專題03從算術到代數

閱讀與思考

算術與代數是數學中兩門不同的分科，它們之間聯系緊密，代數是在算術中“數”和“運算”的基

礎上發展起來的.

用字母表示數是代數的一個重要特征，也是代數與算術的最顯著的區別.在數學發展史上，從確定的

數過渡到用字母表示數經歷了一個漫長的過程，是數學發展史上的一個飛躍.用字母表示數有如下特點：

1.任意性

即字母可以表示任意的數.

2.限制性

即雖然字母表示任意的數，但字母的取值必須使代數式或實際問題有意義.

3.確定性

即在用字母表示的數中，如果字母取定某值，那么代數式的值也隨之確定.

4.抽象性

即與具體的數值相比，用字母表示數具有更抽象的意義.

例題與求解

【例1】研究下列算式，你會發現什么規律：

1×3＋1＝4＝22

2×4＋1＝9＝32

3×5＋1＝16＝42

4×6＋1＝25＝52

…

請將你找到的規律用代數式表示出來：___________________________________

(山東菏澤地區中考試題)

解題思路：觀察給定的幾個簡單的、特殊的算式，尋找數字間的聯系，發現一般規律，然后用代數

式表示.

【例2】下列四個數中可以寫成100個連續自然數之和的是（）

A.1627384950B.2345678910C.3579111300D.4692581470

（江蘇省競賽試題）

解題思路：設自然數從a＋1開始，這100個連續自然數的和為（a＋1）＋(a＋2)＋…＋(a＋100)

＝100a＋5050，從揭示和的特征入手.

12+2222+3232+4210032+1004210042+10052

【例3】設A＝++＋…＋＋，求A的整數部

1′22′33′41003′10041004′1005

分.

（北京市競賽試題）

n2+(n+1)2

解題思路：從分析A中第n項的特征入手.

n′(n+1)

【例4】現有a根長度相同的火柴棒，按如圖①擺放時可擺成m個正方形，按如圖②擺放時可擺成

2n個正方形.

(1)用含n的代數式表示m；

(2)當這a根火柴棒還能擺成如圖③所示的形狀時，求a的最小值.

（浙江省競賽試題）

解題思路：由圖①中有m個正方形、圖②中有2n個正方形，可設圖③中有3p個正方形，無論怎樣

擺放，火柴棒的總數相同，可建立含m，n，p的等式.

【例】化簡

59999991999.

n個n個n個

（江蘇省競賽試題）

解題思路：先考察n＝1，2，3時的簡單情形，然后作出猜想，這樣，化簡的目標更明確.

【例6】觀察按下列規律排成的一列數：

1121231234123451

，，，，，，，，，，，，，，，，…，（*）

1213214321543216

2

（1）在（*）中，從左起第m個數記為F(m)＝時，求m的值和這m個數的積.

2001

（2）在（*）中，未經約分且分母為2的數記為c，它后面的一個數記為d，是否存在這樣的兩個

數c和d，使cd＝2001000，如果存在，求出c和d；如果不存在，請說明理由.

112123

解題思路：解答此題，需先找到數列的規律，該數列可分組為（），（，），（，，），

121321

123412345

（，，，），（，，，，），….

432154321

能力訓練

A級

223344aa

1.已知等式：2＋＝22×，3＋＝32×，4＋＝42×，…，，10＋＝102×（a，b

33881515bb

均為正整數），則a＋b＝___________________.

(湖北省武漢市競賽試題)

2.下面每個圖案都是若干個棋子圍成的正方形圖案，它的每邊（包括頂點）都有n（n≥2）個棋子，

每個圖案棋子總數為s，按此規律推斷s與n之間的關系是______________.

n＝2n＝3n＝4

s＝4s＝8s＝12

(山東省青島市中考試題)

3.規定任意兩個實數對（a，b）和（c，d），當且僅當a＝c且b＝d時，（a，b）＝（c，d）．定義

運算“?”：（a，b）?（c，d）＝（ac－bd，ad＋bc）．若（1，2）?（p，q）＝（5，0），則p＋q＝________．

(浙江省湖州市數學競賽試題)

