專題22直線、射線與線段（錄入：王云峰）

閱讀與思考

構(gòu)成平面圖形的基本元素是點和線，在幾何圖形中，點無大小，線無寬窄，它們都是抽象思維的產(chǎn)

物，點與線有著密切的聯(lián)系，點運動成線，線與線相交的地方形成點，一條線確定了兩個端點，線的長

短也就確定了，從這個意義上講，點是線的界限．

在線中，最簡單、最常見的就是直線、射線、線段，它們是最基本的圖形，它們的概念、性質(zhì)及畫

圖是今后研究由線段所組成的比較復(fù)雜圖形（如三角形、四邊形等）的基礎(chǔ)，解與直線、射線、線段相

關(guān)問題常涉及如下知識與方法：

1．直線、射線、線段的區(qū)別與聯(lián)系．

2．線段中點的概念．

3．枚舉法、分類討論法．

例題與求解

【例1】已知一條直線上有A，B，C三點，線段AB的中點為P，AB＝10，線段BC的中點為Q，

BC＝6，則線段PQ的長為＿＿＿＿．

（江蘇省競賽試題）

解題思路：未給出圖形，注意C點位置有多種可能．

【例2】在一條直線上已知四個不同的點依次是A，B，C，D，那么到A，B，C，D的距離之和最小

的點（）

A．可以是直線AD外的某一點B．只有點B或點C

C．只是線段AD的中點D．有無窮多個

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

解題思路：直線上的四個點把直線分成五部分，就每一種情況畫圖表示出到A，B，C，D的距離，

從直觀的圖形中作出判斷．

1

【例3】如圖，C是線段上的一點，D是BC的中點，已知圖中所有線段的長度之和為23，線段AC

的長度與線段BC的長度都是正整數(shù)，求線段AC的長．

ACDB

（“希望杯”邀請賽試題）

解題思路：解題的關(guān)鍵是將每一條線段用AC或BC來表示，依題意可列一個關(guān)于AC，BC的方程，

討論此不定方程的正整數(shù)解．

【例4】如圖所示，點C為線段AB的中點，點E為線段AB上的點，點D為線段AE的中點．

（1）若線段AB＝a，CE＝b，a15(b4.5)2＝0，求a，b．

（2）如圖①，在（1）的條件下，求線段DE的長．

（3）如圖②，若AB＝15，AD＝2BE，求線段CE的長．

ADCEBADCEB

圖①圖②

（湖北省武漢市調(diào)考試題）

解題思路：將幾何問題代數(shù)化，對于（3），引入未知數(shù)，列方程求解．

【例5】（1）一條直線可以把平面分成兩個部分（或區(qū)域），如圖，兩條直線可以把平面分成幾個部

分？三條直線可以把平面分成幾個部分？試畫圖說明．

（2）四條直線最多可以把平面分成幾個部分？試畫出示意圖，并說明這四條直線的位置關(guān)系．

（3）平面上有n條直線，每兩條直線都恰好相交，且沒有三條直線交于一點，處于這種位置的n條

直線分一個平面所成的區(qū)域最多，記為an，試研究an與n之間的關(guān)系．

1

l

2

（山東省聊城市中考試題）

解題思路：從簡單情形入手，由簡到繁，歸納發(fā)現(xiàn)規(guī)律．

2

【例6】已知線段AB＝m，CD＝n，線段CD在直線上運動（A在B左側(cè)，C在D左側(cè)），若m2n

與(6n)2互為相反數(shù)．

（1）求線段AB，CD的長．

（2）M，N分別是線段AC，BD的中點，若BC＝4，求MN．

（3）當CD運動到某一時刻時，D點與B點重合，P是線段延長線上任意一點，下列兩個結(jié)論：

①PAPB是定值；②PAPB是定值．可以證明，有且只有一個結(jié)論是正確的，請你作出正確的

PCPC

選擇并畫圖求值．

（浙江省寧波市中考試題改編）

解題思路：（1）m2n與(6n)的平方互為相反數(shù)，可以推出二者都為零，否則一個正數(shù)是不可

能等于一個負數(shù)的，所以n＝6，m＝12．

（2）需要分類討論：如圖①，當點C在點B左側(cè)時，根據(jù)“M，N分別為線段AC，BD的中點”，

先計算出AM，DN的長度，然后計算MN＝ADAMDN；如圖②，當點C位于點B右側(cè)時，利用線

段間的和差關(guān)系求得MN的長度．

（3）能計算出①或②的值是一個常數(shù)的，即為符合題意的結(jié)論．

能力訓(xùn)練

A級

1．已知點O在直線AB上，且線段OA的長度為4cm，線段OB的長度為6cm，E，F(xiàn)分別為線段

ｏA，OB的中點，則線段EF的長度為＿＿＿＿．

（黑龍江省中考試題）

2．如圖，線段AB＝BC＝CD＝DE＝1厘米，那么圖中所有線段的長度之和等于＿＿＿厘米．

ABCDE

（“希望杯”邀請賽試題）

3．如圖，B，C，D依次是上的三點，已知AE＝8.9cm，BD＝3cm，則圖中以A，B，C，D，E這5

