2024年春季鄂東南省級示范高中教育教學改革聯盟學校期中聯考高二數學試卷命題學校：鄂南高中命題教師：汪勇謀陳艷峰劉峰徐丹審題學校：紅安一中審題教師：王曉華考試時間：2024年4月178下午15：0017：00試卷滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知函數在處的導數為6，則（）A. B.2 C. D.6【答案】A【解析】【分析】根據極限的簡單性質，結合導數的定義進行求解即可.【詳解】因為函數在處的導數為6，所以因此，故選：A2.在等差數列中，是數列的前項和，，則（）A.118 B.128 C.138 D.148【答案】C【解析】【分析】利用等差數列的性質以及求和公式計算即得．【詳解】由，又，所以，由題意得．故選：C．3.函數在上的最大值為（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用導數的性質判斷函數的單調性，結合函數的單調性進行求解即可.【詳解】，當時，有單調遞增，當時，有單調遞減，所以，故選：C4.已知函數為奇函數，當時，，則曲線的圖象在點處的切線方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據函數的奇偶性求得，結合導數的幾何意義計算即可求解.【詳解】當時，，則，又為R上的奇函數，所以，則，所以，得，所以曲線的圖象在點處的切線方程為，即.故選：C5.式子的值為（）A.27 B.127 C.5160 D.與的取值有關【答案】A【解析】【分析】根據組合數的性質和運算公式進行求解即可.【詳解】由題中組合數的形式可知：，所以.故選：A6.2024年元旦期間，哈爾濱這座冰城火爆出圈，成為旅游城市中的頂流．某班級6位同學也準備趁著春節假期共赴一場冰雪之約，這6位同學準備在行程第一天去冰雪大世界、中央大街、防洪紀念塔三個景點中游玩，已知6位同學都會進行選擇且只能選擇其中一個景點，并且每個景點至少一位同學會選，則不同的選法總數為（）A.240 B.360 C.420 D.540【答案】D【解析】【分析】利用組合數的性質結合分類加法計數原理求解即可.【詳解】若三個景點選擇人數之比為，共有種選法，若三個景點選擇人數之比為，共有種選法，若三個景點選擇人數之比為，共有種選法，由分類加法計數原理得共有種選法，故D正確.故選：D7.已知為數列的前項和，數列滿足：，，記不超過的最大整數為，則的值為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】由遞推公式可得為常數列，可得，，由放縮法和裂項相消可得的取值范圍，可得結果．【詳解】當時，，，，則為常數列，，，，又時，，，又易得，即，.故選：D．8.對任意的，不等式恒成立，則正實數的最小值為（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意得，令，研究其單調性，進而問題轉化為恒成立問題，構造函數，通過求導求解函數最值求解．【詳解】恒成立，恒成立，恒成立，令，f′x=(x+1)ex，當時，，由，即，在為增函數，且，恒成立，恒成立，令，則，當時時，，在單調遞增，單調遞減，，，即正實數的最小值為．故選：D．【點睛】方法點睛：利用導數求解不等式恒成立問題的常用步驟：(1)作差或變形；(2)構造新的函數；(3)利用導數研究的單調性或最值；(4)根據單調性及最值，得到所證不等式．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.現有3個編號為1，2，3的盒子和3個編號為1，2，3的小球，要求把3個小球全部放進盒子中，則下列結論正確的有（）A.沒有空盒子的方法共有6種B.所有的放法共有21種C.恰有1個盒子不放球的方法共有9種D.沒有空盒子且小球均不放入自己編號的盒子的方法有2種【答案】AD【解析】【分析】根據排列組合知識，結合每個選項的具體情況，即可求得答案.【詳解】對于A，沒有空盒子即相當于3個編號為1，2，3的小球分別放入3個編號為1，2，3的盒子中的全排列，故方法共有種，A正確；對于B，所有的放法，即每個球都有3種放法，故共有（種）放法，B錯誤；對于C，恰有1個盒子不放球，即有2個球放入一個盒子中，另一個球放入另一個盒子中，那么先3個盒子選一個作為空盒，在把3個球選出2個綁在一起，在排列，共有（種）放法，C錯誤；對于D，沒有空盒子且小球均不放入自己編號的盒子，則只有以下2種情況：即1號球放入2號盒子，2號球放入3號盒子，3號球放入1號盒子；1號球放入3號盒子，3號球放入2號盒子，2號球放入1號盒子，D正確，故選：AD10.已知數列滿足，則（）A. B.數列是等差數列C.的前項和為 D.數列的最小項為4【答案】ABC【解析】【分析】對遞推公式兩邊同時加6，這樣可以確定數列是等比數列，最后等比數列的通項公式、前項和公式，對數的運算性質、等差數列的定義、基本不等式逐一判斷即可.【詳解】由，因此是以為首項，公比為的等比數列，因此有.A：因為，所以本選項正確；B：因為所以數列是等差數列，因此本選項正確；C：因為，所以的前項和為，所以本選項正確；D：，當且僅當時取等號，即當時取等號，因為是正整數，所以上述不等式等號不成立，即，所以本選項不正確，故選：ABC【點睛】方法點點睛：對于形如的遞推公式，一般運用待定系數法進行求通項公式，即設，顯然.11.已知函數和的定義域為R，為偶函數，gx=g4?x,fx=1?A.函數關于對稱 B.g′2022C.關于點對稱 D.【答案】ABD【解析】【分析】先對函數求導，根據為偶函數，可得為奇函數，進而可得函數的周期性，即可根據函數的周期性、奇偶性以及對稱性，結合選項逐一進行求解即可．