專題27數形結合

閱讀與思考

數學研究的對象是現實世界中的數量關系與空間形式，簡單地說就是“數”與“形”，對現實世界

的事物，我們既可以從“數”的角度來研究，也可以從“形”的角度來探討，我們在研究“數”的性質

時，離不開“形”；而在探討“形”的性質時，也可以借助于“數”．我們把這種由數量關系來研究圖形

性質，或由圖形的性質來探討數量關系，即這種“數”與“形”的相互轉化的解決數學問題的思想叫作

數形結合思想.

數形結合有下列若干途徑：

1．借助于平面直角坐標系解代數問題；

2．借助于圖形、圖表解代數問題；

3．借助于方程（組）或不等式（組）解幾何問題；

4．借助于函數解幾何問題.

現代心理學表明：人腦左半球主要具有言語的、分析的、邏輯的、抽象思維的功能；右半球主要具

有非言語的、綜合的、直觀的、音樂的、幾何圖形識別的形象思維的功能．要有效地獲得知識，則需要

兩個半球的協同工作，數形結合分析問題有利于發揮左、右大腦半球的協作功能.

代數表達及其運算，全面、精確、入微，克服了幾何直觀的許多局限性，正因為如此，笛卡爾創立

了解析幾何，用代數方法統一處理幾何問題．從而成為現代數學的先驅．幾何問題代數化乃是數學的一

大進步．

例題與求解

【例l】設yx22x2x24x13，則y的最小值為___________.（羅馬尼亞競賽試題）

解題思路：若想求出被開方式的最小值，則顧此失彼．yx121x229＝

2222

x101x203，于是問題轉化為：在x軸上求一點C(x，0)，使它到兩

點A（－1，1）和B(2，3)的距離之和（即CA＋CB）最小.

【例2】直角三角形的兩條直角邊之長為整數，它的周長是x厘米，面積是x平方厘米，這樣的直角三

角形()

A．不存在B．至多1個C．有4個D．有2個

（黃岡市競賽試題）

解題思路：由題意可得若干關系式，若此關系式無解，則可推知滿足題設要求的直角三角形不存在；

若此關系式有解，則可推知這樣的直角三角形存在，且根據解的個數，可確定此直角三角形的個數．

【例3】如圖，在△ABC中，∠A＝900，∠B＝2∠C，∠B的平分線交AC于D，AE⊥BC于E，

111

DF⊥BC于F.求證：.

BDDFAEBFAEBE

（湖北省競賽試題）

解題思路：圖形中含多個重要的基本圖形，待證結論中的代數跡象十分明顯．可依據題設條件，分

別計算出各個線段，利用代數法證明．

【例4】當a在什么范圍內取值時，方程x25xa有且只有相異的兩實數根？

（四川省聯賽試題）

解題思路：從函數的觀點看，問題可轉化為函數yx25x與函數ya(a≥0)圖象有且只有相

異兩個交點．作出函數圖象，由圖象可直觀地得a的取值范圍．

【例5】設△ABC三邊上的三個內接正方形（有兩個頂點在三角形的一邊上，另兩個頂點分別在

三角形另兩邊上）的面積都相等，證明：△ABC為正三角形．（江蘇省競賽試題）

解題思路：設△三邊長分別為，，，對應邊上的高分別為，，，△的面積

ABCabchahbhcABC

2S2S2S

為S，則易得三個內接正方形邊長分別為，，，由題意得ahabhbchc，

ahabhbchc

2S2S2S2S

即abcL．則a，b，c適合方程xL.

abcx

2

2y

xxy25

3

2

y

【例6】設正數x，y，z滿足方程組z29，求xy2yz3zx的值．

3

22

zzxx16

（俄羅斯中學生數學競賽試題）

能力訓練

1.不查表可求得tan150的值為__________.

33

2.如圖，點A，C都在函數y(x0)的圖象上，點B，D都在x軸上，且使得△OAB，△

x

BCD都是等邊三角形，則點D的坐標為______________.（全國初中數學聯賽試題）

3．平面直角坐標系上有點P(－1，－2)和點Q(4，2)，取點R(1，m)，當m________時，PR＋

RQ有最小值.

4.若a0，b0，要使xaxbab成立，x的取值范圍是__________.

