2024年高考數學第一次模擬考試數學（廣東卷02）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。12345678CABDCBBA二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9101112ABDABCACAD第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.（答案不唯一）14．15．16．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。17.【詳解】（1）選條件①：由，及正弦定理，. 1分又為內角，所以，從而，即， 3分則，或（舍去），從而. 4分選條件②：由，及正弦定理，. 1分又為內角，所以，代入上式即得，而，所以，從而. 3分則，或（舍去），因此，. 4分（2）由為邊上一點，且，從而，即.平方，得，即， 6分由基本不等式，，等號當且僅當時成立，此時有最大值，從而面積為也有最大值. 8分當時，由余弦定理，可得由正弦定理，，又，所以. 10分

18.【詳解】（1）數列成等比數列. 1分根據得； 3分，，，即數列成等比數列. 5分（2）由（1）得，，， 6分故由，得. 8分顯然，，單調遞增，且，故，，.，，, 10分當時，,，綜上，知. 12分19.【詳解】（1）如圖所示：取中點，連接，則由題意有， 1分因為由題意，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為四邊形為直角梯形，所以，所以， 2分因為，，所以，又因為平面，平面，所以， 4分因為，所以，又因為，所以，從而， 5分又因為，面，且，所以平面. 6分（2）由題意不妨設點到面的距離為，所以三棱錐的體積為，所以解得， 7分如圖所示：設點到面的距離為，則平面，又因為平面，平面所以，所以為的中位線，即分別為的中點，因為底面為直角梯形，所以， 8分所以以為坐標原點，方向分別為軸正方向建立空間直角坐標系，由題意，所以，由（1）可知平面，故可取平面的一個法向量為， 9分不妨設平面的一個法向量為，則，即，令，解得，即可取， 10分不妨設平面與平面的夾角為，則， 11分即平面與平面的夾角的余弦值為. 12分20.【詳解】（1）記事件“第一項測試選擇了項目”，“第一項測試選擇了項目”，“第一項測試選擇了項目”，記事件“第一項測試合格”， 1分由題意知，，， 3分又事件互斥，則，即， 5分所以在居民甲第一項測試“合格”的條件下，他第一個項目選擇了的概率為：，即已知居民甲第一項測試“合格”，他第一項測試選擇的項目是的概率是. 6分（2）由居民乙獲一等獎的概率為，可知.則. 8分令， 10分當時，；當時，.所以在區間上是減函數，在區間上是增函數.所以.所以的最小值為. 12分21.【詳解】（1）時，，要證，即證，即， 1分設恒成立，所以在單調遞減， 3分所以，即在恒成立，命題得證； 4分（2）當時，，所以， 5分因為，在的一個周期范圍內， 6分時，；時，； 7分所以在單調遞增，在單調遞減. 8分（3）要證：，即證：，即證：， 9分因為，所以，由（1）可知，在恒成立，所以， 10分令，，令，解得， 11分所以當時，，當時，，所以函數在單調遞減，單調遞增，所以，所以恒成立，原命題得證. 12分22.【詳解】（1）設，，因為MA，MB的斜率之積為，所以， 2分因為M是C上的點，所以，所以，故， 4分又因為，所以，又因為，所以，故橢圓C的方程為：. 5分（2）設的斜率為，AP，BQ的斜率為，，因為在橢圓上，所以，，所以，同理， 7分易知，由，所以， 8分設的方程為：，的方程為：，聯立，則，解得：，聯立，可得：，因為直