專題12數(shù)余的擴(kuò)充

———實數(shù)的概念與性質(zhì)

閱讀與思考

人類對數(shù)的認(rèn)識是在生活中不斷加深和發(fā)展的。數(shù)系的每一次擴(kuò)張都源于實際生活的需要，在非負(fù)

有理數(shù)知識的基礎(chǔ)上引進(jìn)負(fù)數(shù)，數(shù)系發(fā)展到有理數(shù)，這是數(shù)系的第一次擴(kuò)張；但隨著人類對數(shù)的認(rèn)識不

斷加深和發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實世界中確實存在不同于有理數(shù)的數(shù)——無理數(shù)。在引人無理數(shù)的概念后，

數(shù)系發(fā)展到實數(shù)，這是數(shù)系的第二次擴(kuò)張.

理篇無理數(shù)是學(xué)好實數(shù)的關(guān)鍵，為此應(yīng)注意：

q

1.把握無理數(shù)的定義：無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成分?jǐn)?shù)的形式（這里p，q是互質(zhì)的

p

整數(shù)，且p≠0）；

2．掌握無理數(shù)的表現(xiàn)形式：無限不循環(huán)小數(shù)，與π相關(guān)的數(shù)，開方開不盡得到的數(shù)等；

3.有理數(shù)對加、減、乘、除是封閉的，即任何兩個有理數(shù)的和、差、積、商還是有理數(shù)；無理數(shù)

對四則運算不具有封閉性，即兩個無理數(shù)的和、差、積、商不一定是無理數(shù)；

4．明確無理數(shù)的真實性.

克菜因認(rèn)為：“數(shù)學(xué)是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨特的創(chuàng)作，音樂能激發(fā)或撫慰情

懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以

上的一切.”

想一想：

下列說法是否正確？

①帶根號的數(shù)是無理數(shù)；

②兩個無理數(shù)的和、差、積、商一定還是無理數(shù)；

③一個無理數(shù)乘以一個有理數(shù)，一定得無理數(shù)；

④一個無理數(shù)的平方一定是有理數(shù).

例題與求解

【例1】已知a2(b4)2ab2c0．則(ac)b的平方根是________.

（湖南省長沙市“學(xué)用杯”競賽試題）

解題思路：運用式子的非負(fù)性，求出a，b，c的值．

【例2】若a，b是實數(shù)，且a2b122b4．則ab的值是().

A．3或－3B．3或－1C．－3或－1D．3或1

（湖北省黃岡市競賽試題）

解題思路：由算術(shù)根的雙非負(fù)性，可得b1≥0，22b≥0，求出b＝1．代入原式中可得a＝±2．

由算術(shù)平方根的定義可得到算術(shù)平方根的雙非負(fù)性：

①a中a≥0；②a≥0.

運用算術(shù)平方根的雙非負(fù)性是挖掘隱含條件的常用方法.

【例3】已知實數(shù)m，n，p滿足等式

m199n199mn3m5n2p2m3np，求p的值．

（北京市競賽試題）

解題思路：觀察發(fā)現(xiàn)（m199n），（199mn）互為相反數(shù)，由算術(shù)平方根定義、性質(zhì)探尋解

題的切入點．

131319

【例4】已知a，b是有理數(shù)，且()a()b2130，求a，b的值．

32412420

解題思路：把原等式整理成有理數(shù)與無理數(shù)兩部分，運用實數(shù)的性質(zhì)建立關(guān)于a，b的方程組.

實數(shù)有以下常用性質(zhì)：

①若a，b都是有理數(shù)，c為無理數(shù)，且abc0，則a＝b＝0;

②若a，b，c，d都是有理數(shù)，c，d為無理數(shù)，且“acbd，則a＝b，cd．

要證一個數(shù)是有理數(shù)，常證這個數(shù)能表示成幾個有理數(shù)的和、差、積、商的形式；要證一個數(shù)是無

理數(shù)，常用反證法，即假設(shè)這個數(shù)為有理數(shù)，設(shè)法推出矛盾.

想一想

怎樣證明2是無理數(shù)？

【例5】一個問題的探究

問題：設(shè)實數(shù)x，y，z滿足xyz≠0．且xyz0.

111111

求證：

x2y2z2xyz

在上述問題的基礎(chǔ)上，通過特殊化、一般化，我們可編擬出下面兩個問題：

111

(1)設(shè)a，b，c為兩兩不相等的有理數(shù)，求證：為有理數(shù)．

(ab)2(bc)2(ca)2

111111

（2）設(shè)S111，求S的整數(shù)部分.

122222322008220092

解題思路：從公式(abc)2a2b2c22(abbcac)入手．

11111111

【例6】設(shè)S1，S1，S1，…，S1，

112222223233242nn2(n1)2

求的值（用含的代數(shù)式表示，其中為正整數(shù)）．

S1S2Snnn

（四川省成都市中考試題）

解題思路：解答此題的關(guān)鍵是將變形為一個代數(shù)式的平臺。

Sn

能力訓(xùn)練

A級

31

1．在實數(shù)－4，，0，21，64，327，中，共有_______個無理數(shù)．

227

（貴州省貴陽市中考試題）

2．設(shè)a33，b是a2的小數(shù)部分，則(b2)3的值為____.

(2013年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題)

a2aba2ab

3．已知a4b90，則的值為_______．

b2a2b2

（山東省濟(jì)南市中考試題）

4．觀察下列各式：

1123412311，

1234522321，

1345632331，(AB)（:AB)(2xy):(xy)

猜測：12005200620072008________.

（遼寧省大連市中考試題）

5．已知有理數(shù)A，B，x，y滿足AB0，(AB)（:AB)(2xy):(xy)，那么

A（:AB)＝________.

A.3x（:2xy)B.3x（:4x2y)C.x（:xy)D.2x（:2xy)

（2013年“實中杯”數(shù)學(xué)競賽試題）

x

6．若x，y為實數(shù)，且x2y20，則()2009的值為()．

y

A.1B．－1C．2D．－2

（天津市中考試題）

7．一個自然數(shù)的算術(shù)平方根為a，則和這個自然數(shù)相鄰的下一個自然數(shù)是()．

A.aB．a(chǎn)21C．a(chǎn)21D．a(chǎn)1

（山東省濰坊市中考試題）

8．若x11x(xy)2，則xy的值為()．

A．－1B．1C．2D．3

（湖北省荊門市中考試題）

9．已知xabm是m的立方根，而y3b6是x的相反數(shù)，且m3a7，求x與y的平方

和的立方根．

10.計算：1111222．（廣西競賽試題）

2n個1n個2

11.若a，b滿足3a5b7，求S2a3b的取值范圍．

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

B級

1．x與y互為相反數(shù)，且xy3．那么x22xy1的值為____．

（全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）

2．若2x14x128，則x的值為_______．

（海南省競賽試題）

3．已知實數(shù)a滿足2004aa2005a，則a20042＝_______.

4．5的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則(5a)b的值為____．

（廣東省競賽試題）

5．已知非零實數(shù)a，b滿足2a4b2(a3)b242a，則ab等于()．

A．－1B．0C．1D．2

（“《數(shù)學(xué)周報》杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）

6．已知a21，b32，c62．則a，b，c的大小關(guān)系是()．

A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.b＜a＜cD.b＜c＜a

11

7．已知：a1，那么代數(shù)式a的值為()．

aa

55

A．B．C．5D.