4.用同樣規格的黑白兩種顏色的正方形瓷磚按下圖方式鋪地板，則第（3）個圖形中有黑色瓷磚______

塊，第n個圖形中需要黑色瓷磚______塊（含n代數式表示）．

（廣東省中考試題）

-=

5.如果a是一個三位數，現在把1放在它的右邊得到一個四位數是（）

A.1000a＋1B.100a＋1C.10a＋1D.a＋1

(重慶市競賽試題)

6.一組按規律排列的多項式：a＋b，a2—b3，a3＋b5，a4—b7，…，其中第十個式子是（）

A.a10＋b19B.a10-b19C.a10-b17D.a10-b21

(四川省眉山市競賽試題)

7.有三組數x1，x2，x3；y1，y2，y3；z1，z2，z3，它們的平均數分別是a，b，c，那么x1＋y1－z1，x2

＋y2－z2，x3＋y3－z3的平均數是（）

a+b+ca+b-c

A.B.C.a＋b－cD.3(a＋b－c)

33

(希望杯邀請賽試題)

8.為了綠化環境，美化城市，在某居民小區鋪設了正方形和圓形兩塊草坪，如果兩塊草坪的周長相

同，那么它們的面積S1、S2的大小關系是（）

（東方航空杯競賽試題）

A.S1＞S2B．Sl＜S2C．S1＝S2D．無法比較

9.一個圓形紙板，根據以下操作把它剪成若干個扇形面：第一次將圓紙等分為4個扇形面；第二次

將上次得到的一個扇形面再等分成4個小扇形；以后按第二次剪裁法進行下去．

（1）請通過操作，猜想將第3、第4次，…，第n次剪裁后扇形面的總個數填入下表；

剪裁次數1234…n

所得的總數47…

（2）請你推斷，能否按上述操作剪裁出33個扇形面？為什么？

（山東省濟南市中考試題）

10.某玩具工廠有四個車間，某周是質量檢查周，現每個都原a（a＞0）個成品，且每個每天都生產

b（b＞0）個成品，質檢科派出若干名檢驗員星期一、星期二檢驗其中兩個原的和這兩天生產的所成品，

然后，星期三至星期五檢驗另兩個原的和本生產的所成品，假定每個檢驗員每天檢驗的成品數相同．

（1）這若干名檢驗員1天檢驗多少個成品（用含a、b的代數式表示）；

（2）試求出用b表示a的關系式；

4

（3）若1名質檢員1天能檢驗b個成品，則質檢科至少要派出多少名檢驗員？

5

（廣東省廣州市中考試題）

B級

1.你能很快算出19952嗎？

為了解決這個問題，我們考察個位上的數字為5的自然數的平方，任意一個個位數為5的自然數可寫成

（10·n＋5）（n為自然數），即求（10·n＋5）2的值（n為自然數），分析n＝1，n＝2，n＝3，…這些

簡單情況，從中探索其規律，并歸納猜想出結論（在下面的空格內填上你的探索結果）.

（1）通過計算，探索規律.

152＝225可寫成100×1×（1＋1）＋25；

252＝625可寫成100×2×（2＋1）＋25；

352＝1225可寫成100×3×（3＋1）＋25；

452＝2025可寫成100×4×（4＋1）＋25；

...

752＝5625可寫成______；

852＝7225可寫成______；

（2）從第（1）題的結果，歸納猜想得（10n＋5）2＝______；

（3）根據上面的歸納猜想，請算出19952＝______.

（福建省三明市中考試題）

1

2.已知12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，計算：

6

（1）112＋122＋…＋192＝_____________________；

(2)22＋42＋…＋502＝__________________.

a1a2a2010a2011

3.已知n是正整數，an＝1×2×3×4×…×n，則＋＋…＋＋＝_______________.

a3a4a2012a2013

(“希望杯”邀請賽訓練題)

4.已知17個連續整數的和是306，那么，緊接著這17個數后面的那17個整數的和為__________.

