專題11設元的技巧

閱讀與思考

應用數學知識和方法解決實際問題是學習數學的重要目的之一．應用題聯系實際，反映現實生活

中的數量關系，通過解應用題可以培養運用數學知識去分析和解決問題的能力．

列方程解應用題，一般有審題、設元、布列方程、解方程、作答等幾個步驟．恰當地設元是列方

程解應用題的關鍵步驟之一，常見的設元技巧有：

1．直接設元

題目要求什么量，就設什么量為未知數，或有幾個要求的量，而設其中的某一個量為未知數．

2．間接設元

即所沒的不是所求的，適當地選擇與題目要求的未知數有關的某個量為未知數，則易找出符合題

意的數量關系，從而列出方程．

3．輔助設元

有些應用題中隱含一些未知的常量，這些量對于求解無直接聯系，但如果不指明這些量的存在，

則難求其解，因而需把這些未知的常量設為參數，作為橋梁幫助思考，這就是輔助設元．

4．整體設元

有些應用題未知量太多而已知關系又少，如果在未知數的某一部分存在一個整體關系，可設這

一部分為一個未知數，這樣就減少了設元的個數，這就是整體設元．

例題與求解

【例1】某編輯用0~9這10個數字給一本書的各頁標上頁碼，若共寫了636個數字，則該書有

____頁.

解題思路：依題意可知該書頁碼的數字組成有三種：一個數字、兩個數字、三個數字.一共有

636個數字，可設直接未知數，列方程求解．

找出能夠表示應用題全部含義的一個相等關系是列方程解應用題又一關鍵．尋找相等關系常用

方法有：

①從關鍵詞中尋找相等關系；

②利用基本公式尋找相等關系；

③利用不變量尋找相等關系；

④對一種“量”，從不同的角度進行表述（即計算兩次），形成一種相等關系．

行程問題、工程問題、勞力分配問題、濃度問題、數字問題等是列方程解應用題的基本類型，

此外，還有趣味問題（如年齡、時鐘等）、經濟問題（如銀行存款、銷售利潤等），盡管形式多變，但是

解題實質未變，需要我們用數學觀點，理清數量關系，恰當設未知數，準確列方程．

【例2】某服裝廠生產某種定型冬裝，9月份銷售冬裝的利潤（每件冬裝的利潤＝出廠價一成

本）是出廠價的25%，10月份將每件冬裝的出廠價調低10%（每件冬裝的成本不變），銷售件數比9月

份增加80%，那么該廠10月份銷售這種冬裝的利潤總額比9月份的利潤總額增長()。

A.2%B．8%C.40.0%D．62%

（江蘇省競賽試題）

解題思路：設出與總額相關的量：出廠價、銷售件數．

解決以實際生活為情景的應用題時，需要具備一定的優化意識和估算決策能力.

【例3】某音樂廳決定月初在暑假期間舉辦學生專場音樂會，入場券分為團體票和零售票，其

2

中團體票占總票數的，若提前購票，則給予不同程度的優惠，在五月份內，團體票每張12元，共售

3

3

出團體票數的；零售票每張16元，共售出零售票數的一半，如果在六月份內，團體票按每張16元出

5

售，并計劃在六月份內售出全部余票，那么零售票應按每張多少元定價才能使這兩個月的票款收入持

平？

（北京市東城區中考試題）

解題思路：票款與票數、票價有關，故既要用字母表示六月份零售價，又要用字母表示總票數．

與商品利潤相關的基本知識：

利潤

①利潤率＝×100%；

進貨價

②利潤＝售出價一進貨價；

③售出價＝利潤＋進貨價＝進貸價×(1＋利潤率)．

【例4】為了加強公民的節水意識，合理利用水資源，某市采用價格調控的手段達到節水的目的，

該市自來水收費價格見價目表．

價目表

每月用水量單價

不超過6m3的部分2元/m3

超過3m3不超出10m3的部分4元/m3

超出10m3的部分8元/m3

注：水費按月結算．

若某居民1月份用水8m3，則應收水費2×6＋4×(8－6)＝20（元）．

(1)若該戶居民2月份用水12.5m3，則應收水費______元．

(2)若該戶居民3，4月份共用水15m3（4月份用水量超過3月份），共交水費44元，則該居民3，4

月份各用水多少立方米？

（江蘇省揚州市中考試題）

解題思路：第(1)問須分段計費；第(2)問設3月份用水量為xm3，則4月份用水量為(15x)m3，分

兩種情況進行討論．

【例5】A，B，C三個微型機器人圍繞一個圓形軌道高速運動，它們順時針同時同地出發后，

A在2秒鐘時追上B，2.5秒鐘時追上C，當C追上B時，C和B的運動路程之比是3：2，問第1分鐘

時，A圍繞這個圓形軌道運動了多少圈？

（“華羅庚金杯”競賽試題）

解題思路：要充分運用問題中的等量關系，需設出A，B，C三個微型機器人的速度、圓形軌

道長等多個未知數．

【例6】有一片牧場，草每天都在勻速地生長（即草每天增長的量相等），如果放牧24頭牛，

則6天吃完牧草；如果放牧21頭牛，則8天吃完牧草.設每頭牛每天吃草的量是相等的，問：

(1)如果放牧16頭牛，幾天可以吃完牧草？

(2)要使牧草永遠吃不完，至多放牧幾頭牛？

（全國數學通訊賽試題）

解題思路：此題可采取設定多個間接未知數的解決方法.

