2024-2025學年廣東省廣州市高二下學期3月月考數(shù)學學情檢測試題注意事項：1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2.請將答案正確填寫在答題卡上一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.某電動自行車的耗電量與速度之間的關(guān)系式為，為使其耗電量最小，則其速度為（）A.20 B.30 C.40 D.50【正確答案】C【分析】利用導數(shù)求出函數(shù)取最小值時對應的的值即可得解.【詳解】由題意知，令，解得，令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，取得最小值.因此為使耗電量最小，則其速度應定為.故選：C.2.函數(shù)的導數(shù)是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)導數(shù)的運算法則即可得到答案.【詳解】．故選：C.3.曲線在點處切線的斜率為，則的坐標為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】借助導數(shù)的幾何意義計算即可得.【詳解】，令，則，故，當時，，即的坐標為.故選：B.4.設(shè)，若函數(shù)在內(nèi)存在極值點，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】首先求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)在內(nèi)存在零點，利用參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題，即可求解.【詳解】依題意，在內(nèi)存在變號零點，而不是的零點，從而得，又在上遞增，所以.故選：B5.在上的導函數(shù)為，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷其單調(diào)性，從而得到不等關(guān)系，即可判斷.【詳解】令，則，，，在上單調(diào)遞增，，即，.故選：A.6.若函數(shù)在上單調(diào)，為實數(shù)，則（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】對函數(shù)求導，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性質(zhì)得出的特點，進而得到與的關(guān)系，再通過構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性來比較與、與的大小關(guān)系.【詳解】，因為在上單調(diào)，所以無變號零點，則是方程的解，故，即，，令，則，令，解得，時，，時，,所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以，即；，令，在上單調(diào)遞增，無最值，則大小不確定，故選：D.7.已知函數(shù)，若對于任意的使得不等式成立，則實數(shù)的取值范圍（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】將不等式變形為，構(gòu)造函數(shù)，分析可知該函數(shù)為增函數(shù)，可得出，求出函數(shù)的最小值，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，由可得，即函數(shù)的定義域為，可得，即，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，可得，則，即，其中，令，其中，則，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，解得.綜上，故選：A.關(guān)鍵點點睛：解本題的關(guān)鍵在于將不等式變形為，結(jié)合不等式的結(jié)果構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性以及參變量分離法求解.8.已知函數(shù)有且僅有一個零點，其中，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)且得到為的唯一零點，從而得到，再利用基本不等式求得的最小值.【詳解】因為有且僅有一個零點，又，所以為的唯一零點．因為，因為，所以，令，解得，令，解得，若，因為，所以，所以此時，在上單調(diào)遞減，所以，又，所以在上存在唯一零點，此時有兩個零點，不合題意；同理若，即時，有兩個零點，不合題意，所以，所以，當且僅當，時取等號，所以的最小值為．故選：B．思路點睛：證明，分和即和兩種情況討論，均有兩個零點，不符合題意，從而得到.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.）9.設(shè)函數(shù)，則（）A.有兩個極大值點 B.有兩個極小值點C.是的極大值點 D.是的極小值點【正確答案】BC【詳解】求出函數(shù)的導數(shù)，討論其符號后可得正確的選項.【分析】根據(jù)題意，可得，于是x1000極小值極大值極小值因此函數(shù)有2個極小值點，以及1個極大值點．故選：BC10.已知正棱錐的體積為，則其側(cè)棱長可能為（）A.5 B.6 C.7 D.8【正確答案】CD【分析】設(shè)正棱錐的側(cè)棱長為，底面正多邊形的外接圓的半徑為，求得高，由底面多邊形的面積，得到，通過換元構(gòu)造函數(shù)求其最大值，和比較大小求解即可；【詳解】設(shè)正棱錐的側(cè)棱長為，底面正多邊形的外接圓的半徑為，則，則正棱錐的高，正棱錐的底面多邊形的面積，所以正棱錐的體積，其中，令可得．