2.2.1用配方法解二次項系數為1的一元二次方程第二章一元二次方程北師大版數學九年級上冊授課教師：********班級：********時間：********教學重難點重點：一元二次方程的解法，實際問題中的方程建模。難點：配方法的步驟，實際問題中復雜等量關系的分析。三、教學過程1.情境導入（8分鐘）問題1：展示生活問題：“一個矩形的面積是15cm2，長比寬多2cm，求長和寬。”引導學生設未知數，列出方程

x(x+2)=15，整理為

x2+2x?15=0。問題2：提問：“這個方程與之前學的一元一次方程有何不同？”引出課題：一元二次方程。2.探究新知（30分鐘）活動1：一元二次方程的概念定義：只含一個未知數，且未知數的最高次數為2的整式方程。一般形式：ax2+bx+c=0（a

=0），強調二次項系數不為零。練習：判斷下列方程是否為一元二次方程：x2=4，3x+5=0，x3?2x=0，x(x?1)=x2+2。活動2：因式分解法解一元二次方程原理：若

ab=0，則

a=0

或

b=0。步驟：移項使右邊為0。將左邊因式分解。令每個因式為0，解方程。例題演示：解方程

x2?5x+6=0，分解為

(x?2)(x?3)=0，得

x=2

或

x=3。活動3：配方法解一元二次方程步驟：二次項系數化為1。移項：常數項移到右邊。配方：兩邊加上一次項系數一半的平方。開平方求解。口訣：“一化二移三配方，四開五解六檢驗。”例題演示：解方程

x2+4x?1=0，配方得

(x+2)2=5，解得

。活動4：公式法解一元二次方程求根公式：由配方法推導得出

x=2a?b±

b2?4ac?

?

。判別式：Δ=b2?4ac，判斷根的情況：Δ>0：兩個不等實根；Δ=0：兩個相等實根；Δ<0：無實根。例題演示：解方程

2x2?5x+1=0，代入公式得

x=45±

17?

?

。活動5：實際問題中的方程建模步驟：設未知數

→

找等量關系

→

列方程

→

求解

→

檢驗（舍去不符合實際的根）。例題分析：“某商品原價100元，連續兩次降價后售價81元，求平均每次降價的百分率。”設降價率為x，列方程

100(1?x)2=81，解得

x=10%。3.例題解析（10分鐘）例題1：解方程

3x2?6x=0。方法選擇：因式分解法，提取公因式3x，得

x=0

或

x=2。例題2：用配方法解方程

2x2?4x?1=0。步驟演示：系數化為1→

配方

→

開平方。例題3：“一個直角三角形的兩條直角邊相差3cm，面積為9cm2，求較長直角邊的長度。”設較長邊為x，列方程

21?x(x?3)=9，解得

x=6（舍去負根）。4.鞏固練習（15分鐘）基礎題：教材習題（解方程、判別式應用）。拓展題：某工廠今年一月份生產零件50萬件，第一季度共生產182萬件，求二、三月份平均每月的增長率。小組合作：設計一道與生活相關的一元二次方程應用題并互解，重點訓練建模能力。5.課堂小結（7分鐘）學生總結：一元二次方程的定義、解法步驟。實際問題中如何列方程及檢驗根的合理性。教師強調：因式分解法優先，配方法是基礎，公式法是通法。注意二次項系數非零，實際問題中根的意義。四、作業布置基礎題：教材課后習題（必做）。實踐題：測量家中正方形地磚的邊長，若面積減少20%后變為128cm2，求原邊長。思考題：若方程