個點為端點的所有線段長度的和為＿＿＿＿cm．

3

ABCDE

（《中學(xué)生數(shù)理化》讀刊用刊知識競賽試題）

4．平面內(nèi)兩兩相交的8條直線，其交點個數(shù)最少為＿＿＿＿，最多為＿＿＿＿．

（“希望杯”邀請賽試題）

5．直線a，b，c，d，e共點O，直線l與上述五條直線分別交于A，B，C，D，E五點，則上述

圖形中共有線段（）條．

A．4B．5C．10D．15

cb

da

e

O

l

ABCDE

6．如圖，點A，B，C順次在直線上，M是線段AC的中點，N是線段BC的中點．若想求出MN

的長度，則只需條件（）

A．AB＝12B．BC＝4C．AM＝5D．CN＝2

AMBNC

（海南省競賽試題）

7．如圖，A，B，C，D四點在同一直線上，M是線段AB的中點，N是線段DC的中點，MN＝a，

BC＝b則AD＝（）

A．a(chǎn)bB．a(chǎn)2bC．2baD．2ab

AMBCND

11

8．如圖，AC＝AB，BD＝AB，且AE＝CD，則CE為AB長的（）

34

1111

A．B．C．D．

681216

ACEDB

9．已知線段AB＝6．

（1）取線段AB的三等分點，這些點連同線段AB的兩個端點可以組成多少條線段？求這些線段長

度的和．

（2）再在線段AB上取兩種點：第一種是線段AB的四等分點；第二種是線段AB的六等分點，這些

點連同（1）中的三等分點和線段AB的兩個端點可以組成多少條線段？求這些線段長度的和．

（湖北省武漢市武昌區(qū)期末調(diào)考試題）

4

10．已知AB＝60cm，點C是直線AB上不同于A，B的點，M為AC中點，N是BC中點，求MN

的長度．

11．如圖，已知點A，B，C是數(shù)軸上三點，點C對應(yīng)的數(shù)為6，BC＝4，AB＝12．

（1）求點A，B對應(yīng)的數(shù)；

（2）動點P，Q同時從A，C出發(fā)，分別以每秒6個單位和3個單位的速度沿數(shù)軸正方向運動．M

1

為AP的中點，N在CQ上，且CN＝CQ，設(shè)運動時間t（t＞0）．

3

①求點M，N對應(yīng)的數(shù)（用含t的式子表示）．

②t為何值時，OM＝2BN？

ABC

0

B級

3

1．把線段AB延長至D，使BD＝AB，再延長BA至C，使CA＝AB，則BC是CD的＿＿＿＿倍．

2

2．如圖，AB︰BC︰CD＝2︰3︰4，AB的中點M與CD的中點N的距離是3厘米，則BC＝＿＿＿

＿厘米．

AMBCND

3．如圖，C是線段AB的中點，D是線段CB上的一點，若所有線段的長度都是正整數(shù)，且線段AB

的所有可能的長度數(shù)的乘積等于140，則線段AB的所有可能的長度數(shù)的和等于＿＿＿＿．

ACDB

（“希望杯”邀請賽試題）

4．如圖，已知B，C是線段AD上的兩點，M是AB的中點，N是CD的中點，若MN＝a，BC＝b，

則線段AD＝＿＿＿＿．

AMBCND

5．如圖，已知數(shù)軸上點A，B，C所對應(yīng)的數(shù)a，b，c都不為0，且C是AB的中點．如果

aba2cb2cab2c＝0，那么原點O的位置在（）

A．線段AC上B．線段CA的延長線上

C．線段BC上D．線段CB的延長線上

ACB

acb

（江蘇省競賽試題）

5

6．如圖，已知B是線段AC上的一點，M是線段AB的中點，N為線段AC的中點，P為NA的中

點，Q為MA的中點，則MN︰PQ等于（）

A．1B．2C．3D．4

AQPMNBC

7．平面上有四個點，經(jīng)過其中每兩個點畫一條直線，那么一共可以畫直線（）

A．6條B．1條或3條或6條

C．1條或4條D．1條或4條或6條

8．如圖，在一條筆直的公路上有7個村莊，其中A，B，C，D，E，F(xiàn)離城市的距離分別為4，10，

15，17，19，20公里，而村莊G正好是AF的中點，現(xiàn)要在某個村莊建一個活動中心，使各村到活動中

心的路程之和最短，則活動中心應(yīng)建在（）

A．A處B．C處C．G處D．E處

ABGCDEF

城市

（江蘇省競賽試題）

9．電子跳蚤游戲盤為△ABC，AB＝8a，AC＝9a，BC＝10a，如果電子跳蚤開始時在BC邊上P0

點，BP0＝4a，第一步跳蚤跳到AC邊上P1點，且CP1＝CP0；第二步跳蚤從P1跳到邊上P2點，且AP2

＝AP1；第三步跳蚤從P2跳到BC邊上P3點，且BP3＝BP2…跳蚤按上述規(guī)則跳下去，第2001次落到P2001，

請計算P0與P2001之間的距離．

（“華杯賽”邀請賽試題）

10．設(shè)有甲、乙、丙三人，他們步行的速度相同，騎車的速度也相同，騎車的速度為步行速度的3

