果只能被1和本身整除，就叫作質數(也叫素數)；如果能被1和本身以外的

自然數整除，就叫作合數；自然數1既不是質數，也不是合數，叫作單位數．這樣，我們可以按約數個

數將正整數分為三類：

單位1

正整數質數

合數

關于質數、合數有下列重要性質：

1．質數有無窮多個，最小的質數是2，但不存在最大的質數，最小的合數是4．

2．1既不是質數，也不是合數；2是唯一的偶質數．

3．若質數p|ab，則必有p|a或p|b．

4．算術基本定理：任意一個大于1的整數N能唯一地分解成k個質因數的乘積(不考慮質因數之間

的順序關系)：

a1a2ak，其中，為質數，為非負數，，，…，．

N=P1P2PkP1P2PkPiai(i=123k)

正整數的正約數的個數為＋＋…＋，所有正約數的和為＋＋…＋a1＋

N(1a1)(1a1)(1a1)(1P1P1)(1P2

＋…＋a2…＋＋…＋ak．

P2)(1PkPk)

例題與求解

【例1】已知三個質數a，b，c滿足a＋b＋c＋abc=99，那么abbcca的值等于

_________________．

(江蘇省競賽試題)

解題思想：運用質數性質，結合奇偶性分析，推出a，b，c的值．

【例2】若p為質數，p3＋5仍為質數，則p5＋7為()

A．質數B．可為質數，也可為合數

C．合數D．既不是質數，也不是合數

(湖北省黃岡市競賽試題)

解題思想：從簡單情形入手，實驗、歸納與猜想．

【例3】求這樣的質數，當它加上10和14時，仍為質數．

(上海市競賽試題)

解題思想：由于質數的分布不規則，不妨從最小的質數開始進行實驗，另外，需考慮這樣的質數是

否唯一，按剩余類加以深入討論．

【例4】⑴將1，2，…，2004這2004個數隨意排成一行，得到一個數n，求證：n一定是合數．

⑵若n是大于2的正整數，求證：2n－1與2n＋1中至多有一個質數．

⑶求360的所有正約數的倒數和．

(江蘇省競賽試題)

解題思想：⑴將1到2004隨意排成一行，由于中間的數很多，不可能一一排出，不妨找出無論怎

樣排，所得數都有非1和本身的約數；⑵只需說明2n－1與2n＋1中必有一個是合數，不能同為質數即

可；⑶逐個求解正約數太麻煩，考慮整體求解．

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【例5】設x和y是正整數，x≠y，p是奇質數，并且，求x＋y的值．

xyp

解題思想：由題意變形得出p整除x或y，不妨設xtp．由質數的定義得到2t－1=1或2t－

1=p．由x≠y及2t－1為質數即可得出結論．

【例6】若一個質數的各位數碼經任意排列后仍然是質數，則稱它是一個“絕對質數”[如2，3，5，

7，11，13(31)，17(71)，37(73)，79(97)，113(131，311)，199(919，991)，337(373，733)，…都是質數]．求

證：絕對質數的各位數碼不能同時出現數碼1，3，7，9．

(青少年國際城市邀請賽試題)

解題思想：一個絕對質數如果同時含有數字1，3，7，9，則在這個質數的十進制表示中，不可能含

有數字0，2，4，5，6，8，否則，進行適當排列后，這個數能被2或5整除．

能力訓練

A級

1．若a，b，c，d為整數，a2b2c2d2=1997，則a2b2c2d2=________．

2．在1，2，3，…，n這個n自然數中，已知共有p個質數，q個合數，k個奇數，m個偶數，

則(q－m)＋(p－k)=__________．

3．設a，b為自然數，滿足1176a=b3，則a的最小值為__________．

(“希望杯”邀請賽試題)

4．已知p是質數，并且p6＋3也是質數，則p11－48的值為____________．

(北京市競賽試題)

5．任意調換12345各數位上數字的位置，所得的五位數中質數的個數是()

A．4B．8C．12D．0

6．在2005，2007，2009這三個數中，質數有()

A．0個B．1個C．2個D．3個

(“希望杯”邀請賽試題)

7．一個兩位數的個位數字和十位數字變換位置后，所得的數比原來的數大9，這樣的兩位中，質數

有()

A．1個B．3個C．5個D．6個

(“希望杯”邀請賽試題)

8．設p，q，r都是質數，并且p＋q=r，p<q．求p．

9．寫出十個連續的自然數，使得個個都是合數．

(上海市競賽試題)

10．在黑板上寫出下面的數2，3，4，…，1994，甲先擦去其中的一個數，然后乙再擦去一個數，

如此輪流下去，若最后剩下的兩個數互質，則甲勝；若最后剩下的兩個數不互質，則乙勝，你如果想勝，

應當選甲還是選乙？說明理由．

(五城市聯賽試題)

11．用正方形的地磚不重疊、無縫隙地鋪滿一塊地，選用邊長為xcm規格的地磚，恰用n塊，若

選用邊長為ycm規格的地磚，則要比前一種剛好多用124塊，已知x，y，n都是正整數，且(x，y)=1，

試問這塊地有多少平方米？

(湖北省荊州市競賽試題)

B級

1．若質數m，n滿足5m＋7n=129，則m＋n的值為__________．

ppqq

2．已知p，q均為質數，并且存在兩個正整數m，n，使得p=m＋n，q=m×n，則

mnnm

的值為__________．

3．自然數a，b，c，d，e都大于1，其乘積abcde=2000，則其和a＋b＋c＋d＋e的最大

值為__________，最小值為____________．

(“五羊杯”競賽試題)

4．機器人對自然數從1開始由小到大按如下的規則染色：凡能表示為兩個合數之和的自然數都染

成紅色，不合上述要求的自然數都染成黃色，若被染成紅色的數由小到大數下去，則第1992個數是

_______________．

(北京市“迎春杯”競賽試題)

5．若a，b均為質數，且滿足a11＋b=2089，則49b－a=_________．

A．0B．2007C．2008D．2010

(“五羊杯”競賽試題)

6．設a為質數，并且7a2＋8和8a2＋7也都為質數，記x=77a＋8，y=88a＋7，則在以下情形

中，必定成立的是()

A．x，y都是質數B．x，y都是合數

C．x，y一個是質數，一個是合數D．對不同的a，以上皆可能出現