x2+mx+1=0

有兩個相等實根，求m的值。能否用配方法驗證？五、教學資源多媒體課件（含解方程步驟動畫演示）。配方法教具（如正方形紙片輔助理解配方過程）。實物投影儀展示學生解題過程。互逆命題、互逆定理教案一、教學目標知識與技能目標理解互逆命題、互逆定理的概念，能準確說出一個命題的逆命題。會判斷一個命題及它的逆命題的真假性，掌握證明命題真假的方法。過程與方法目標通過對命題、逆命題的分析，培養學生的邏輯思維能力和語言表達能力。經歷探究互逆定理的過程，體會從特殊到一般的數學思想。情感態度與價值觀目標培養學生積極參與數學活動，敢于質疑、勇于探索的精神。讓學生感受數學知識的嚴謹性和邏輯性，體會數學的應用價值。二、教學重難點重點互逆命題、互逆定理的概念及命題真假的判斷。能正確寫出一個命題的逆命題。難點判斷一個命題的逆命題的真假性，理解原命題為真，其逆命題不一定為真。用邏輯推理的方法證明命題的真假。三、教學方法講授法、討論法、練習法相結合四、教學過程（一）導入新課（5分鐘）展示一些簡單的命題，如“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”，“如果a=b，那么a2=b2”。引導學生分析這些命題的題設和結論。提問：能否交換這些命題的題設和結論，得到新的命題？新命題是否成立？從而引出本節課的課題——互逆命題、互逆定理。（二）講授新課（25分鐘）互逆命題給出互逆命題的定義：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題。舉例說明：如原命題“如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”，它的逆命題是“如果兩個角相等，那么這兩個角是直角”。讓學生進一步理解互逆命題的概念。組織學生進行小組討論，每個小組寫出3-5個命題，并交換寫出它們的逆命題。命題真假的判斷引導學生思考如何判斷一個命題的真假。對于真命題，需要通過推理證明；對于假命題，只需舉一個反例即可。以剛才的命題為例，分析原命題和逆命題的真假性。如“如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”是真命題，而它的逆命題“如果兩個角相等，那么這兩個角是直角”是假命題，因為兩個相等的角不一定是直角，還可能是銳角或鈍角等。讓學生自己判斷之前小組討論中寫出的命題及其逆命題的真假性，并在小組內交流。互逆定理給出互逆定理的定義：如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理。舉例說明：如“兩直線平行，同位角相等”和“同位角相等，兩直線平行”是互逆定理。強調：并不是所有的定理都有逆定理，只有當定理的逆命題為真命題時，才有逆定理。（三）例題講解（15分鐘）例1：寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假。（1）如果a=0，那么ab=0。（2）全等三角形的對應角相等。（3）等腰三角形的兩個底角相等。分析：（1）逆命題為“如果ab=0，那么a=0”，這是假命題，因為當b=0時，ab=0，a不一定為0。（2）逆命題為“對應角相等的三角形是全等三角形”，這是假命題，因為對應角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。（3）逆命題為“有兩個角相等的三角形是等腰三角形”，這是真命題，它是等腰三角形的判定定理。例2：證明命題“如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等”是真命題。分析：引導學生畫出圖形，寫出已知、求證，然后進行證明。已知：在△ABC中，∠B=∠C。求證：AB=AC。證明：作∠BAC的平分線AD，交BC于點D。因為AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD。在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD（公共邊），所以△ABD≌△ACD（AAS）。所以AB=AC。（四）課堂練習（10分鐘）寫出下列命題的逆命題，并判斷真假。（1）如果x=2，那么x2=4。（2）直角三角形的兩個銳角互余。（3）對頂角相等。判斷下列說法是否正確：（1）每個命題都有逆命題。（2）每個定理都有逆定理。（3）真命題的逆命題一定是真命題。（4）假命題的逆命題一定是假命題。（五）課堂小結（5分鐘）與學生一起回顧互逆命題、互逆定理的概念，以及如何判斷命題的真假。強調：原命題為真，逆命題不一定為真；原命題為假，逆命題也不一定為假。（六）布置作業（5分鐘）課本課后習題，要求學生認真書寫解題過程，判斷命題真假時要說明理由。拓展作業：收集生活中或數學學習中至少兩個互逆命題，并分析它們的真假性。五、教學反思在教學過程中，要注重引導學生積極思考、主動參與，通過實際例子幫助學生理解抽象的概念。對于學生在判斷命題真假和寫逆命題時容易出現的錯誤，要及時給予糾正和指導。在今后的教學中，可以進一步加強練習，提高學生的邏輯思維能力和解決問題的能力。5課堂檢測4新知講解6變式訓練7中考考法8小結梳理學習目錄1復習引入2新知講解3典例講解1.會用開方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程，理解配方法，會用配方法解二次項系數為1的一元二次方程，提高學生的運算能力；2.經歷列方程解決實際問題的過程，體會一元二次方程是刻畫現實世界中等量關系的一個有效模型；3.通過配方法的探究活動,培養學生積極思考,勇于探索的學習習慣，感受數學的嚴謹性和數學結論的確定性.舊知回顧什么叫一元二次方程？（只含有一個未知數

x的整式方程，并且可以化成ax2+bx+c=0(a,b,c為常數,a≠0)的形式,這樣的方程叫做一元二次方程）讀詩詞解題：大江東去浪淘盡，千古風流數人物。而立之年督東吳，早逝英年兩位數。十位恰小個位三，個位平方與壽符。哪位學子算得快，多少年華屬周瑜？朗讀關于周瑜年齡的詩詞，通過列方程計算周瑜去世的年齡.一桶油漆可刷的面積為1

