第=page11頁，共=sectionpages11頁上海市崇明區2025年高考數學二模試卷一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若a>b>0，c>d，則下列結論正確的是(

)A.a?b<0 B.ac2+1>bc2.若圓錐的軸截面(過圓錐軸的一個截面)是一個邊長為2的等邊三角形，則該圓錐的側面積為(

)A.π B.2π C.3π D.4π3.拋擲一枚質地均勻的硬幣n次(其中n為大于等于2的整數)，設事件A表示“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B表示“n次中至多有一次正面朝上”，若事件A與事件B是獨立的，則n的值為(

)A.5 B.4 C.3 D.24.數列{an}是等差數列，周期數列{bn}滿足bn=cos(anA.4 B.5 C.6 D.7二、填空題：本題共12小題，共54分。5.不等式|x?1|<2的解集為______．6.已知復數zi=1?2i(i為虛數單位)，則z=______．7.已知全集U=R，集合A={1,2,4}，B={2,4,5}，則A∩B?=8.直線x=?2與直線3x?y+1=0的夾角為_____．9.已知a=(1,0)，b=(2,1)，則|a+210.函數y=2sin(ωx?π16)(ω>0)的最小正周期是π，則ω=11.某次數學考試后，隨機選取14位學生的成績，得到如圖所示莖葉圖，其中個數部分作為“葉”，百位數和十位數作為“莖”，若該組數據的第25百分位數是87，則x的值為______．12.在△ABC中，若c=3，C=π3，其面積為3，則a+b=13.若(x+1)10=a0+14.已知f(x)=?x2+ax,x≤1ax?1,x>115.已知雙曲線x2?y2b2=1(b>0)的左、右焦點為F1、F2.以O為頂點，F16.已知集合M中的任一個元素都是整數，當存在整數a、c∈M，b?M且a<b<c時，稱M為“間斷整數集”.集合{x|1≤x≤10,x∈Z}的所有子集中，是“間斷整數集”的個數為______．三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，且CB⊥BP，CD⊥DP，PA=2，點E，F分別為PB，PD的中點．

(1)求證：PA⊥平面ABCD；

(2)求點P到平面AEF的距離．18.(本小題14分)

已知f(x)=log3(x+a)+log3(6?x)．

(1)是否存在實數a，使得函數y=f(x)是偶函數？若存在，求實數a的值，若不存在，請說明理由；

(2)若a>?3且a≠019.(本小題14分)

某區2025年3月31日至4月13日的天氣預報如圖所示．

(1)從3月31日至4月13日某天開始，連續統計三天，求這三天中至少有兩天是陣雨的概率；

(2)根據天氣預報，該區4月14日的最低氣溫是9℃，溫差是指一段時間內最高溫度與最低溫度之間的差值，例如3月31日的最高溫度為17℃，最低溫度為9℃，當天的溫差為8℃，記4月1日至4日這4天溫差的方差為s12，4月11日至14日這4天溫差的方差為s22，若s22=43s12，求4月14日天氣預報的最高氣溫；

(3)從3月31日至20.(本小題18分)

已知拋物線Γ：x2=4y，過點P(a,b)的直線l與拋物線Γ交于點A、B，與y軸交于點C．

(1)若點A位于第一象限，且點A到拋物線Γ的焦點的距離等于3，求點A的坐標；

(2)若點A坐標為(4,4)，且點B恰為線段AC的中點，求原點O到直線l的距離；

(3)若拋物線Γ上存在定點D使得滿足題意的點A、B都有DA⊥DB，求a、b滿足的關系式．21.(本小題18分)