5.已知AB是半徑為1的⊙O的弦，AB的長為方程x2x10的正根，則∠AOB的度數是

______________.（太原市競賽試題）

6.如圖，所在正方形的中心均在坐標原點，且各邊與x軸或y軸平行，從內到外，它們的邊長依

次為，，，，…，頂點依次用，，，，…表示，則頂點的坐標是

2468A1A2A3A4A55()

A.(13，13)B．(－13，－13)C.(14，14)D.(－14，一14)

第2題圖第6題圖

7．在△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4．在△ABD中，∠A＝900，AD＝12.點C和點D分居AB

DEm

兩側，過點D且平行于AC的直線交CB的延長線于E．如果，其中，m，n是互質的正整數，

DBn

那么mn=()

A.25B.128C.153D.243E.256

（美國數學統一考試題）

aab

8．設a，b，c分別是△ABC的三邊的長，且，則它的內角∠A，∠B的關系是()

babc

A．∠B＞2∠AB．∠B=2∠AC．∠B＜2∠AD．不確定

．如圖，，，，則

9SAFG5aSACG4aSBFG7aSAEG()

27282930

A．aB．aC．aD．a

11111111

10.滿足兩條直角邊邊長均為整數，且周長恰好等于面積的整數倍的直角三角形的個數有()

A.1個B．2個C．3個D．無窮多個

如圖，關于的二次函數2的圖象與軸交于，，，兩點＞＞，

11.xyx2mxmxA(x10)B(x20)(x20x1)

與y軸交于C點，且∠BAC＝∠BCO.

(1)求這個二次函數的解析式；

以點（，）為圓心⊙，與軸相切于點，過＝拋物線上一點，＞，＜

(2)D20DyOE(x3t)(t0x3

0)作x軸的平行線與⊙D交于F，G兩點，與拋物線交于另一點H．問是否存在實數t，使得EF＋GH＝

CF?如果存在，求出t的值；如果不存在，請說明理由．（武漢市中考題）

12.已知正數a，b，c，A，B，C滿足a＋A＝b＋B＝c＋C＝k.求證：aB十bC＋cA＜k2.

13.如圖，一個圓與一個正三角形的三邊交于六點，已知AG＝2，GF＝13，FC＝1，HI＝7，求DE．

（美國數學邀請賽試題）

14.射線QN與等邊△ABC的兩邊AB，BC分別交于點M，N，且AC//QN，AM＝MB＝2cm，QM＝4cm.

動點P從點Q出發，沿射線QN以每秒1cm的速度向右移動，經過t秒，以點P為圓心，3cm為半

徑的圓與△ABC的邊相切（切點在邊上）．請寫出t可以取的一切值：_______________（單位：秒）．

15.如圖，已知D是△ABC邊AC上的一點，AD：DC＝2：1，∠C＝450，∠ADB＝600．

求證：AB是△BCD的外接圓的切線．

（全國初中數學聯賽試題）

16.如圖，在△ABC中，作一條直線l∥BC，且與AB、AC分別相交于D，E兩點，記△ABC，△BED的

1

面積分別為S，K．求證：K≤S．（長春市競賽試題）

4

17.如圖，直線OB是一次函數y2x的圖象，點A的坐標為(0，2).在直線OB上找點C，使得△ACO

為等腰三角形，求點C的坐標．（江蘇省競賽試題）

專題27數形結合

例15提示:作出B點關于x軸的對稱點B'(2,-3)，連結AB'交x軸于C，則AB'=AC十CB'為所要求的

最小值.

1

例2D提示:設兩直角邊長為a，b，斜邊長為c，由題意得a+b+c=x，abx,又a2b2c2，得

2

42b2b0,42b0,

a..因a,h為邊長且是整數.故當得b<2，取b1,a不是整數;當得

4b4b0,34b0,

b>4，要使a,b為整數，只有兩種取法:若b=5時，a=12(或b=12,a=5);若b=8時，a=6(或b=6,a=8).

112

例3設AB=x，則BC=2x,AC=3x,BE=x,DF=DA=x,BDx..在RtAEB中求得

233

△

3

AE=x,BFx,代入證明即可.

2

例4如圖，作出函數yx25x圖象，由圖象可以看出:當a=0時，

25

y=0與yx25x有且只有相異二個交點;當0a時，y=a與

4

25

yx25x圖象有四個不同交點;當a時，y=a與

4

yx25x圖象有三

25

個不同交點，當a時，y=a與yx25x圖象有且只有相異二個交點.