500dm2，李林用這桶油漆恰好刷完10個同樣的正方體形狀的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱長嗎？學校要建造一個矩形花園，請同學們擔任設計師.為了充分利用現有資源，矩形花園的一面靠墻，另外三面用柵欄圍成.已知柵欄的總長度是16m，當花園與墻相鄰的邊長為多少時，花園的面積最大？最大面積是多少？1.請同學們閱讀課本36-37頁思考，并完成36頁做一做.2.研讀課本37頁例1.3.例1第二步為什么在方程的兩邊加42？依據是什么？加其他數行嗎？自主探究

（10min）（為了湊成完全平方公式，依據是完全平方公式，加其他數不行）4.把方程的左邊配成什么形式？這種形式是為了達到什么目的？5.這種解方程的方法叫做什么？6.你能嘗試歸納這種解法的步驟嗎？自主探究

（10min）（完全平方式，為了能夠進行開平方運算）（配方法）（步驟：(1)配方，兩邊都加上一次項系數一半的平方；(2)寫成(x+m)2=n(n≥0)的形式；(3)直接開平方法解方程）

已知三角形的兩邊長分別是2和4，第三邊是方程x2-4x+3=0的解，求這個三角形的周長.小組討論

（4min）解:x2-4x+3=0,x2-4x=-3,x2-4x+4=1,(x-2)2=1,∴x-2=1或x-2=-1,∴x?=3,x?=1,∴三角形的周長為2+4+3=9(x=1時,1,2,4不能構成三角形).小組展示我提問我回答我補充我質疑提疑惑：你有什么疑惑？越展越優秀教師講評

重點教師講評

教師講評知識點2：用配方法解二次項系數為1的一元二次方程(1)配方法解一元二次方程：將一元二次方程配成（x+m）2=n（n≥0）的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法稱為配方法.(2)用配方法解一元二次方程的理論依據：a2±2ab+b2=（a±b）2.(3)用配方法解二次項系數為1的一元二次方程的一般步驟：①配方，兩邊都加上一次項系數一半的平方；②寫成（x+m)2=n(n≥0)的形式；③直接開平方法解方程.難點典例精講

【題型一】直接開平方法的應用變式：已知關于x的一元二次方程ax2+c=0(a≠0)有實數根，則a與c的關系是(

)A.c=0B.c=0或a、c異號C.c=0或a、c同號D.c是a的整數倍

典例精講例2：用配方法解一元二次方程x2-6x+2=0,此方程可化為()A.(x-3)2=7B.(x-3)2=11C.(x+3)2=7D.(x+3)2=11【題型二】用配方法解一元二次方程A例3：將一元二次方程x2+8x+1=0化成（x-m）2=n的形式，則n的值為

.

15典例精講例4：用配方法解下列方程：(1)x2-4x+1=0; (2)x(x+4)=8x+12.

B返回1．方程(x＋1)2＝0的根是(

)A．x1＝x2＝1B．x1＝x2＝－1C．x1＝－1，x2＝1D．無實數根返回C2．用配方法解方程x2－4x－1＝0時，配方后正確的是(

)A．(x＋2)2＝3B．(x＋2)2＝17C．(x－2)2＝5D．(x－2)2＝17A返回3．一同學將方程x2－4x－3＝0化成了(x＋m)2＝n的形式，則m，n的值應為(

)A．m＝－2，n＝7B．m＝2，n＝7C．m＝－2，n＝1D．m＝2，n＝－74．返回[2024運城模擬]配方法是解一元二次方程的一種基本方法，其本質是將一元二次方程由一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)化為(x＋m)2＝n(n≥0)的形式，然后利用開方求一元二次方程的解的過程，這個過程體現的數學思想是(

)A．數形結合思想

B．函數思想C．轉化思想