設(shè)函數(shù)則當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減．所以則，解得．故選：CD11.已知函數(shù)，且存在唯一的整數(shù)，使得，則實數(shù)a的可能取值為（）A. B. C. D.【正確答案】AC【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為，分別作出與的圖象，轉(zhuǎn)動直線使得滿足的整數(shù)解是唯一的，觀察直線的斜率滿足的條件即可.【詳解】令，得.令，則，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.如圖，分別作出函數(shù)與的圖象，其中直線恒過定點.由圖可知，，，存在唯一的整數(shù)，使得，則需，故實數(shù)a的取值范圍是，其中，，而，，故選：AC.參數(shù)分離法解不等式恒成立問題:(1)參數(shù)完全分離法:將參數(shù)完全分離到不等式的一端，只需求另一端函數(shù)的最值即可，這種方法的好處是分離后函數(shù)不含參數(shù)，易求最值.(2)參數(shù)半分離法:將原不等式分成兩個函數(shù)，其中一個函數(shù)為含參的簡單函數(shù)，如一次函數(shù)，可以通過圖象的變化尋求滿足的條件.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.函數(shù)在上的最大值為________.【正確答案】0【分析】求導，得到函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合，求出函數(shù)的最大值.【詳解】，，當時，，當時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，其中，故在上的最大值為0.故013.已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍為________.【正確答案】【分析】求出導函數(shù)，要使函數(shù)有兩個極值點，經(jīng)分析可知只需有兩個不同正根，并且在的兩側(cè)的單調(diào)性相反，在的兩側(cè)的單調(diào)性相反.令可得，作出和的圖像，分析即可得出的取值范圍【詳解】的定義域為，.要使函數(shù)有兩個極值點，只需有兩個不同正根，并且在的兩側(cè)的單調(diào)性相反，在的兩側(cè)的單調(diào)性相反.由得，.令，，要使函數(shù)有兩個極值點，只需和有兩個交點.，令得：x>1；令得：；所以在上單減，在上單增.當時，；當時，；作出和的圖像如圖，所以即實數(shù)的取值范圍為.故答案為.14.設(shè)滿足方程的點的運動軌跡分別為曲線，若曲線有兩個交點（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），則實數(shù)的取值范圍為__________.【正確答案】【分析】法一：將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與的圖象有兩個交點，利用導數(shù)研究的性質(zhì)，結(jié)合圖形即可求解；法二：將原問題轉(zhuǎn)化為直線與的圖象有兩個交點，利用導數(shù)研究的性質(zhì)，結(jié)合圖形即可求解.【詳解】法一：因為，，依題意，曲線，曲線，且曲線有兩個交點，方程在上有兩解，即方程在上有兩解，令，所以方程有兩解等價于函數(shù)的圖象與的圖象有兩個交點.易知直線恒過定點，斜率為，又由得，令，則，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，作出的圖象如圖所示，設(shè)直線是的圖象的切線，設(shè)切點為，則切線斜率為，所以切線的方程為，又直線經(jīng)過點，所以，即，解得或，所以或，由圖知，當或即或時，函數(shù)的圖象與的圖象有兩個交點，即曲線有兩個交點，故實數(shù)的取值范圍是.法二：因為，依題意，曲線，曲線，且曲線有兩個交點，方程在上有兩解，即方程在上有兩解，當時，，此時；當時，即方程上有兩解，令，則圖象與的圖象有兩個交點.又，令，則或，當或時，單調(diào)遞減，當或時，單調(diào)遞增，又，且當時，，當時，，當時，，所以的大致圖象如圖所示，要使圖象與的圖象有兩個交點，則或，所以實數(shù)的取值范圍是.故方法點睛：利用導數(shù)證明形如的不等式恒成立的求解策略：1、構(gòu)造函數(shù)法：令，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，只需恒成立即可；2、參數(shù)分離法：轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或恒成立，只需利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值即可；3，數(shù)形結(jié)合法：結(jié)合函數(shù)的圖象在的圖象的上方（或下方），進而得到不等式恒成立.四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知函數(shù).（1）求的圖象在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的極值；【正確答案】（1）（2）極小值為，無極大值【分析】（1）求出，求導，得到，由導數(shù)幾何意義得到切線方程；（2）求定義域，求導，得到函數(shù)單調(diào)性，從而求出極值.【小問1詳解】，，故的圖象在點處的切線為，即；【小問2詳解】的定義域為，由（1）知，令得，令得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在上取得極小值，極小值為，無極大值；16.