4

2s2s2s2s

例5由abcL①,知正數a,b,c適合方程xL.當x0時，有

abcx

x2Lx2s0②，故a,b,c是方程②的根.但任何二次方程至多只有兩個相異的根，所以a,b,c中的

112s

某兩數必相同.設ab,若ca，由①得ac2sac，則ac=2s=ah，這樣ABC

caaca

△

就是以∠B為直角的直角三角形，b>a，矛盾，故a=c，得證.

例

6SAOBSBOCSAOCSABC,

1y1y11

xsin150zxzsin12043,

232322即

1y11y13

xzxz6,

2322322化簡得xy2yz3zx243.

能力訓練1.23提示:構造含15的RtABC.

△

2.26，0提示:如圖，分別過點A,C作x軸的垂線，垂足分別為E,F.設

OE=a,BF=b，則AE=3a,CF=3b，所以點A,C的坐標為

3a233,

a,3a,2ab,3b.解得

3b2ab33,

a3,

∴點D坐標為26,0.

b63.

2

3.-提示:當R,P，Q三點在一條直線上時，PR+RQ有最小值.

5

4.bxa

5.36提示:由x2x10得x1x2<1，則有AB<OB.在OB上截取OC=AB=x，又由x2x10

x1ABOA

得，即，則OAB∽△ABC,AB=AC=OC.

1xxBCAB

提示由題所給的數據結合坐標系可得，是第個正方形上的第三個頂點，位于第一象限，所

6.C:A5514

以的橫縱坐標都是

A5514.

7.A

bac

8.B提示：由條件a2abacabb2,即b2aac,，延長CB至D，使BD=AB，

ab

易證ABC∽△DAC，得∠ABC=∠D+∠BAD=2∠D=2∠BAC.

9.D

△

1

10.C提示:設直角三角形的兩條直角邊長為a,bab,則aba2b2kab(a,b,k均為正

2

ka41,ka42,

整數)，化簡得ka4kb48,或解得

kb48kb44

k1,k2,k1,

a5,或a3,或a6,即有3組解.

b12b4b8

11.(1)yx22x1(2)過D作DM⊥EH于M，連結DG,

DMt,DGDO2,FG2MG22t2.若EF+GH=FG成立，則EH=2FG.由EF//x軸，設

為，又∵為拋物線上的兩個點，22即是方程

Hx4,tE,Hx32x31t,x42x41t,x3,x4

2的兩個不相等的實數根，，

x2x1tx3x42,x3x41t

22解得

EHx4x3x3x44x3x422t,22t222t,

971971

t,t(舍去).

1818

12.a十A=b+B=c十C=k，可看作邊長為k的正三角形，而從k2聯想到邊長為k的正方形的面積.如圖，

將aB+bC+cA看作邊長分別為a與B,b與C,c與A的三個小矩形面積之和，將三個小矩形不重疊地嵌入

到邊長為k的正方形中，顯然aB+bC+cA<k2.

13.AC=AG+GF+FC=16，由AH·AI=AG·AF，得AH

(AH＋7)＝2×(2＋13)，解得AH＝3，從而HI＝7，BI＝6．設BD＝x，CE＝y，則由圓冪定理得

CE?CD＝CF?CGy(16－x)＝1×14x＝10－22

，即.解得.故DE＝16－(x＋y)＝222.

BD?BE＝BI?BHx(16－y)＝6×13y＝6－22

14.t＝2或3≤t≤7或t＝8.提示：本題通過點的移動及直線與圓相切，考查分類討論思想.由題意知∠

AMQ＝60°，MN＝2．當t＝2時，圓P與AB相切；當3≤t≤7時，點P到AC的距離為3，圓P

與AC相切；當t＝8時，圓P與BC相切．

15．設AD＝2，DC＝1，作BE⊥AC，交AC于E．又設ED＝x,則BE＝3x,BE＝EC＝3x．又1＋x＝3x,

3＋13＋33－33－33＋3

∴x＝,BE＝,AE＝AD－ED＝2－x＝，AB2＝AE2＋BE2＝（）2＋（）

22222

2＝6，而AD?AC＝6．∴AB2＝AD?AC.故由切割線定理逆定理知，AB是△BCD的外接圓的切線．

ADAES△ABEAES△BDEBDAB－AD

16．設