能力訓練

A組

1．光明中學七年級一、二、三班，向希望學校共捐書385本，一班與二班捐書的本數之比為4：3，

一班與三班捐書的本數之比為6：7，那么二班捐書______本．

（北京市“迎春杯”競賽試題）

2．一個六位數1abcde的3倍等于abcde1，則這個六位數為________．

（黑龍江省競賽試題）

3．某種電器產品，每件若以原定價的9.5折銷售，可獲利150元，若以原定價的7.5折銷售，則虧

損50元．該種商品每件的進價為________元．

（“希望杯”競賽試題）

4.某出租汽車的車費是這樣計算的：路程在4公里以內（含4公里）為10.40元；達到4公里以后，

每增加1公里加1.60元；達到15公里后，每增加1公里加2.40元．增加不足1公里時按四舍五人計算．則

乘坐15公里該種出租車應交車費____元．某乘客乘坐該種出租車交了車費95.20元，則這個乘客乘該出

租車行駛的路程為________公里．（精確到兩位小數）

（“希望杯”邀請賽試題）

5．甲、乙兩種茶葉，以x:y（重量比）相混合制成一種混合茶，甲種茶葉的價格每千克50元，乙

種茶葉的價格每千克40元，現在甲種茶葉的價格上調了10%，乙種茶葉的價格下調了10%，但混合茶

的價格不變，則x:y等于().

A．1:1B．5:4C．4:5D.5:6

（北京市競賽試題）

6．某城市按以下規定收取每月煤氣費：用煤氣如果不超過60立方米．按每立方米0.8元收費；如

果超過60立方米，超過部分接每立方米1.2元收費．已知某用戶4月份的煤氣費平均每立方米0.88元，

那么，4月份這用戶應交煤氣費()．

A．60元B．66元C．75元D.78元

（全國初中數學聯賽試題）

7．植樹節時，某班平均每人植樹6棵，如果只由女同學完成，每人應植樹15棵；如果只由男同學

完成，每人應植樹()棵．

A.9B．10C．12D．14

（四川省競賽試題）

8．某服裝商販同時賣出兩套服裝，每套均賣168元，以成本計算，其中一套盈利20%，另一套虧

本20%，則這次出售中商販()．

A．不賺不賠B．賺37.2元C．賺14元D．賠14元

9．從兩塊重量分別為6千克和4千克且含銀的百分數不同的合金上切下重量相等的兩塊，把所切

下的每塊分別和另一塊切剩的合金放在一起，熔煉后，兩塊合金的含銀的百分數相同，求所切下的合金

的重量是多少？

10.陳老師為學校購買運動會的獎品后，回學校向后勤處王老師交賬說：“我買了兩種書，共105本，

單價分別為8元和12元，買書前我領了1500元，現在還余418元，”王老師算了一下，說：“你肯定弄

錯了．”

(1)王老師為什么說他弄錯了？試用方程的知識加以解釋；

(2)陳老師連忙拿出購物發票，發現的確弄錯了，因為他還買了一個筆記本，但筆記本的單價已模糊

不清，只能辨認出應是小于10的整數，筆記本的單價可能為多少元？

（四川省資陽市中考試題）

B級

1．一幢樓房內住有6家住戶，分別姓趙、錢、孫、李、周、吳，這幢樓住戶共訂有A，B，C，D，

E，F六種報紙，每戶至少訂了一種報紙，已知趙、錢、孫、李、周分別訂了其中2，2，4，3,5種報紙．而

A，B，C，D，E五種報紙在這幢樓里分別有1，4，2，2，2家訂戶，那么吳姓住戶訂有____種報紙，

報紙F在這幢樓里有____家訂戶．

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

2．某人購買鋼筆和圓珠筆各若干支，鋼筆的價格是圓珠筆價格的2倍，付款時，發現所買兩種筆

的數量是顛倒了，因此，比計劃支出增加了50%，則此人原計劃購買鋼筆與圓珠筆數量的比為_______.

（天津市競賽試題）

3．為使某項工程提前20天完成任務，需將原定工作效率提高25%，則原計劃完成這項工程需要

_______天．

（“希望杯”邀請賽試題）

4．右邊算式中，每個漢字代表1個數字，不同的漢字代表不同的數字，已知“神”－o，那么被乘

數是________________.