【詳解】因為g(x)=g(4?x)，所以關于對稱，則g′(x)=?g′(4?x)，則關于為偶函數，所以g(x)=g(?x)，故g′(x)=?g′由g′(x)=?g′(4?x)可得g∴g′(2022)=∵g′(x)=1?f(x)，∴∴f(4?x)+f(x)=2,故關于對稱，C錯誤；∵f(x)=1?g′(x)，周期4的周期也為4，f1=1?g′i=12024f(k)=506×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=2024,D故選：ABD．【點睛】關鍵點點睛：對g(x)=g(4?x)以及g(x)=g(?x)求導得g′(x)=?g′(4?x)，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若函數的導函數為．，且滿足，則______．【答案】【解析】【分析】先算出導函數，再將代入求解即可．【詳解】由于，所以，令，則，．故答案為：．13.已知函數在內單調遞增，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】根據導函數的正負性與函數單調性的關系，問題轉化為在內恒成立，然后常變量分離，構造新函數，利用導數的性質進行求解即可.【詳解】，所以問題轉化為在內恒成立，即，設，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以，因此，所以的最小值為，故答案為：【點睛】方法點睛：已知函數在區間上的單調性求參數，一般是通過常變量分離法進行構造函數，利用導數的性質求出新函數的最值，進而求出參數的取值范圍.14.計算機是20世紀最偉大發明之一，計算機在進行計算和信息處理時，使用的是二進制．若將一個十進制數表示為，其中，則其二進制為，例如：自然數1在二進制中就表示為，2表示為，3表示為，4表示為，7表示為．記為中0的個數，如，則______；從1到127這些自然數的二進制表示中的自然數有______個．【答案】①.0②.35【解析】【分析】由二進制表示可求，由當時，有1個，當時，有個，當時，有個，當時，有個，當時，有個，可求得答案．【詳解】因為，所以；當時，有1個，當時，有個，當時，有個，當時，有個，當時，有個，則一共個，所以從1到127這些自然數的二進制表示中的自然數有35個．故答案為：0；35．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的展開式中所有項的二項式系數之和為128，各項系數之和為．（1）求正整數和實數的值；（2）求的展開式中項的系數．【答案】（1）（2）560【解析】【分析】（1）根據所有項的二項式系數之和即可求得n；利用賦值法結合各項系數之和即可求出a的值；（2）利用二項式展開式的通項公式，即可求得答案.【小問1詳解】由題意可得；各項系數之和為，即令，則，故；【小問2詳解】由（1）可知即，其通項公式為，令，故展開式中項的系數為.16.已知數列是單調遞增的等差數列，數列為等比數列，且是和的等差中項，是和的等比中項．（1）求數列的通項公式；（2）若為數列的前項和，求證：．【答案】（1），．（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據題意設出公差以及公比，求出以及，利用通項公式即可；（2）利用錯位相減法求得，顯然小于3，根據單調性得大于等于1，即可．【小問1詳解】設數列的公差為，數列的公比為，由已知可得，消去得：，解得或，因為等差數列單調遞增，所以，于是，，，．【小問2詳解】由得：，①，②①②得：，于是，又單調遞增．綜上所述：．17.已知函數（為自然常數，）．（1）討論函數的單調性；（2）證明：當時，．【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求出函數的導數，討論a的范圍，確定導數正負，即可得答案；（2）將原不等式轉化為證明成立，構造函數，利用導數求出其最小值，證明其最小值大于0，即可證明結論.【小問1詳解】由題意知函數定義域為R，，當時，f′x<0，則在R當時，令f′x>0，則，則在上單調遞增；令f′x<0，則，則在上單調遞減；綜合上述，當時，在R上單調遞減；當時，在上單調遞增，在上單調遞減；【小問2詳解】證明：由（1）可得當時，，要證明，只需證明，即證；令，則，當時，，當時，，即上單調遞減，在上單調遞增，則，即成立，故當時，.18.已知函數．（1）當時，以點為切點作曲線的切線，求切線方程；（2）證明：函數有3個零點；（3）若在區間上有最小值，求的取值范圍．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）求出函數的導函數，再利用導數的幾何意義求出切線的斜率，最后由點斜式求出切線方程；（2）利用導數說明函數的單調性，即可求出函數的極值，再結合零點存在性定理證明即可；（3）結合（2）中函數的極小值點及極小值，令求出所對應的，從而得到，解得即可.【小問1詳解】當時，則，，所以，所以切線方程為，即；小問2詳解】因為定義域為，又，因為，所以，由，解得或，由，解得；則函數在，上單調遞增，在上單調遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值，所以，，又，，且當時，當時，即，所以在上存在唯一零點，由，所以在上存在唯一零點，由，所以在上存在唯一零點，所以在和上均不存在零點，所以函數有且僅有個零點．【小問3詳解】由（2）可知的極小值點為，極大值點為，且，當時，即，則，解得或，因為在區間上有最小值，所以最小值為函數的極小值，即，解得，所以的取值范圍為．19.如果一個正項數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都大于同一個常數，那么這個數列就叫做類等比數列，這個常數叫做類等比數列的類比．（1）若數列是一個類等比數列，且，證明；（2）對于一個正項數列，且首項，滿足；①證明：數列為遞減數列；②證明：．【答案】（1）證