專題06轉化與化歸----特殊方程、方程組

閱讀與思考

特殊方程、方程組通常是指高次方程（組）（次數高于兩次）、結構巧妙而富有規律性的方程、方程

組.

降次與消元是解特殊方程、方程組的基本策略，而降次與消元的常用方法是：

1、因式分解；

2、換元；

3、平方；

4、巧取倒數；

5、整體疊加、疊乘等.

轉化是解各類特殊方程、方程組的基本思想，而化歸的途徑是降次與消元，而化歸的方向是一元二

次方程，這也可以說是“九九歸宗”.

例題與求解

xy5

【例1】已知方程組22的兩組解是(x,y)與(x,y)，則xyxy的值是_______

3xy2311221221

（北京市競賽題）

解題思路：通過消元，將待求式用同一字母的代數式表示，運用根與系數的關系求值.

xyyz63

【例2】方程組的正整數解的組數是（）

xzyz23

A．1組B．2組C．3組D．4組

解題思路:原方程組是三元二次，不易消元降次，不妨從分析常數的特征入手．

【例3】解下列方程:

13xx213x

（1）(x)42；（“祖沖之杯”邀請賽試題）

x1x1

x23xx2x411

（2）；（河南省競賽試題）

2x22x83x29x12

（3）(1999x)3(x1998)31；（山東省競賽試題）

（4）(x23x4)2(2x27x6)2(3x24x2)2（“祖沖之杯”邀請賽試題）

解題思路：注意到方程左邊或右邊項與項的結構特點、內在聯系，利用換元法求解.

【例4】解下列方程組:

1

xxy33,

（1）y（山東省競賽試題）

1

2xy6;

y

x(x1)(3x5y)144,

（2）2（西安市競賽試題）

x4x5y24;

y2x33x22x,

（3）232（全蘇數學奧林匹克試題）

xy3y2y.

解題思路：觀察發現方程組中兩個方程的特點和聯系，用換元法求解或整體處理.

2kxkx1

【例5】若關于x的方程只有一個解（相等的解也算一個）.試求k的值與方程

x1x2xx

的解.

（江蘇省競賽試題）

【例6】方程2x2xy3xy20060的正整數解有多少對？

（江蘇省競賽試題）

解題思路：確定主元，綜合利用整除及分解因式等知識進行解題.

能力訓練

A級

11

1．方程2(x2)3(x)1的實數根是_____________.

x2x

222

2．x23x42x27x63x24x2，這個方程的解為x=_________________.

x63y,2yz

3．實數x,y,z滿足2則x的值為_______________.（上海市競賽題）

x3y2xy2z0,

2

axbx10,

4．設方程組bx2xa0,有實數解，則ab1________.

2

xaxb0

（武漢市選拔賽試題）

5．使得x24x21x23x2x28x7成立的x的值得個數為（）

A．4個B．3個C．2個D．1個

（“五羊杯”競賽試題）

xy2,

6．已知方程組2有實數根，那么它有（）

xyz1

A．一組解B．二組解C．三組解D．無數組解

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

11

7．設a213a，b213b且ab，則代數式的值為（）

a2b2

A．5B．7C．9D．11

8．已知實數x,y滿足xyxy9,x2yxy220，則x2y2的值為（）

A．6B．17C．1D．6或17

x2y2p,

9．已知關于x,y的方程組2有整數解x,y，求滿足條件的質數p.

3xyp(xy)p

（四川省競賽試題）

2

．已知方程組xya20,的兩個解為xx1,xx2,且是兩個不等的正數

10x1,x2.

xy10yy1,yy2,

（1）求a的取值范圍；

（）若222，試求的值

2x1x23x1x28a6a11a.

（南通市中考試題）

xy

1x,

11．已知a,b是方程t2t10的兩個實根，解方程組ab

xy

1y.

ba

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

pqp15,

12．已知某二次項系數為1的一元二次方程的兩個實數根為p,q，且滿足關系式22試求

pqpq6,

這個一元二次方程.

（杭州市中考試題）

B級

xyzxyz15

1．方程組xyz的解是___________________.

234

2．已知7x29x137x25x137x，則x的值為______________.（全國初中數學聯賽試題）

1

．已知實數是方程組y的解，則（全國初中數學聯賽試題）

3x0,y0xx0y0_________.

yx1

xy9,

114

4．方程組的解是_________________.（“希望杯”邀請賽試題）

xy3

x2y21,

5．若二元二次方程組有唯一解，則k的所有可能取值為______________.

ykx21

（《學習報》公開賽試題）

xxxxxxxxxxxxxxx

．正數同時滿足23456，13456，12456，

6x1,x2,x3,x4,x5,x6123

x1x2x3

xxxxxxxxxxxxxxx

12356，12346，12345則的值為

469.x1x2x3x4x5x6________.

x4x5x6

（上海市競賽試題）

7．方程x36x2x60的所有根的積是（）

A．3B．-3C．4D．-6E．以上全不對

（美國猶他州競賽試題）

x131999x11,

8．設x,y為實數，且滿足3則xy（）

y11999y11,

A．1B．-1C．2D．-2

（武漢市選拔賽試題）

xyz1,111

9．已知xyz2,則的值為（）

222xyz1yzx1zxy1

xyz3,

12

A．1B．C．2D．

23

x1x12xa2

10．對于實數a，只有一個實數值x滿足等式0，試求所有這樣的實數a的

x1x1x21

和.