神舟十號飛天

神

飛天神舟五號

5．一艘輪船從A港到B港順水航行，需6小時，從B港到A港逆水需8小時，若在靜水條件下，

從A港到B港需()小時．

161

A．7B．7C．6D．6

272

（五城市聯賽試題）

6．某商品連續兩次提價10%，又提價5%，要恢復原價，至少應降價x%（x為整數），則x＝()．

A．20B．21C．22D.23

7．如圖，是一塊在電腦屏幕上出現的矩形色塊圖，由6個不同顏色的正方形組成，已知中間最小

的一個正方形的邊長為1，那么這個長方形色塊圖的面積為多少？

（山東省濟南市中考試題）

8．自行車輪胎，安裝在后輪上，只能行駛3000km就要報廢，安裝在前輪上，則行駛5000km才

報廢．為使一對輪胎能在行駛盡可能多的路程后才報廢，在自行車行駛一定路程后，就將前后輪調整，

這樣安裝在自行車上的一對輪胎最多可行駛多少千米？

（《時代學習報》數學文化節試題）

9．山腳下有一池塘，山泉以固定的流量（即單位時間里流入池中的水量相同）不停地向池塘內流

淌，現池塘中有一定深度的水，若用一臺A型抽水機，1小時后正好能把池塘中的水抽憲，若用兩臺A

型抽水機20分鐘正好把池塘中水抽完。問若用三臺A型抽水機同時抽水，則需要多長時間恰好把池塘

中的水抽完？

（江蘇省競賽試題）

專題11設元的技巧

例1248提示:設該書有x頁，則可列方程x9939029636，解得x=248頁.

例2B提示:設9月份每件冬裝的出廠價為x元，9月份銷售冬裝m件，則

0.15x1.8m0.25xm

8%.

0.25xm

例3設總票數為a張，六月份零售票應按每張x元定價，

248641

則aaaax，解得x=19.2元.

53156

例4(1)應收水費264106812.51048元.

(2)設三月份用水量為xm3，則四月份用水量為(15-x)m3.若x6,15-x10時，則

2x26415x644，解得，x=2(舍去);若x6,15-x>10時，則

2x2644815x1044，解得x=4;

若x>6，由題意知x<10，則15一x<10,則26-4x626415xb44，無解.

所以三月份用水4m3，四月份用水11m3.例542圈提示：設A，B，C三個微型機器人的速度分

SSSSSS

別為u，v和w，圓形軌道周長是S，則＝2,＝2.5,即＝u－v,＝u－w.∴w－v＝－＝

u－vu－w22.522.5

S

…..①.

10

10w3SS7S7S

又有＝……②．解①和②，得v＝……③，代入＝u－v中，得u＝,×60＝42S．

10v2521010

故第一分鐘時，A圍繞這個圓形軌道運動了42圈．

例6(1)設牧場原有草量為a，每天生長出的草量為b，每頭牛每天吃草量為c，16頭牛x天吃完草，由

題意得：

a＋6b＝24×6c①

a＋8b＝21×8c②．

a＋bx＝16cx③

②一①得b＝12c④，

③一②得(x－8)b＝（16x－168）c⑤，

將④代人⑤得（x一8）?12c＝(16x－168)c，解得x＝18.

b

(2)設至多放牧y頭牛，牧草才永遠吃不完，則有cy≤b，即每天吃的草不能多于生長的草，y≤＝12．

c

A級

1.99

2.142857提示：設abcde＝x，則3(100000＋x)＝l0x＋1，解得x＝42857．故這個六位數為142857.

9.57.5

3.800提示：設該商品的原定價為x元，由題意有：x－150＝x＋50，解得x＝1000.

1010

7.5

故該商品每件的進價為1000×＋50＝800元．

10

4.30.4043提示：(1)注意，到15千米時剛好跳表，所以要加上2.4元，不要漏了．(2)設所行路程

為x公里，則2.40×(x－15)＋28.00＝95.20.

5．C6．B

3

7．B提示：設分別有男、女同學x，y人，則15y＝6(x＋y)，x＝y．則男同學完成每人應植樹6(x＋y)÷x

2

＝10棵．

8.D

bx＋(b－x)a

9．設所切下的合金重量為x千克，重6千克，4千克的合金含銀的百分數分別為a，b(a≠b)，

6

ax＋(4－x)b

＝，解得x＝2.4．

4

10．(1)設單價為8元的課外書為x本，由8x＋12(105－x)＝1500－418，解得x＝44.5（不合題意），所

以陳老師肯定弄錯了．

(2)設單價為8元的課外書為y本，筆記本的單價為a元，則8y＋(105－y)×12＝1500－418－a,即178

＋a＝4y，178＋a應被4整除，a＝2，4，6，8，經討論a＝2或6．

B級

1.16提示：設吳姓住戶訂有x種報紙，報紙F在這幢樓里有y家訂戶，其中x，y為x≥1，y≤6的

整數，由題意得2＋2＋4＋3＋5＋x＝1＋4＋2＋2＋2＋y，解得x＝1，y＝6．

2.1：4提示：設原計劃賄買鋼筆x支，圓珠筆y支，圓珠筆的價格為k元，由題意得（2kx＋ky）×(1

＋50%)＝2ky＋kx，解得y＝4x..

3.100

4.307692提示：設“神舟十號”＝A，“飛天”＝B，則3×(100A＋B)＝10000B＋A，得23A＝769B．又

(23，769)＝1，故B＝23n，A＝769n，n為自然數且2≤n≤4．經討論n＝4可行，從而A＝3076，B

＝92．

5．C提示：設A港到B港路程為S，靜水速度和水流速度分別為V船，V水．則

S