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，求函數(shù)在的最小值.【正確答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）對函數(shù)求導，討論、研究導數(shù)的區(qū)間符號，即可得對應單調(diào)性；（2）應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，討論與區(qū)間的位置關(guān)系求函數(shù)最小值.【小問1詳解】由題意知的定義域為，，①若，恒成立，所以在上單調(diào)遞減.②若，由，得，所以當時，；當時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上：當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】由（1）知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.①當，即時，在單調(diào)遞減，當時，有最小值；②當，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當時，有最小值；③當，即時，在上單調(diào)遞增，當時，有最小值；綜上.17.已知函數(shù).（1）若函數(shù)不單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍；（2）若曲線與直線有且僅有一個交點，求實數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）將函數(shù)不單調(diào)轉(zhuǎn)化為在上存在變號零點，進而轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上存在變號零點，結(jié)合二次函數(shù)區(qū)間根問題分析可得；（2）利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合可得.【小問1詳解】由題意，.，設(shè)，，當即時，，，當時，，當時，，故函數(shù)不單調(diào)，滿足題意；當，即時，函數(shù)開口向下，因，故，使得當時，，當時，，故函數(shù)不單調(diào)，滿足題意；當時，，無解，此時，，函數(shù)單調(diào)遞增，不滿足題意；當時，的開口向上，對稱軸為，Δ=故在上有兩個不同的零點，，此時當或時，，當時，，故函數(shù)不單調(diào)，滿足題意；綜上可知函數(shù)不單調(diào)時，實數(shù)的取值范圍為.【小問2詳解】設(shè)，由題意可知由唯一零點，，，設(shè)，當，即時，，單調(diào)遞增，結(jié)合可知滿足題意，當時，，，單調(diào)遞增，滿足題意；當時，，Δ′=a+3設(shè)此時的兩個根分別為，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，故，又當x>?1,x→?1時，，當時，，故的零點不唯一，綜上可知實數(shù)的取值范圍.18.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在處有極值，且關(guān)于的方程有3個不同的實根，求實數(shù)的取值范圍；（2）記.若對任意且時，均有成立，求實數(shù)的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）首先根據(jù)極值點的定義求，并利用函數(shù)的導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值，結(jié)合函數(shù)有3個零點求參數(shù)的取值范圍；（2）首先根據(jù)函數(shù)的的單調(diào)性去絕對值，再變形不等式，轉(zhuǎn)化為函數(shù)在遞減；在遞增，再利用函數(shù)的導數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為參變分離，求最值問題，即可求解.【小問1詳解】函數(shù)在處有極值，可得，解得，經(jīng)檢驗，滿足題意，所以當時，在單調(diào)遞減；當或時，在上單調(diào)遞增，可得在處取得極小值，且為0，在處取得極大值，且為，方程有3個不同的實根，等價為，即有的取值范圍是.【小問2詳解】在遞減，可得時，，，即為，即即為即對任意且時恒成立.所以在遞減；在遞增.當恒成立時，可得，即在恒成立，在上單調(diào)遞增，即，則.當在恒成立時，可得，即在恒成立，，當時等號成立，則，則.綜上可得的取值范圍是.關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是第2問，變形不等式，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的單調(diào)性問題，結(jié)合導數(shù)，即可求解.19.已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)在單調(diào)增，求實數(shù)a的取值范圍：（2）當時，，求實數(shù)a的值；（3）求證：．【正確答案】（1）（2）（3）證明見解析【分析】（1）函數(shù)在某區(qū)間單調(diào)遞增，可通過其導數(shù)在該區(qū)間大于等于0恒成立來求解參數(shù)范圍；（2）要根據(jù)函數(shù)在給定區(qū)間的取值情況確定參數(shù)值，需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)進行分析；（3）證明不等式需要利用前面得到的