專題08分式方程

閱讀與思考

分母含有未知數的方程叫分式方程．解分式方程的主要思路是去分母，把分式方程化為整式方程，

常用的方法有直接去分母、換元法等．

在解分式方程中，有可能產生增根．盡管增根必須舍去，但有時卻要利用增根，挖掘隱含條件．

例題與求解

2xa

【例1】若關于x的方程＝－1的解為正數，則a的取值范圍是______．

x2

（黃岡市競賽試題）

解題思路：化分式方程為整式方程，注意增根的隱含制約．

2x2x11ABC

【例2】已知，其中A，B，C為常數．求A＋B＋C的值．

x2x1xx2x1

（“五羊杯”競賽試題）

解題思路：將右邊通分，比較分子，建立A，B，C的等式．

【例3】解下列方程：

5x96x84x192x21

（1）；（“五羊杯”競賽試題）

x19x9x6x8

x23xx2x411

（2）；（河南省競賽試題）

2x22x83x29x12

2

2x

（3）x＋＝3．（加拿大數學奧林匹克競賽試題）

x1

解題思路：由于各個方程形式都較復雜，因此不宜于直接去分母．需運用解分式問題、分式方程相

關技巧、方法解．

x1x8x2x7

【例4】（1）方程的解是___________．（江蘇省競賽試題）

x2x9x3x8

1111

（2）方程的解是________．

x23x2x25x6x27x12x4

（“希望杯”邀請賽試題）

解題思路：仔細觀察分子、分母間的特點，發現聯系，尋找解題的突破口．

2kxkx1

【例5】若關于x的方程只有一個解，試求k的值與方程的解．

x1x2xx

（江蘇省競賽試題）

解題思路：化分式方程為整式方程，解題的關鍵是對原方程“只有一個解”的準確理解，利用增根解

題．

1115

【例6】求方程的正整數解．（“希望杯”競賽試題）

xyz6

111

解題思路：易知x,y,z都大于1，不妨設1＜x≤y≤z，則，將復雜的三元不定方程轉

xyz

化為一元不等式，通過解不等式對某個未知數的取值作出估計．逐步縮小其取值范圍，求出結果．

能力訓練

A級

ax1

1．若關于x的方程10有增根，則a的值為________．（重慶市中考試題）

x1

2x1x2x1

2．用換元法解分式方程2時，如果設＝y，并將原方程化為關于y的整式方程，

x2x1x

那么這個整式方程是___________．（上海市中考試題）

211

3．方程x3x40的解為__________．（天津市中考試題）

x2x

13

4．兩個關于x的方程x2x20與有一個解相同，則a＝_______．

x2xa

（呼和浩特市中考試題）

11111

5．已知方程xa的兩根分別為a，，則方程xa的根是（）．

xaax1a1

111a

A．a，B．，a1C．，a1D．a，

a1a1aa1

（遼寧省中考試題）

2xm

6．關于x的方程1的解是正數，則m的取值范圍是（）

x1

A．m＞－1B．m＞－1且m≠0

C．m＜－1D．m＜－l且m≠－2

（孝感市中考試題）

22222

7．關于x的方程xc的兩個解是x1＝c，x2＝，則關于x的方程xa的

xccx1a1

兩個解是（）．

222a1

A．a，B．a－1，C．a，D．a，

aa1a1a1

8．解下列方程：

2

2x1x1

（1）60；（蘇州市中考試題）

x2x

x21610x4

（2）．（鹽城市中考試題）

9x233x

111

9．已知x3．求x10＋x5＋的值．

xx5x10

2kxkx1

10．若關于x的方程只有一個解（相等的兩根算作一個），求k的值．

x1x2xx

（黃岡市競賽試題）

m21

11．已知關于x的方程x2＋2x＋0，其中m為實數.當m為何值時，方程恰有三個互

x22x2m

不相等的實數根?求出這三個實數根.

（聊城市中考試題）

x1xax2

12．若關于x的方程無解，求a的值．

x2x1x1x2

（“希望杯”邀請賽試題）

B級

11114

1．方程的解是__________．

x2xx23x2x25x6x27x1221

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

111

2．方程0的解為__________．

x211x8x22x8x213x8

xm

3．分式方程1有增根，則m的值為_________．

x1x1x2

2xa

4．若關于x的分式方程＝－1的解是正數，則a的取值范圍是______．

x2

（黑龍江省競賽試題）

2m

5．（1）若關于x的方程1無解，則m＝__________．（沈陽市中考試題）

x3x3

25m

（2）解分式方程會產生增根，則m＝______．（“希望杯”邀請賽試題）

x11xx21

311

6．方程x6x的解的個數為（）．

x3x

A．4個B．6個C．2個D．3個

a

7．關于x的方程1的解是負數，則a的取值范圍是（）．

x1

A．a＜lB．a＜1且a≠0C．a≤1D．a≤1且a≠0

（山西省競賽試題）

8．某工程，甲隊獨做所需天數是乙、丙兩隊合做所需天數的a倍，乙隊獨做所需天數是甲、丙兩隊合

111

做所需天數的b倍，丙隊獨做所需天數是甲、乙兩隊合做所需天數的c倍，則的值

a1b1c1

是（）．

A．1B．2C．3D．4

（江蘇省競賽試題）

2

xx

9．已知關于x的方程（a2－1）2a710有實數根．

x1x1

（1）求a的取值范圍；

x1x23

（2）若原方程的兩個實數根為x1，x2，且，求a的值.

x11x2111

（TI杯全國初中數學競賽試顳）

10．求方程2x2－xy3x＋y＋2006＝0的正整數解.

