第=page11頁，共=sectionpages11頁廣東省深圳外國語學校2024-2025學年高三（下）第七次月考數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設集合A={x∈N|y=6?xln(x?2)}，B={x|?1<x≤6}A.{4,5,6} B.{3,4,5,6} C.{4,5} D.{3,4,5}2.已知向量a=(3,1)，b=(?1,1)，a⊥(a+kA.?2 B.?5 C.2 D.53.已知sin(α+π4)=?2425，A.?17250 B.?314.在(x?ax2)9的展開式中，常數項為84，則A.?9 B.?36 C.9 D.365.若關于x的不等式ax2+(2a?1)x?2>0的解集是(?2,1a)A.(?∞,?12) B.(?12,+∞)6.已知圓錐的母線長為6，其外接球表面積為81π2，則該圓錐的表面積為(

)A.12π B.16π C.18π D.27π7.已知A是雙曲線x29?y216=1的左頂點，F是該雙曲線的右焦點，圓M經過A與A.8 B.215 C.168.設函數f(x)=(x2?a)(lnx?b)，若f(x)≥0恒成立，則a?b的最小值為A.1 B.ln2 C.1e+1二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.某工廠為了解某型儀器的使用成本，對其已使用年限以及當年所需要支出的維修費用進行了統計，已知該型儀器投入使用的時間x(單位：年)與當年所需要支出的維修費用y(單位：千元)有如下統計資料：x23456y2.23.85.5a7根據表中的數據可得線性回歸方程為y=1.23x+0.08，則A.y與x的樣本相關系數r>0

B.a=6

C.表中維修費用的第60百分位數為6

D.當該型儀器投入使用的時間為7年時，當年所需要支出的維修費用一定是8690元10.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，過點A(4,0)的直線與C交于M，N兩點，當MN⊥x軸時，|MN|=8，則(

)A.p=1

B.原點O在以MN為直徑的圓上

C.以MN為直徑的圓與C的準線相離

D.存在直線MN，使得111.如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=2，∠BAD=A.BM=5

B.三棱錐A?CD1M的體積為233

C.設BN=12N三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若x>3，則2?x?1x?3的最大值為______．13.已知i為虛數單位，復數z=i?2i2+3i314.來自4個班的7名同學一起參與登山活動，其中一班有3人，二班有2人，三班和四班各1人，到達山頂之后7人排成一排合影留念，則同班同學不相鄰的站法總共有______種.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

記銳角△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知csinB=atanC1+tanC．

(1)求B；

(2)若b=216.(本小題15分)

在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為菱形，側面PAD⊥底面ABCD，∠BAD=60°，BC=2，PA=PD．

(1)證明：AD⊥PB；

(2)若四棱錐P?ABCD的體積為2，求平面PAC與平面PCD所成角的余弦值．17.(本小題15分)

函數f(x)=2x2+ax?lnx+1，a∈R．

(1)當a=0時，求函數f(x)的極值；

(2)若f(x)≥0恒成立，求18.(本小題17分)

已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點為F(?2,0)，O為坐標原點，過點F的直線l交E于M，N兩點，當l與x軸垂直時，|MN|=22．

(1)求橢圓E的方程；

(2)若直線l的斜率存在且不為0，線段MN的垂直平分線與x軸交于點P．19.(本小題17分)

在有限數列a1，a2，…，an中，若?1≤i≤n?1，i∈N?，有|ai+1?ai|=1，則稱a1，a2，…，an為“鏈數列”，如果“鏈數列”a1，a2，…，an滿足末項與首項相同，則稱a1，a2，…，an為“回歸鏈數列”．