（重慶市競賽試題）

5.A，B兩地相距S千米，甲、乙的速度分別為a千米/時、b千米/時（a＞b），甲、乙都從A地到B

地去開會，如果甲比乙先出發1小時，那么乙比甲晚到B地的小時數是（）

ssssssss

A．-(+1)B．-(+1)C．-(-1)D．-(-1)

abbaabba

6.某商店經銷一批襯衣，進價為每件m元，零售價比高a%，后因市場的變化，該店把零售價調整

原來零售價的b%出售，那么調價后的零售價是（）

A．m（1＋a%）（1－b%）元B．ma%（1－b%）元

C．m（1＋a%）b%元D．m（1＋a%b%）元

（山東省競賽試題）

7.如果用a名同學在b小時內共搬運c塊磚，那么個以同樣速度所需要的數是（）

c2c2aba2b

A．B．C．D．

a2babc2c2

(“希望杯”邀請賽試題)

8.甲、乙兩班的人數相等，各有一些同學參加課外天文小組，其中甲班參加天文小組的人數是乙班

11

未參加人數的，乙班參加天文小組的人數是甲班未參加人數的．問甲班未參加的人數是乙班未參加

35

人數的幾分之幾？

9.將自然數1，2，3，…，21這21個數，任意地放在一個圓周上，證明：一定有相鄰的三個數，它

們的和不小于33.

（重慶市競賽試題）

10.有四個互不相同的正整數，從中任取兩個數組成一組，并在同一組中用較大的數減去較小的數，

再將各組所得的數相加，其和恰好等于18.若這四個數的乘積是23100，求這四個數.

（天津市競賽試題）

專題03從算術到代數

例1n(n2)1(n1)2

例2A

111111111

例3原式=2(1)2()2()2()2()

223341003100410041005

1

=21004(1)故其整數部分為2008

1005

例4設圖③中含有3p個正方形.

5n1

(1)由3m15n2,得m

3

3m25n1

(2)由a3m15n27p3,得p,因m,n,p均是正整數,所以當m17,n10

77

時,

p7,此時a317152

例5解法1:n1時,99198119100102;

n2時,9999199(1001)9919999009919910000104,

猜想2n個計算過程類似于

:999999199910,n2

n個n個n個

n2n

9999991999(101)9991999999000999199910

n個n個n個n個n個n個n個n個n個

解法2:n1時,991999109(999)10910101010102

n2時,9999199999910099(999999)10099100100100100104

猜想:原式102n

驗證如下n

:9999991999999999100099999999999910

n個n個n個n個n個n個n個n個n個n個

nnn2n

99910101010

n個

反思結論必為一個數的平方形式不妨設得另一種解法

,999a,

n個

解法3:原式a2(a1)aa22a1(a1)2(10n)2102n

112123123412345

例6(1)(※)可分組為(),(,),(,,),(,,,),(,,,,),,可知各組數的個數依次為

121321432154321

1,2,3,.

21232002

按其規律應在第2002組(,,,,)中,該組前面共有

20012002200120001

2

123420012003001個數.故當F(m)時,m200300122003003.又因各組的數

2001

121

積為1,故這2003003個數的積為

200220012003001

(2)依題意,c為每組倒數第2個數,d為每組最后一個數,

n1nn(n1)

設它們在第n組,別c,d,2001000.即n(n1)400200020012000,n2001,

212

2001120002001

得c,d

221

A級

aa

1.100提示:10102中,根據規律可得a10,b102199,故ab1099109

bb

2.s4(n1)(n2)

3.1提示:根據題中定義的運算可列代數式p2q5,q2p0,可得p1,q2,

故pq1

4.103n1

5.C

6.B

7.B

8.B

9.(1)10133n1(2)不能,33不符合3n1

2(a5b)

10.(1)a2b或或3b2

3

2(a2b)2(a5b)

(2)由,得a4b

23

2(a2b)4

(3)b7.58

25

B級

1.(1)1007(71)25,1008(81)25

(2)100n(n1)25

(3)3980025

2.(1)2085

(2)22100提示:原式4(1222252)

2011

3.提示:由a1234n可得,

4026n

11111

原式

2334452011201220122013

111111112011

233420122013220134026

4.595提示: