幾個初等函數(shù)Maclaulin公式小結(jié)思索題

泰勒(Taylor)（英）1685-1731其它應用3.3泰勒(Taylor)公式Taylor公式建立第1頁簡單,多項式函數(shù)特點(1)易計算函數(shù)值;(2)導數(shù)與積分仍為多項式;(3)多項式由它系數(shù)完全確定,又由它在一點函數(shù)值及導數(shù)值確定.而其系數(shù)用怎樣多項式去迫近給定函數(shù)?誤差又怎樣呢?一、泰勒公式建立熟悉函數(shù)來近似代替復雜函數(shù).—應用用多項式近似表示函數(shù)理論分析近似計算第2頁回想微分一次多項式第3頁（以下列圖）如以直代曲第4頁需要處理問題怎樣提升精度?怎樣預計誤差?問題(1)

系數(shù)怎么定?(2)

誤差(怎樣預計)表示式是什么?不足1.準確度不高；2.誤差不能定量預計.希望一次多項式用適當高次多項式nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010-++-+-+=L)(xf?第5頁猜測2.若有相同切線3.若彎曲方向相同近似程度越來越好1.若在點相交1.n次多項式系數(shù)確實定第6頁得假設(shè)同理代入中得nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010-++-+-+=L第7頁稱為f(x)泰勒多項式來迫近并預計它誤差.下面將證實確實能夠用函數(shù)泰勒多項式.第8頁泰勒(Taylor)中值定理其中余項2.泰勒(Taylor)中值定理多項式,)1(),()()(0階導數(shù)內(nèi)有在若+?nbaxxf,),(時則當bax?次一個可表為nxxxf)()(0-:)(之和與一個余項xRn(書上第141頁定理3.7)注泰勒公式就是拉格朗日中值公式.第9頁分析即證也即證其中)()(!)(00)(xRxxnxfnnn+-++L第10頁證令由要求第11頁

柯西定理

柯西定理用1次用2次第12頁如此下去,得可得即用n+1次柯西定理,)!1()(),()()1()1()1(+==+++nxxfxRnnnnj第13頁拉格朗日型余項帶有拉格朗日型余項.次近似多項式n第14頁Peano型余項當對余項要求不高時,帶有Peano型余項可用Peano型余項1858-1932)皮亞諾(Peano,G.(意),),(時若bax?Mxfn<+|)(|)1(書上P209定理3.8對某個固定n第15頁注1.泰勒公式就是拉格朗日中值公式.2.在泰勒公式中,這時泰勒公式,即按x冪(在零點)展開泰勒公式稱為:n階泰勒公式麥克勞林(Maclaurin,C.(英)1698-1746)公式第16頁麥克勞林(Maclaurin)公式近似公式誤差預計式為帶有Lagrange型余項帶有Peano型余項第17頁解代入上公式,得于是有近似表示公式二、幾個初等函數(shù)Maclaulin公式例麥克勞林公式.麥克勞林(Maclaurin)公式第18頁有誤差預計式得到其誤差其誤差第19頁解例因為所以第20頁誤差為第21頁泰勒多項式迫近第22頁類似地,有第23頁解練習一階和三階泰勒公式及對應拉格朗日型余項.一階泰勒公式是其中三階泰勒公式是第24頁慣用函數(shù)麥克勞林公式要熟記!帶有Peano型余項第25頁第26頁例

解用間接展開方法較簡便.兩端同乘x,得第27頁解三、其它應用因為分母是4階無窮小,所以只要將函數(shù)展開到4階無窮小項就足以定出所給極限了.慣用函數(shù)泰勒展開求例

型未定式第28頁例

是x幾階無窮小?

解

因故因為有顯然,它是x4階無窮小.

第29頁例.求解:因為用洛必塔法則不方便

!用泰勒公式將分子展到項,第30頁例.證實證:第31頁像這類估值問題慣用泰勒公式.證例

分析

利用泰勒公式能夠證實一些命題及不等式.帶拉格朗日型余項一階泰勒公式,得(1)(2)第32頁即故第33頁四、小結(jié)多項式局部迫近.泰勒(Taylor)公式在近似計算中應用.泰勒(Taylor)公式數(shù)學思想熟記慣用函數(shù)麥克勞林公式;第34頁思索題1年考研數(shù)學一,6分設(shè)函數(shù)某鄰域內(nèi)含有一階連續(xù)導數(shù),是比h高階無窮小,試確定a,b值.解所以所以當有第35頁此題亦可不用Taylor公式。某鄰域內(nèi)含有一階連續(xù)導數(shù)第36頁思索題2利用泰勒公式求極限第37頁思索題解答注：本題亦可用洛必達法則３次來求極限第38頁須處理問題類型:(1)已知x和誤差界,要求確定項數(shù)n;(2)已知項數(shù)n和x,計算近似值并預計誤差;(3)已知項數(shù)n和誤差界,確定公式中

x

五、近似計算與誤差預計適用范圍.第39頁例

解

五、近似計算與誤差預計第40頁滿足要求.第41頁計算