(1)若數列a1，a2，a5，a4，a5為“回歸鏈數列”，且a1=1，列舉出所有滿足的數列；

(2)證明：若數列b答案解析1.【答案】A

【解析】解：由函數y=6?xln(x?2)可得，x?2>0x?2≠16?x≥0，

解得2<x≤6且x≠3，

所以A={x∈N|y=6?xln(x?2)}={4,5,6}，

又因為B={x|?1<x≤6}，

所以A∩B={4,5,6}2.【答案】D

【解析】解：由題意可知，a+kb=(3,1)+(?k,k)=(3?k,1+k)，

則a?(a+kb)=3(3?k)+1+k=0，解得k=5．3.【答案】B

【解析】解：因為α∈(π,5π4)，

所以5π4<α+π4<3π2，

又sin(α+π4)=?2425，

則4.【答案】C

【解析】解：已知(x?ax2)9的展開式中，常數項為84，

(x?ax2)9的展開式的通項為Tr+1=C9rx9?r(?1)r(ax2)r=(?1)rarC9rx9?3r5.【答案】A

【解析】解：因為關于x的不等式ax2+(2a?1)x?2>0的解集是(?2,1a)，

所以a<0，

原不等式可化為ax2+(2a?1)x?2=a(x+2)(x?1a)>0，

所以?2<1a，

解得a<?12，

所以a的取值范圍是(?∞,?12)6.【答案】B

【解析】解：作出圓錐及其外接球的軸截面，如圖所示：

設該圓錐的外接球的半徑為R，

設圓錐的高為|AO1|=?，圓錐的底面圓半徑為|O1C|=r，

則外接球表面積為4πR2=81π2，解得R=924，

即|AO|=|OC|=924，又圓錐的母線長為6，

所以r2+?2=62，

又(??R7.【答案】B

【解析】解：由雙曲線x29?y216=1，得a2=9，b2=16，

∴a=3，b=4，c=5，A(?3,0)，F(5,0)，

則雙曲線的一條漸近線方程為y=4x3，即4x?3y=0，

由圓心M在AF垂直平分線x=1上，可設M(1,t)，則r2=16+t2，

圓心M到直線4x?3y=0的距離為|4?3t|9+16=|4?3t|5，

則截得的弦長一半的平方為16+8.【答案】D

【解析】解：根據題意f(x)的定義域為(0,+∞)，當a≤0時，x2?a>0，

那么根據f(x)≥0，得lnx?b≥0恒成立，由于函數y=lnx的值域為R，

因此lnx?b≥0不可能恒成立，因此a≤0不成立；

當a>0時，根據?x∈[1,2]，x2?a≥0，得x≥a，根據x2?a<0，得x<a，

根據lnx?b≥0，得x≥eb，根據lnx?b<0，得x<eb，由于f(x)≥0恒成立，因此a=eb，所以a=e2b，

因此a?b=e2b?b，設函數g(x)=e2x?x，那么導函數g′(x)=2e2x?1，根據g′(x)=0，得到x=?ln22，

當x>?ln22時，g′(x)>0，則g(x)在(?ln22,+∞)上單調遞增，

當x<?ln29.【答案】AC

【解析】解：A項．根據題意可知，可得y隨著x增大而增大，y與x正相關，所以相關系數r>0，故A項正確；

B項．x?=4,y?=1.23x?+0.08=5，則2.2+3.8+5.5+a+75=5，所以a=6.5，故B項錯誤；

C項．維修費用從小到大依次為2.2，3.8，5.5，6.5，7，因為5×60%=3，故第60百分位數為5.5+6.52=6，故C項正確；

D項．根據回歸分析的概念，儀器使用的時間為7年時，所需要支出的維修費用大約是y=1.23×7+0.08=8.69千元，但不絕對，故D項錯誤．

故選：AC．

A由數據可知y隨著x增大而增大即可判斷；

B計算x?將其代入回歸方程中得出y?即可；10.【答案】BCD

【解析】解：當MN⊥x軸時，|MN|=8，可知點(4,±4)在拋物線C上，

因此16=2p×4，解得p=2，所以A錯誤；

易知直線MN斜率不為0，所以設MN的方程為x=my+4，N(x2,y2)，M(x1,y1)，連接OM，ON．

將直線方程代入拋物線y2=4x中，得y2?4my?16=0，根的判別式Δ=16m2+64=16(m2+4)>0，

根據韋達定理可得y1y2=?16，y1+y2=4m，因此OM?ON=x1x2+y1y2=y124?y224+y1y2=16?16=0，

因此OM⊥ON，則原點O在以MN為直徑的圓上，所以B正確；

結合選項B易知|MN|=1+m2|y1?y2|=1+m2(y1+y2)2?4y1y2=4(1+m2)(m2+4)，

則以MN為直徑的圓的半徑r=11.【答案】ABD

【解析】解：根據題意可知，連接AC，BD交于O，連接OM，則由菱形及直棱柱可知OA，OB，OM兩兩垂直，

且OA=OC=3,OB=OD=1．

A項．BM2=BO2+OM2=1+4=5，所以BM=5，故A項正確；

B項．連接OD1，由題意得BM//OD1，

則V三棱錐A?CD1M=V三棱錐A?CD1B=V三棱錐D1?ABC=13×2×12×23×1=233，故B項正確；

C項．以O為原點，以OA，OB，OM所在直線分別為x，y，z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，因為BN=12NB1，所以A(3,0,0),N(0,1,23)，