（江蘇省競賽試題）

11．某電腦公司經銷甲種型號電腦，受經濟危機影響，電腦價格不斷下降.今年三月份的電腦售價比去

年同期每臺降價1000元．如果賣出相同數量的電腦，去年銷售額為10萬元．今年銷售額只有8萬元．

（1）今年三月份甲種電腦每臺售價多少元?

（2）為了增加收入，電腦公司決定再經銷乙種型號電腦．已知甲種電腦每臺進價為3500元，乙種

電腦每臺進價為3000元，公司預計用不多于5萬元且不少于4.8萬元的資金購進這兩種電腦共15臺，

有幾種進貨方案?

（3）如果乙種電腦每臺售價為3800元，為打開乙種電腦的銷路，公司決定每售出一臺乙種電腦，

返還顧客現金a元．要使（2）中所有方案獲利相同，a值應是多少？此時，哪種方案對公司更有利？

（齊齊哈爾市中考試題）

專題08分式方程

例1a＜2且a≠－4

Ax(x1)+B(x1)Cx2

例2原式右邊＝

x2(x1）

(AC)x2(BA)xB2x2x11

＝

x2(x1)x2(x1)

AC2A10，

得BA1∴B11,∴A＋B＋C＝13．

B11C8.

1231155

例3（1）x＝提示：(5)(1)(4)(2)．

14x19x19x6x8

589x23x15

（2）x，x3＝－1，x4＝－4提示：令y.（3）x提示

1,22x2x41,22

xx22x2

x2()2()2.

x1x1x1

11111111

例4（1）原方程化為1+111，即，進一步可化為(x

x+2x+9x+3x+8x+3x+2x+9x+8

111111111

＋2)(x＋3)＝(x＋8)(x＋9)，解得x＝－．（2）原方程化為，

2x+1x+2x+2x+3x+3x+4x+4

12

即，解得x＝2．

x+1x4

1

例5原方程化為kx2－3kx＋2x－1＝0①，當k＝0時，原方程有唯一解x＝；當k≠0，Δ＝5k2＋4(k

2

－1)2＞0．由題意知，方程①必有一根是原方程的曾根，即x＝0或x＝1，顯然0不是①的根，故x＝1

11

是方程①的根，代入的k＝．∴當k＝0或時，原方程只有一個解．

22

11113153

例6，即，因此得x＝2或3．當x＝2時，

xxyzxx6x

111511112112

＝，即，由此可得y＝4或5或6；同理，當x＝3時，y＝3或

xxy623yyyy3y

4，由此可得當1≤x≤y≤z時，(x，y，z)共有(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)4組；由于x，

y，z在方程中地位平等，可得原方程組的解共15組：

(2，4，12)，(2，12，4)，(4，2，12)，(4，12，2)，(12，2，4)，(12，4，2)，(2，6，6)，(6，2，6)，

(6，6，2)，(3，3，6)，(3，6，3)，(6，3，3)，(3，4，4)，(4，4，3)，(4，3，4)．

A級

1．－12．y2－2y－1＝03．14．－85．D6．D7．D

1

8．(1)x2，x(2)x2，x6,x321

123123,4

11111

9．15250提示：由x＋3得x27.則(x)(x2)21，得x318．

xx2xx2x3

1111

于是(x2)(x3)126，得x5123．進一步得x1015127．故原式＝15250．

x2x3x5x10

1

10．k＝0或k＝提示：原方程化為kx2－3kx＋2x－1＝0，分類討論．

2

222

11．設x＋2x＝y，則原方程可化為y－2my＋m－1＝0，解得y1＝m＋1，y2＝m－1．∵x＋2x－m－1

2

＝0①，x＋2x－m＋1＝0②，從而Δ1＝4m＋8，Δ2＝4m中應有一個等于零，一個大于零．經討論，當

x21

1

Δ＝即＝時，Δ＞，原方程有三個實數根．將＝代入原方程，解得

20m010m0x221

x1.

3

12原方程“無解”內涵豐富:可能是化得的整式方程無解,亦可能是求得的整式方程的解為増根,故需全面

討論.原方程化為(a+2)x=－3①,∵原方程無解,∴a+2=0或x－1=0,x+2=0,得

11

a=－2,把x=1,x=－2分別別代入①a=－5,a-,綜上知a2,5或-.

22

B級

1.3或－7

2.x?=8,x?=－1,x?=－8,x?=1提示:令x2－8=y

3.3提示:由有増根可得m=0或m=3,但當m=0,化為整式方程時無解

4.a<2且a≠－4

5.⑴－2⑵－4或－10

6.A

a

B提示:由1ax1,∴xa-10a1且x1≠0即a11≠0,∴a1且a≠0

7.x1

8.設甲單獨做需要x天完成,乙單獨做需要y天完成,丙單獨做需要z天完成則

xyxzyz

得a1

yz

yz1xz1xy1

∴?.同理可得?,?,???

xyxzyza1xyxzyzb1xyxzyzc1

111

得1

a1b1c1.

x

9....⑴設t,則t≠