第=page11頁，共=sectionpages11頁2025年河南省鶴壁市高考數學二模試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x||x|≤1}，B={x|x2?4x≤0}，則A∩B=A.[0,1] B.[?1,4] C.[?1,0] D.[1,4]2.若復數(2+i)(a+i)在復平面內對應的點位于y軸上，則實數a=(

)A.?2 B.?12 C.123.已知向量a=(1,3)，b=(?2,4)，則b在a上的投影向量的長度為(

)A.5 B.10 C.10 4.如圖，曲線AOB是拋物線C：x2=4y的一部分，且曲線AOB關于y軸對稱，|AB|=4，則點B到C的焦點的距離為(

)A.4 B.3 C.2 D.15.已知函數f(x)=sin(2x+φ)(?π2<φ<π2A.2+3 B.2?3 C.6.在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC=2，AB⊥AC，若該棱柱外接球的表面積為12π，則側面BA.12π B.16π C.20π D.24π7.為了抒寫鄉村發展故事、展望鄉村振興圖景、演繹民眾身邊日常、唱出百姓幸福心聲，某地組織了2025年“美麗鄉村”節目匯演，共有舞蹈、歌曲、戲曲、小品、器樂、非遺展演六個節目，則歌曲和戲曲節目相鄰，且歌曲和戲曲都在器樂節目前面演出的概率為(

)A.16 B.320 C.1108.已知a>0且a≠1，若函數f(x)=log(a+2)x?logax與g(x)=(a+2)xA.(0,3?1) B.(2?1,1)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.有一組樣本數據a，b，c，d，其中a>b>c>d，由這組數據得到的新樣本數據為a?2，b?2，c+2，d+2，則(

)A.兩組數據的極差一定相等 B.兩組數據的平均數一定相等

C.兩組數據的中位數可能相等 D.兩組數據的方差不可能相等10.已知F1，F2分別是雙曲線C：x2?y2b2=1(b>0)的左、右焦點，斜率為15且過點F2的直線交C的右支于A.點F1到C的漸近線的距離為3

B.|AB|=10

C.C的離心率為2

D.分別以BF111.塌縮函數在神經網絡、信號處理和數據壓縮等領域經常用到.常見的塌縮函數有tan?(x)=ex?e?xex+e?x，sig(x)=exA.E?D

B.i=12025[sig(i)+sig(?i)]=2025

C.方程2sig(x)=1+tanx的所有實根之和為1

D.若關于x的不等式sig(e三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知一圓錐的表面積與底面積的比值為3，則該圓錐的母線與底面所成的角為______．13.在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若∠A的平分線AE交BC于點E，且AE=23，c=1，b=2，則a=______．14.記[x]表示不超過x的最大整數.若正項數列{an}滿足an2+2n?四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知等差數列{an}滿足2a2+a3=0，a4=10，數列{bn}的首項為9，且{an+bn16.(本小題15分)

甲、乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率是14，乙每次擊中目標的概率是12，假設兩人是否擊中目標相互之間沒有影響．

(Ⅰ)求甲恰好比乙多擊中目標2(Ⅱ)設甲擊中目標的次數為X，求X的分布列和數學期望．17.(本小題15分)

已知函數f(x)=aex．

(Ⅰ)當a≥1e時，證明：f(x)≥lnx+1；

(Ⅱ)當a>0時，若函數?(x)=f(x)?sinx?a在區間(0,π18.(本小題17分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12，短軸長為23．

(Ⅰ)求C的方程．

(Ⅱ)若C上的兩點(x1,y1)，(x2,y2)滿足y1y2x1x2=?b2a2，則稱點(x1,y1)，(x2,y2)為C19.(本小題17分)

球面與過球心的平面的交線叫做大圓，將球面上三點用三條大圓弧連接起來所組成的圖形叫做球面三角形，每條大圓弧叫做球面三角形的一條邊，兩條邊所在的半平面構成的二面角叫做球面三角形的一個內角.如圖(1)，球O的半徑R=3，A，B，C，D為球O的球面上的四點．