已知函數y=f(x)，P為坐標平面上一點.若函數y=f(x)的圖像上存在與P不同的一點Q，使得直線PQ是函數y=f(x)在點Q處的切線，則稱點P具有性質Mf．

(1)若f(x)=x2，判斷點P(1,0)是否具有性質Mf，并說明理由；

(2)若f(x)=2x3?4x2+2x，證明：線段x=12(?1≤y≤1)上的所有點均具有性質Mf；

答案解析1.【答案】B

【解析】解：因為a>b，所以a?b>0，A錯誤；

因為1c2+1>0，且a>b，所以ac2+1>bc2+1，B正確；

當c=0時，ac2=bc2，C錯誤；

取a=10，b=4，c=?1，b=?22.【答案】B

【解析】【分析】本題考查了圓錐的結構特征與應用問題，是基礎題．

根據圓錐的軸截面求出圓錐的母線長和底面圓半徑，計算它的側面積．【解答】

解：圓錐的軸截面邊長為2的等邊三角形，如圖所示；

則圓錐的母線長為l=2，底面圓半徑為r=1，

所以圓錐的側面積為S側面積=πrl=π?1?2=2π3.【答案】C

【解析】解：由題意可知，P(A)=2n?22n，P(B)=1+n2n，P(AB)=Cn112n=n2n，

由A，B獨立可得P(A)P(B)=P(AB)，即2n?22n?4.【答案】D

【解析】解：由已知，bn+T=bn?cos(an+T)=cos(an)，

取an+T=an+2π，則公差d=2πT，

當T=4，是d=2π4=π2，此時一個周期內的角度序列為：a1,a1+π2,a1+π,a1+3π2，

取a1=0，則對應的余弦值為1，0，?1，0，此時X={1,0,?1}，三個元素符合題意；

當T=5，是d=2π5，此時一個周期內的角度序列為：a1,a1+2π5，a1+4π5，a1+6π5，a1+8π5，

取a1=0，則對應的余弦值為1,cos2π5，cos4π5，cos6π5，cos8π55.【答案】(?1,3)

【解析】解：|x?1|<2，整理得?2<x?1<2，

解得?1<x<3；

故不等式的解集為(?1,3)．

直接利用絕對值不等式的解法求出結果．

本題考查的知識要點：絕對值不等式的解法，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于基礎題．6.【答案】2+i

【解析】解：因為zi=1?2i，所以z=i(1?2i)=i?2i2=2+i．

故答案為：2+i7.【答案】{1}

【解析】解：B?=(?∞,2)∪(2,4)∪(4,5)∪(5,+∞)，

∴A∩B?={1}．

故答案為：{1}．

由集合運算求出B8.【答案】π6【解析】解：∵直線x=?2的斜率不存在，傾斜角為π2，

直線3x?y+1=0的斜率為3，傾斜角為π3，

故直線x=?2與直線3x?y+1=0的夾角為π2?9.【答案】29【解析】解：由a=(1,0)，b=(2,1)，

可得|a|=1，|b|=5，a?b=2，

則|10.【答案】2

【解析】解：因為函數y=2sin(ωx?π16)(ω>0)的最小正周期T=2πω=π，

所以ω=2．

故答案為：11.【答案】7

【解析】解：14×25%=3.5，因為3.5不是整數，所以向上取整得4，

故第25百分位數是第四個數，

根據莖葉圖，將數據從小到大排列：75，82，83，x，91…，

由于第25百分位數是第4個數，即87，所以x=7．

故答案為：7．

根據百分位數的性質即可求解．

本題考查了百分位數的定義，屬于基礎題．12.【答案】21【解析】解：由題意得12absinC=3，

由C=π3，可得ab=4，

又c2=a2+b2?2abcosC，c=3，

即9=(a+b)2?3ab=(a+b13.【答案】310【解析】解：令x=2，故(2+1)10=a0+a1+...+14.【答案】(0,2)

