專題29幾何變換

閱讀與思考

幾何變換是指把一個幾何圖形變換成另一個幾何圖形的方法，若僅改變圖形的位置，而不改

F1F2

變圖形的形狀和大小，這種變換稱為合同變換，平移、對稱、旋轉是常見的合同變換.

1.平移變換

如圖，如果把圖形上的各點都按一定方向移動一定距離得到圖形后，則由到的變換叫

1F1F2F1F2

平移變換.

平移變換前后的對應線段相等且平行，對應角的兩邊分別平行且方向一致.

2.對稱變換

如圖，將平面圖形變換到與它成軸對稱的圖形，這樣的幾何變換就叫做關于直線（對稱軸）

2F1F2l

的對稱變換.

對稱變換前后的對應線段相等，對應角相等，其對稱軸是連結各對應點線段的垂直平分線.

3.旋轉變換

如圖，將平面圖形繞這一平面內一定點旋轉一個定角，得到圖形，這樣的變換叫旋轉

3F1MF2

變換，M叫旋轉中心，叫旋轉角.

旋轉變換前后的圖形是全等的，對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段的夾角等于旋轉角.

例題與求解

【例l】如圖，∠AOB=450，角內有點P，PO=10，在角的兩邊上有兩點Q，R（均不同于O），則△PQR

的周長的最小值為_______________.（黃岡市競賽試題）

解題思路：作P點關于OA，OB的對稱點，確定Q，R的位置，化折線為直線，求△PQR的最小值.

【例2】如圖，P是等邊△ABC的內部一點，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比是5:6:7，則以PA，

PB，PC為邊的三角形的三個角的大小之比（從小到大）是（）

A.2:3:4B.3:4:5

C.4:5:6D.不能確定

（全國通訊賽試題）

解題思路：解本例的關鍵是如何構造以PA，PB，PC為邊的三角形，若把△PAB，△PBC，△PCA中的

任一個，繞一個頂點旋轉600，就可以把PA，PB，PC有效地集中在一起.

【例3】如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求證：AB+BD=CD.

（天津市競賽試題）

解題思路：用截長法或補短法證明，實質都利用AD翻折造全等.

【例4】如圖，六邊形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥FE，CD∥AF，對邊之差BC-FE=ED-AB=AF-CD

＞0，求證：該六邊形的各角都相等.

（全俄數學奧林匹克競賽試題）

解題思路：設法能將復雜的條件BC-FE=ED-AB=AF-CD＞0，用一個基本圖形表示，題設條件有平行

條件，考慮實施平移變換.

【例5】已知Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=900，∠MCN=450

（1）如圖1，當M、N在AB上時，求證：MN2AM2BN2

（2）如圖2，將∠MCN繞C點旋轉，當M在BA的延長線時，上述結論是否成立？若成立，請證明；

若不成立，請說明理由.

（天津市中考試題）

解題思路：MN2AM2BN2符合勾股定理的形式，需轉化為直角三角形可將△ACM沿直線CM對

折，得△DCM.連DN，只需證DN=BN，∠MDN=900；或將△ACM(或△BCM)旋轉.

【例6】如圖，∠DAC=120，∠DBC=240，∠CAB=360，∠ABD=480，求∠DCA的度數.

（日本算術奧林匹克試題）

解題思路：已知角的度數都是12的倍數，360240600，這使我們想到構作正三角形.

能力訓練

1.在如圖所示的單位正方形網格中，將△ABC向右平移3個單位后得到△ABC，則BAA的度數是

_______.

（泰安市中考試題）

(第1題)（第2題）（第3題）

2.如圖，P是等邊△ABC內一點，PA=6，PB=8，PC=10，則∠APB=_________.

4k49

3.如圖，直線yx與雙曲線y(k0)交于點A，將直線yx向右平移個單位后，與雙曲

132x132

kAO

線y交于點B，與x軸交于點C.若2，則k=______________.（武漢市中考試題）

2xBC

4.如圖，△ABC中，∠BAC=450，AD⊥BC，DB=3，DC=2，則△ABC的面積是___________.

5.如圖，P為正方形內一點，若PA:PB:PC1:2:3，則∠APB的度數是（）.

A.1200B.1350C.1450D.1500

6.如圖，邊長為2的正方形ABCD的對角線交于點O，把邊BA、CD分別繞點B、C同時逆時針旋轉600，

1

得四邊形ABCD,下列結論：①四邊形ABCD為菱形；②SS正方形；③線段OD的

四邊形ABCD2ABCD

長為31.其中正確的結論有（）.

A.0個B.1個C.2個D.3個

7.如圖，A，B兩個電話機離電話線l的距離分別是3米，5米，CD=6米，若由L上一點分別向A，B

連電話線，最短為（）.

A.11米B.10米C.9米D.8米

8.如圖，在△ABC中，∠BAC=1200，P是△ABC內一點，若記xPAPBPC，yABAC，

則（）.

A.xyB.xyC.xyD.x與y的大小關系不確定

9.如圖，已知D是△ABC中BC邊的中點，過D作DE⊥DF，分別交AB于E，交AC于F，求證：

BECFEF.

（天津市競賽試題）

10.如圖，△ABC，△ABC其各邊交成六邊形DEFGHK，且EF∥KH，GH∥DE，FG∥KD，

KHEFFGKDDEGH0.求證：△ABC，△ABC均為為正三角形.

（“縉云杯”邀請賽試題）

11.如圖，已知△ABC中，AB=AC，P，Q分別為AC，AB上的點，且AP=PQ=QB=BC，求∠PCQ.

（北京市競賽試題）

12.如圖，已知在平面直角坐標系中，A，B兩點的坐標分別為A(2,3)，B(4,1).

(1)若P(x,0)是x軸上的一個動點，當△PAB的周長最短時，求x的值；

（2）若C(a,0),D(a3,0)是x軸上的兩個動點，當四邊形ABCD的周長最短時，求a的值；

（3）設M，N分別為x軸，y軸上的動點，問：是否存在這樣的點M(m,0)和N(0,n)，使四邊形ABMN

的周長最短？若存在，求出m,n的值；若不存在，請說明理由.

（浙江省湖州市中考試題）

13.如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，分別以兩腰AB，CD為邊向兩邊作正方形ABGE和正方形DCHF，設

線段AD的垂直平分線l交線段EF于點M，EP⊥l于