(Ⅰ)若球面三角形ABC的三條邊長均為3π3，求此球面三角形一個內角的余弦值．

(Ⅱ)在球O的內接三棱錐D?ABC中，DB⊥平面ABC，AB：AC：BC=3：2：1，直線DC與平面ABC所成的角為π3．

(i)若M，N分別為直線AD，BC上的動點，求線段MN長度的最小值；

(ii)如圖(2)，若P，Q分別為線段AC，BC的中點，G為線段BD上一點(與點

參考答案1.A

2.C

3.B

4.C

5.D

6.B

7.A

8.D

9.BC

10.ACD

11.ABD

12.π313.714.10101

15.解：等差數列{an}滿足2a2+a3=0，a4=10，數列{bn}的首項為9，且{an+bn}是公比為2的等比數列．

(Ⅰ)設數列{an}的公差為d，

由題可得2a2+a3=3a1+4d=0a4=a1+3d=10，解得a1=?8d=6，

所以an=a1+(n?1)d=?8+6(n?1)=6n?14，

即數列{an}的通項公式為an=6n?14．

(Ⅱ)因為b1=9，a1=?8，所以a1+b1=1，又an=6n?14，

由題知an+bn=6n?14+bn=1?2n?1=2n?1，得到bn=2n?1?6n+14，

所以bn+1?bn=2n?1?6，當n=1X0123P272791故E(X)=0×2717.解：(Ⅰ)證明：要證不等式f(x)≥lnx+1，即證aex≥lnx+1．

當a≥1e時，aex≥exe，可以考慮證明exe≥lnx+1，

令函數g(x)=exe?lnx?1,x∈(0,+∞)，那么導函數g′(x)=exe?1x，

易知導函數g′(x)在(0,+∞)上單調遞增，且g′(1)=0，

那么當x>1時，g′(x)>0，g(x)單調遞增，

當0<x<1時，導函數g′(x)<0，函數g(x)單調遞減，

所以x=1是函數g(x)的極小值點，也是最小值點，

所以當x>0時，g(x)≥g(1)=0，所以exe≥lnx+1，

所以當a≥1e時，函數f(x)≥lnx+1．

(Ⅱ)根據題可知函數?(x)=f(x)?sinx?a=aex?sinx?a，

那么導函數?′(x)=aex?cosx．

如果a≥1，當x∈(0,π2)時，aex>1，cosx∈(0,1)，所以?′(x)>0，

那么函數?(x)在區間(0,π2)上單調遞增，沒有極值點，不符合題意，舍去．

如果0<a<1，設函數φ(x)=aex?cosx，那么導函數φ′(x)=aex+sinx>0在區間(0,π2)上恒成立，

所以函數φ(x)在區間(0,π2)上單調遞增，所以導函數?′(x)在區間(0,π2)上單調遞增，

又?′(0)=a?1<0,?′(π2)=aeπ2>0，所以?′(x)在區間(0,π2)上有唯一的零點x0，

當x∈(0,x0)時，?′(x)<0，?(x)單調遞減，當x∈(x0,π2)時，?′(x)>0，?(x)單調遞增，

所以?(x)在區間(0,π2)內有唯一的極值點，符合題意．

綜上，實數a的取值范圍是(0,1)．

18.解：(Ⅰ)設C的半焦距為c(c>0)，

因為的離心率為12，短軸長為23，

所以ca=122b=23a2=b2+c2，

解得a=2，b=3，c=1，

則橢圓C的方程為x24+y23=1．

(Ⅱ)(i)證明：易知(1,32)，

設點A在C上的伴點的坐標為(x,y)，

此時3y2x=?34，

即x+2y=0，

所以點A在C上的伴點在直線x+2y=0上，

聯立x+2y=0x24+y23=1，

解得x=3y=?32或x=?3y=32，

所以點A在C上所有伴點的坐標分別為(19.解：(Ⅰ)因為球面三角形ABC的三條邊長均為3π3,R=3，

所以球面三角形每條邊所對的圓心角均為π3，所以四面體OABC為正四面體，

取OA的中點E，連接BE，CE，

則BE⊥OA，CE⊥OA，且BE=CE=32，

則∠BEC為二面角B?AO?C的平面角，

由余弦定理可得cos∠BEC=BE2+CE2?BC22BE?CE=94+94?32×94=13，

所以此球面三角形一個內角的余弦值為13；

(Ⅱ)因為DB⊥平面ABC，所以DB⊥AC，DB⊥AB，

設BC=a(a>0)，則AB=3a,AC=2a,BD=3a，所以AD=6a，

由勾股定理的逆定理可得AC⊥BC，又BD∩BC=B，

所以AC⊥平面BCD，又CD?平面BCD，所以AC⊥CD，

因為直線DC與平面ABC所成的角為π3，所以∠DCB=π3，

易知在Rt△ACD和Rt△ADB中，斜邊AD的中點到點A，B，C，D的距離相等，

即AD為球O的直徑，所以AD=6a=23,a=2，

以點C為坐標