（江蘇省競賽試題）

11．解方程x2x1x2x1a，其中a0，并就正數a的取值，討論此方程解的情況.

（陜西省競賽試題）

ab8,2

12．已知a,b,c三數滿足方程組2試求方程bxcxa0的根.

abc82c48,

（全國初中數學聯賽試題）

13．解下列方程（組）：

9x2

（1）x216；

x33

（武漢市競賽試題）

2

（2）6x73x4x16；

（湖北省競賽試題）

4x2

y,

14x2

2

4y

（）

32z,

14y

4z2

x,

14z2

（加拿大數學奧林匹克競賽試題）

專題06轉化與化歸

——特殊方程、方程組

23

例1例2B提示：由（x+y）z=23。例3（1）x1，x6，x32提示：

2123,4

13xx213x13xx23x1111

=x，令=y.（2）設=y，則原方程可化為y，解得

x1x1x1x2x423y12

589

x1,x4,x,（3）設1999-x=a，x-1998=6，∴a+b=1，則原方程為：

123,42

333，得，即（）（），解得，（）設2，

ababab=01999-xx-1998=0x11999x21998.4x3x4=a

2

2x27x6=b，∴3x24x2=a+b，原方程可化為：a2b2ab，得ab=0，∴

x2,x4,

22，解得3例（）12

x3x42x7x6=0x14,x21,x32,x4,41

2y11,y21,

x3,x4,

12x2x3x5y144,

（2）提示：原方程可化為（3）方程兩式相減得

3242

y1,y2,xx3x5y24,

55

xyx2xyy22x2y2=0，而

2

1322

x2xyy22x2y2xy1y0，∴x-y=0代入原方程得

2433

x10,x222,x322,

x34x22x0，可求得解為例5原方程化為

y0,

1y222,y322,

12

kx23kx2x10，當k=0時，原方程有唯一解x；當k≠0時，△=5k24k10.總有

2

兩個不同的實數根，由題意知必有一個根是原方程的增根，蔥原方程知增根只能是0，1，顯然0不是方

1

程的根，故x=1，k=.例6解法一：把原方程變形為（x-1）y=2x23x2006，因x=1不滿足方

2

2x23x2006x12x120052005

程，即x≠1，故y==2x-1+，由于2005=1×2005=5×401，

x1x1x1

即2005有正因數1，5，401，2005，∴分別取x-1=1，5，401，2005時，x與y均為正整數，即共有4

對正整數解.解法二:把方程看成關于x的一元二次方程2x2y3xy20060.由方程有整數解,

2

其判別式為完全平方數,據此可得一下解法:△=y38y2006a2(a為非負整數)，化簡得

2

y22y16039a2，即y116040a2，∴y1ay1a16040235401①.

∵（y-1-a）與（y-1+a）奇偶性相同，且其積為偶數，故（y-1-a）與（y-1+a）同為偶數.由于y-1-a≤y-1+a，

y1a2,y1a22,y1a25,

據①，只可能有（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

22

y1a25401;y1a25401;y1a2401;

y1a225,

（Ⅳ）將方程（Ⅰ）～（Ⅳ）中的兩個方程相加，分別得到的y值為4012，2008，

y1a2401;

808，412.由此可得相應的x值，故共有4對正整數解（x，y）.

13

A級1.2或2.1，-4，2，3.94.05.B6.A7.B提示：a，b為方程x23x10的

22

xyp,xyp,

兩個不相等實根.8.B9.由px2y2xyxy及p為質數，知或或

xy1xy1

xy1,xy1,xyp,p1p1

或當時，x=，y=，代入3xy+p（x-y）=p2得

xypxypxy122

3

p21pp2，解得p=3，或p=1（舍）.其他情況經計算知沒有符合條件的質數.10.（1）

4

1

x,

bxay1x1

3（）72提示：原方程組化為，①

1a2a=-11.2②+

481axby1y

y

2

②得x+y=-1.12.x23x20

1683212

B級1.x,y,z,,2.提示:有條件得7x29x137x25x132.從而

9397

12

27x29x13=7x+2，兩邊平方化簡得21x28x480，其正跟為x=.3.54.（x，y）

7

116

=（1，9）5.1，-16.1+237.D8.C9.D10.原方程化為

6

2x22xa40①，其中△=4-4×2（a+4）=-8a-28.當方程①有兩個相等的實根時，由△=0，得

77

a；當方程①有兩個不相等實根時，且x=1是方程①的一個根，解得a，，a8；當方

1222

7

程①有兩個不相等的實根時，且x=-1是方程①的一個根，解得a，a4.故

23

7311

aaa84.11.由方程知x，2x2x1=a，當x1時，得a=2.

123222

2a1

討論：當a>2時，方程有一個根為x=；當a=2時，方程有無數多個解為x1；當a<2時，

42

方程無解.

ab16,

12.顯然a，b是方程x28x+c2－82c＋48＝0的兩根，由≥0得c＝42，從而，解得a

ab8

△

22626

＝b＝4.故原一元二次方程化為x＋2x－1＝0，解得x1＝，x2＝.

22

3x3x3x

13.（1）原方程可變形為（x－3）2＋6