第=page11頁，共=sectionpages11頁遼寧省名校聯盟2025屆高三下學期第一次模擬考試數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A=xx2?2x?3<0，B=yA.?1,3 B.?1,0 C.0,3 D.?∞,32.“x>1”是“1x≤1”的(

)A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知等差數列an的前n項和為Sn，若a3+aA.4 B.60 C.68 D.524.學校放三天假，甲?乙兩名同學打算去敬老院做志愿者，甲同學準備在三天中隨機選一天，乙同學準備在前兩天中隨機選一天，則甲乙選擇同一天的概率是(

)A.12 B.16 C.135.若函數fx=lnx+x2A.?∞,1 B.?∞,22 C.?∞,2 6.設F1,F2是雙曲線C:x2?y23=1的兩個焦點，O為坐標原點，點A.?72,72 B.7.對任意x,y∈R，都有fx+yfx?y=f2x?f2yA.0 B.2 C.4 D.68.已知AD=12AB=2，向量AP=λAD+1?1A.12 B.?12 C.?1二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.有一組樣本數據x1、x2、?、xn，其平均數、中位數、方差、極差分別記為a1、b1、c1、d1，由這組數據得到新樣本數據y1、y2、?、yn，其中yi=kA.a2=ka1+2025 B.b210.若n∈N?，記φn為不超過n的正整數中與n互質(兩個正整數除1之外，沒有其余公因數)的正整數的個數，例如φ1A.φ14=5 B.φ16=8

C.若p是質數，則11.在正三棱臺A1B1C1?ABC中，AB=2A1B1,P,D分別是線段B1A.AA1⊥BC

B.若BD=13BC,AA1//平面B1DM，則點M的軌跡長等于三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知點Aa,2為拋物線x2=2pyp>0上一點，且點A到拋物線的焦點F的距離為3，則p=13.設復數z1,z2滿足z1=z14.y=(2cosθ?cosα四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)如圖1，在?ABC中，∠B=90°，AC=35，D、E兩點分別在AB、AC上，使ADDB=AEEC=DE=BD=2.現將?ABC(1)求證：AD⊥平面BCED；(2)求平面ABC與平面ACD所成角的正切值．16.(本小題12分)已知函數fx(1)求fx(2)若a≥0,fx≥?e22對17.(本小題12分)在?ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c，且滿足(1)求角B的大小；(2)若b=3，求(3)求sinAsin18.(本小題12分)甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球.現從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數為Xn，恰有2個黑球的概率為pn，恰有1個黑球的概率為(1)求p1,q(2)求證：{2p(3)求Xn的數學期望E(Xn)(用n19.(本小題12分)已知圓C1:x2+y2=1,C2:x2+y2=4,O為坐標原點，過圓C(1)四邊形ACBD的面積是否是定值，直接給出結果，不必證明；(2)對平面上所有點進行如下變換x=3x0y=y0,(即：原坐標x0,y0在這個變換下的新坐標為3①寫出C3,C4的方程，②四邊形A1C1參考答案1.C

2.A

3.D

4.C

5.B

6.B

7.B

8.C

9.ABC

10.BC

11.AC

12.2

13.314.25

15.(1)在圖1的?ABC中，ADDB所以，DE//BC，且AD=4，BC=3因為∠ABC=90°，所以，∠ADE=90°，則在?BCD中，∠CBD=90°，BD=2，BC=3，則在圖2的?ACD中，AD=4，CD=13，滿足AD2+C因為AD⊥CD，AD⊥DE，CD∩DE=D，CD、DE?平面BCED，所以，AD⊥平面BCED．(2)解法一：因為AD⊥平面BCED，DE⊥BD，以點D為原點，DB、DE、DA的方向分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則A0,0,4、B2,0,0、C2,3,0、D0,0,0，設平面ABC一個的法向量m=x取x1=2，可得設平面ACD的一個法向量為n=x2,y則n?DA=4z2設平面ABC與平面ACD所成角為θ，則cosθ=所以，sinθ=1?co因此，平面ABC與平面ACD所成角的正切值為29解法二：過B在平面BCED內作BF⊥CD，垂足為點F，過點F在平面ACD內作FG⊥AC，垂足為點G，連接BG，由(1)知AD⊥平面BCED，因為BF?平面BCED，則AD⊥BF，因為BF⊥CD，AD∩CD=D，AD、CD?平面ACD，所以，BF⊥平面ACD，因為AC?平面ACD，所以，BF⊥AC，因為FG⊥AC，BF∩FG=F，BF、FG?平面BFG，所以，AC⊥平面BFG，因為BG?平面BFG，則BG⊥AC，所以，∠BGF為平面ABC與平面ACD所成的角，設∠BGF=θ．在Rt△BCD中，∠CBD=90°，BD=2，BC=3，所以，BF=BC?BDCD=在Rt?ACD中，AD=4，CD=13，AC=所以，sin∠ACD=ADAC在Rt?BFG中，tanθ=所以，平面ABC與平面ACD所成角的正切值為2916.(1)解：由函數fx=x可得f′x當a<0時，令f′x≥0，解得x≥1，所以fx當0≤a<1時，令f′x≥0，解得0<x≤a或所以fx的單調遞增區間為0,a及1,+∞當a=1時，f′x≥0恒成立，所以fx當a>1時，令f′x≥0，解得0<x≤1或所以fx的單調遞增區間為0,1及a,+∞綜上可得：當a<0時，fx的單調遞增區間為1,+∞當0≤a<1時，fx的單調遞增區間為0,a及1,+∞當a=1時，fx的單調遞增區間為0,+∞當a>1時，fx的單調遞增區間為0,1及a,+∞(2)解：由(1)知，當a∈0,1，fx在1,+∞單調遞增，所以令?a?12≥?e2當a>1時，函數fx在1,a單調遞減，在a,+∞所以fx令?a=aln令ga=?′a=lna?a,a≥1，可得所以ga<g1=?1<0，所以?′a因為?e=?e22綜上可得：實數a的取值范圍為0,e．17.(1)由正弦定理得3sinB因為0<A<π，所以sinA≠0所以3sinB=1+又因為?π6<B?(2)由余弦定理得：cosB=a2+c根據基本不等式a2+c2≥2ac?ABC的面積為：12acsin(3)sin==令x=A+π6，則所以12sin因為A∈由二次函數的圖像性質得到，當sinx∈12當sinx=1時，原式取得最大值1故sinAsin18.(1)依題意，p1=1×3p2q2(2)設An表示n次取球后甲口袋有2個黑球，Bn表示n次取球后甲口袋有C表示一次操作甲乙都取的是白球，D表示一次操作甲取的是白球同時乙取的是黑球，E表示一次操作甲取的是黑球同時乙取的是白球，F表示一次操作甲，乙都取黑球，當n≥2時，A則pnq+P(F|Bpnqn因此2pn+qn所以2pn+qn(3)依題意，XnX012P1?qp期望E(Xn)=2pn所以E(X19.(1)由AB與CD垂直，四邊形ACBD的面積S1四邊形ACBD對角線互相垂直，且對角線長不變，所以四邊形ACBD的面積為定值4(2)①由已知得C3,若l1的斜率