【解析】解：∵二次函數g(x)=?x2+ax開口向下，x=?a2×(?1)=a2是g(x)極大值，

一次函數?(x)=ax?1，當a≠0時，函數?(x)時單調函數，沒有極值點，

要想函數y=f(x)有兩個極值點，則這兩個極值點為x=a2和x=1，

又∵函數g(x)在(a2,1)上單調遞減，∴?(x)在(1,+∞)上遞增，

∴a15.【答案】2+2【解析】解：由題意可知，|F1F2|=p=2b2+1，

如圖，過點P作準線的垂線，垂足為D，則|PD|=p，

則cos∠PF1F2=cos∠F1PD=|DP||PF1|=p|PF1|=22，

得|PF1|=2p，

在△PF16.【答案】968

【解析】解：由題意，滿足“間斷整數集”定義的子集至少有2個元素，至多有9個元素，

按子集中元素的個數分類，

①當元素個數為2時，不滿足定義的子集有：

{1,2}，{2,3}，{3,4}，{4,5}，{5,6}，{6,7}，{7,8}，{8,9}，{9,10}，共9個；

此時滿足定義的子集有C102?9個，

②當元素個數為3時，不滿足定義的子集有：

{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，{7,8,9}，{8,9,10}，共8個；

此時滿足定義的子集有C103?8個，

③當元素個數為4時，不滿足定義的子集有：

{1,2,3,4}，{2,3,4,5}，{3,4,5,6}，{4,5,6,7}，{5,6,7,8}，{6,7,8,9}，{7,8,9,10}，共7個；

此時滿足定義的子集有C104?7個，

④當元素個數為5時，不滿足定義的子集有：

{1,2,3,4,5}，{2,3,4,5,6}，{3,4,5,6,7}，{4,5,6,7,8}，{5,6,7,8,9}，{6,7,8,9,10}，共6個；

此時滿足定義的子集有C105?6個，

⑤當元素個數為6時，不滿足定義的子集有：

{1,2,3,4,5,6}，{2,3,4,5,6,7}，{3,4,5,6,7,8}，{4,5,6,7,8,9}，{5,6,7,8,9,10}，共5個；

此時滿足定義的子集有C106?5個，

⑥當元素個數為7時，不滿足定義的子集有：

{1,2,3,4,5,6,7}，{2,3,4,5,6,7,8}，{3,4,5,6,7,8,9}，{4,5,6,7,8,9,10}，共4個；

此時滿足定義的子集有C107?4個，

⑦當元素個數為8時，不滿足定義的子集有：

{1,2,3,4,5,6,7,8}，{2,3,4,5,6,7,8,9}，{3,4,5,6,7,8,9,10}，共3個；

此時滿足定義的子集有C108?3個，

⑧當元素個數為9時，不滿足定義的子集有：

{1,2,3,4,5,6,7,8,9}17.【答案】解：(1)證明：在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，且CB⊥BP，CD⊥DP，

∴AB⊥BC，CD⊥AD，

∵AB∩PB=B，AD∩PD=D，

∴BC⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，

∴PA⊥BC，PA⊥CD，

∵BC∩CD=C，∴PA⊥平面ABCD．

(2)以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，

∵PA=2，點E，F分別為PB，PD的中點，

∴P(0,0,2)，A(0,0,0)，E(1,0,1)，F(0,1,1)，

AE=(1,0,1)，AF=(0,1,1)，AP=(0,0,2)，

設平面AEF的法向量為n=(x,y,z)，

則n?AE=x+z=0n?AF=y+z=0，取x=1，得n=(1,1,?1)，【解析】(1)推導出AB⊥BC，CD⊥AD，從而BC⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，進而PA⊥BC，PA⊥CD，由此能證明PA⊥平面ABCD．

(2)以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出點P到平面AEF的距離．

本題考查線面垂直的判定與性質、點到平面的距離等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．18.【答案】存在實數a=6，使得函數y=f(x)是偶函數；

當?3<a<0時，不等式的解集為(?a,3]；當a>0時，不等式的解集為[3,6)．

【解析】解：(1)根據題意，存在a=6，使得函數y=f(x)是偶函數，

當a=6時，f(x)=log3(x+6)+log3(6?x)，有x+6>06?x>0，

解可得?6<x<6，即函數的定義域為(?6,6)，

由f(?x)=log3(6?x)+log3(6+x)=f(x)，則f(x)為偶函數，符合題意，

綜上所述，存在實數a=6，使得函數y=f(x)是偶函數；

(2)由f(x)≤f(6?x)，得log3(x+a)+log3(6?x)≤log3(6?x+a)+log3x，

所以x+a>06?x>06?x+a>0x>0，且(x+a)(6?x)≤x(6?x+a)①，

由①得，ax≥3a，

因為a>?3且a≠0，

19.【答案】13；

18℃；

117【解析】解：(1)設事件A=“從3月31日至4月13日某天開始，連續統計三天，這三天中至少有兩天是陣雨”，

連續統計三天共有12個樣本點，事件A共有4個樣本點，

所以P(A)=412=13；

(2)因為4月1日至4日這4天溫差分別為9℃、8℃、9℃、9℃，

所以s12=14i=14(xi?x?)2=316，設4月14日的溫差為x℃，

則4月11日至14日這4天溫差分別為8℃，9℃，8℃、x℃，

所以x?=x+254℃，

所以s2201233355隨機變量×的期望E[X]=0×391+1×3391+2×5591=117．20.【答案】(22,2)；

413【解析】解：(1)設A(x,y)(x,y>0)，因為點A在拋物線上，

所以點A到拋物線T的焦點的距離等于它到拋物線Γ的準線y=?1的距離，

所以y+1=3，y=2，

所以x=42，

故點A的坐標是(22,2)；

(2)設B(b,b24)，則C(2b?4,b22?4)，

由題意，4?2b=0，所以b=2，

所以B點坐標為(2,1)，

直線l的方程為：3x?2y?4=0，

所以原點O到直線l的距離d=|?4|32+(?2)2=41313；

(3)設D(x0,x024)，由題意，直線l斜率必然存在，

設其方程為：y?b=k(x?a)，

代入x2=4y中，得：x2?4kx+4ka?4b=0，

設A(x1,x124),B(x2,x22421.【答案】具有性質Mf，理由見解答；

證明見解答；

證明見解答．【解析】解：(1)點P(1,0)具有性質Mf，理由如下：

設Q(q,q2)，因為f′(x)=2x，

所以曲線y=f(x)在點Q處的切線方程為：y=2qx?q2，

將點P(1,0)坐標代入，得：2q?q2=0，

所以q=0或2，

即函數y=f(x)的圖像上存在與P不同的一點Q(0,0)，使得直線PQ是函數y=f(x)圖像在點