倍．現(xiàn)甲自A地去B地，乙、丙則從B地去A地，雙方同時出發(fā)，出發(fā)時，甲、乙為步行，丙騎車．途

中，當甲、丙相遇時，丙將車給甲騎，自己改為步行，三人仍按各自原有方向繼續(xù)前進；當甲、乙相遇

時，甲將車給乙騎，自己又步行，三人仍按各自原有方向繼續(xù)前進．問：三人之中誰最先到達自己的目

的地？誰最后到達自己的目的地？

（“華羅庚金杯”競賽試題）

6

11．已知數(shù)軸上A，B兩點對應(yīng)數(shù)分別為2和4，P為數(shù)軸上一點，對應(yīng)數(shù)為x．

（1）若P為線段AB的三等分點，求P點對應(yīng)的數(shù)．

（2）數(shù)軸上是否存在點P，使P點到A點，B點距離和為10？若存在，求出x值；若不存在，請說

明理由．

（3）若點A、點B和點P（點P在原點）同時向左運動，它們的速度分別為1，2，1個（長度單位

/分），則第幾分鐘時，P為AB的中點？

12．—條直線順次排列著1990個點：P1，P2，…，P1990，已知點Pk是線段Pk1Pk1的k等分點當中

最靠近巧Pk1的那個點（2≤k≤1989），如P5是線段P4P6的5等分點當中最靠近P6的那個分點．如果

線段P1P2的長度是1，線段P1989P1990的長度為t．

1

求證：＝1988198732．

t

（浙江省競賽試題）

7

專題22直線、射線、線段

例18或2

例2D

yyy

例3設(shè)AC=x，BC=y，則AD=x+2，AB=x+y，CD=，BD=，故圖中所有線段

22

y2y

長度之和為AC+AD+AB+CD+BC+BD=x+(x+)+(x+y)++y+

2y2

7

=3x+y

2

7

\3x+y=23，即6x+7y=46

2

?ìx=3

又x,y為正整數(shù)，\í

??y=4

例4（1）a=15，b=4.5

AB

（2）BC==7.5，BE=BC-CE=3，AE=AB-BE=15-3=12，

2

1

\DE=AE=6

2

（3）設(shè)BE=x，則AD=DE=2x，又AD+DE+BE=15，\x+2x+2x=15，

解得x=3，即BE=3，\CE=BC-BE=7.5-3=4.5

例5（1）如圖，兩條直線因其位置不同，可以分別把平面分成3個或4個區(qū)域；如圖，

三條直線因其位置不同，可以分輥把平面分成4個，6個，7個區(qū)域

（2）如圖，四條直線最多可以把平面分成11個區(qū)域，此時這四條直線位置關(guān)系是

兩兩都相交，且無三線共點。

（）平面上條直線兩兩相交，且沒有三條直線交于一點，把平面分成個區(qū)域，

3nan

平面本身就是一個區(qū)域，當=時，=+=；當=時，=++=；

n1a1112n2a21124

當=時，=+++=；當=時，=++++=，……由此

n3a311237n4a41123411

n(n+1)n2+n+2

可以歸納公式為a=1+1+2+3……+n=1+=4DE=4（AB+DE）+6

n22

（BC+CD）=4（AE－BD）+6BD=4AE+2BD=4×8.9+2×3=41.6.

4．1285．D6．A7．D8．C

9．（1）6條，長度和為20.

（2）36條，長度和為88.

11

10．（1）當點C在點A左側(cè)時，MN=NC－MC=(BCAC)AB30cm.

22

8

11

（2）當點C在點A、B兩點之間時，MN=NC+MC=(BCAC)AB30cm.

22

11

（3）當點C在點B右側(cè)時，MN=MC－NC=(ACBC)AB30cm.

22

綜上所述：MN=30cm.

11．（1）A、B兩點對應(yīng)的數(shù)分別為－10，2.

11

（2）①AP=6t，CQ=3t，M為AP中點，CN=CQ，則AMAP3t,

32

11

CNCQ3tt．

33

∴點M對應(yīng)的數(shù)為－10+3t，點N對應(yīng)的數(shù)為6+t.

②∵OM=|－10+3t|，BN=BC+CN=4+t，

又∵OM=2BN，∴|－10+3t|=8+2t.

則－10+3t=8+2t或－10+3t=－8－2t.

2

解之得t=18秒或秒.

5

B級

41ab

1．2．13．244．2a－b5．A提示：c

722

6．B7．D8．B

9．因BP0=4a，根據(jù)題意：CP0=10a－4a=6a，CP1=CP0=6a；AP1=9a－6a=3a；AP2=AP1=3a；BP2=8a－

3a=5a，BP3=BP2=5a；CP3=10a－5a=5a，CP4=CP3=5a；AP4=9a－5a=4a，AP5=AP4=4a；BP5=8a－4a=