B(0,1,0)，M(0,0,2)，則AN?BM=(?3,1,23)?(0,?1,2)=13≠0，故12.【答案】?3

【解析】解：因為2?x?1x?3=?(x?3)?1x?3?1=?[(x?3)+1x?3]?1，x>3，

(x?3)+1x?3≥2(x?3)?1x?3=2，當且僅當x=413.【答案】1

【解析】解：i2=?1，i3=?i，i4=(i2)2=1，

則z=i?2i2+3i3?414.【答案】1152

【解析】解：不妨設一班3人為A1，A2，A3，

二班2人為B1，B2，

三班1人為C，四班1人為D，

則A1，A2，A3不能相鄰，B1，B2不能相鄰．

以下分兩類，先排B1，B2，C，D的相對位置：

若B1，B2之間有C或D，則這四人共有A44?A22A33種相對位置，再讓A1，A2，A3來進行插空，總共有(A44?A22A33)?(A53)=720種，

若B1，B2之間沒有C15.【答案】B=π4；

(1,【解析】解：(1)由正弦定理可得：

sinCsinB=sinAtanC1+tanC=sinAsinCcosC1+sinCcosC=sinAsinCcosC+sinC，

因為0<C<π2，則sinC>0，所以sinBcosC+sinBsinC=sinA，

又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，

所以sinBsinC=cosBsinC，則sinB=cosB，

因為B∈(0,π2)，則sinB=cosB>0，即tanB=1，所以B=π4．

(2)因為C是銳角△ABC的內角，又因為B=π4，

所以，0<C<π2π2<B+C<π，解得π4<C<π2，

由正弦定理，得bsinB=asinA=csinC=2sinπ4=2，

所以a=2sinA=2sin(π4+C)，c=2sinC，

所以S16.【答案】證明見解析；

6513【解析】解：(1)證明：取AD中點O，連接PO，BO，BD，

由PA=PD，故AD⊥PO，

由菱形ABCD及∠BAD=60°知△ABD為等邊三角形，

即AB=BD，所以AD⊥OB，

因為OB∩PO=O，OB，PO?平面POB，

所以AD⊥平面POB，

因為PB?平面POB，所以AD⊥PB．

(2)因為平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊥AD，

PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，

所以V四棱錐P?ABCD=13PO?S菱形ABCD=13PO×2×3=2，

解得PO=3，

由(1)知OA，OB，OP兩兩垂直，以O為原點，以OA，OB，OP所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A(1,0,0),C(?2,3,0),D(?1,0,0),P(0,0,3)，

則PA=(1,0,?3),PD=(?1,0,?3),PC=(?2,3,?3)，

設平面PAC的法向量為n1=(x1,y1,z1)，

則n1?PA=0n1?PC=0，即x1?3z1=0?2x17.【答案】極小值為32+ln2，無極大值；

[?3,+∞)【解析】解：(1)定義域為(0,+∞)，

f′(x)=4x2?1x=(2x?1)(2x+1)x，

當0<x<12時，f′(x)<0，f(x)在(0,12)上單調遞減，

當x>12時，f′(x)>0，f(x)在(12,+∞)上單調遞增．

故函數f(x)有極小值f(12)=32+ln2，無極大值．

(2)因為x>0，即a≥lnx?1x?2x恒成立，

令g(x)=?2x+lnx?1x，x>0，

則g′(x)=2?lnxx2?2=2?lnx?2x2x2．

令?(x)=2?lnx?2x2(x>0)，

則?′(x)=?1x?4x<0，即?(x)在(0,+∞)上單調遞減．

又?(1)=0，故當0<x<1時，?(x)>0，g′(x)>0，所以函數18.【答案】x28+y24=1．

【解析】解：(1)根據題意設橢圓為x2a2+y2b2=1(a>b>0)，c=2，

當l與x軸垂直時，設點M在x軸上方，

根據x=?cx2a2+y2b2=1，解得x=?cy=±b2a，因此N(?c,?b2a)，M(?c,b2a)，

因此|MN|=2b2a=22，又因為c2=a2?b2，那么2(a2?4)=22a，

解得a=?2(舍去)或a=22，

因此b=2，因此E的方程為x28+y24=1．

(2)(i)設l為x=my?2(m≠0)，

與橢圓x28+y24=1聯立得(m2+2)y2?4my?4=0，根的判別式Δ=32(m2+1)>0，

設點N(x2,y2)，M(x1,y1)，MN的中點為G(x0,y0)，

根據韋達定理可得y1+y2=4mm2+2,y1y2=?4m2+2，

因此y0=y1+y22=2mm2+2，x0=my0?2=