2024-2025學年云南省玉溪市高三下學期3月月考數學檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上，并認真核準條形碼上的準考證號、姓名、考場號、座位號及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將答題卡交回，一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.函數在區(qū)間上的平均變化率為（）A.6 B.3 C.2 D.1【正確答案】B【分析】由平均變化率計算公式求解．【詳解】解：函數在區(qū)間上的平均變化率為．故選：B.2.已知函數，若，則的值等于（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】求導，根據得到方程，求出答案.【詳解】，，．故選：B3.曲線在點處切線的斜率為，則的坐標為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】借助導數的幾何意義計算即可得.【詳解】，令，則，故，當時，，即的坐標為.故選：B.4.已知函數，則（）A.0 B. C.2025 D.4050【正確答案】B【分析】先求出導函數，再代入結合應用誘導公式及特殊角的函數值求解.【詳解】因為，則，故.故選:B.5.曲線在處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用導數的幾何意義求出切線方程，可得出切線與兩坐標軸的交點坐標，再利用三角形的面積公式即可得解.【詳解】對函數求導得，故所求切線斜率為，切點坐標為，所以，曲線在處的切線方程為，該切線交軸于點，交軸于點，因此，曲線在處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為.故選：D.6.已知函數在處取得極小值，則的極大值為（）A.4 B.2 C. D.【正確答案】A【分析】先由求出，再檢驗是否符合題意即可.【詳解】由題得，因為函數在處取得極小值，所以或，當時，，，所以當時，，當時，，所以函數處取得極小值，符合題意，所以函數在處取得極大值為；當時，，，所以當時，，當時，，所以函數在處取得極大值，不符合題意；綜上，的極大值為4.故選：A7.已知函數，則曲線在點處的切線方程為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】求，取，可求，再求，，再由導數的幾何意義及點斜式求切線方程.【詳解】由，得，所以，得，所以，，，，故所求切線方程為，即.故選：A.8.已知奇函數的定義域為，且是的導函數，若對任意，都有則滿足的的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】構造函數，結合已知條件判斷函數的奇偶性與單調性，將變形為，即，利用函數單調性解不等式即可.【詳解】設，因為為奇函數，為偶函數，所以為奇函數；因為對任意，都有，而，所以在單調遞減，又因為為奇函數，所以在單調遞減，當時，，因為，所以，所以，所以，故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.下列求導運算正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】BC【分析】根據導數的運算法則以及導數公式表計算可得答案.【詳解】對于A，，故A不正確；對于B，根據導數公式表可知B正確；對于C，根據導數公式表可知C正確；對于D，，故D不正確.故選：BC10.定義在上函數的導函數的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（）A.函數在上單調遞減 B.函數在上單調遞減C.函數在處取得極小值 D.函數在處取得極大值【正確答案】AD【分析】利用函數的函數的圖象，可判斷函數的單增區(qū)間與單減區(qū)間，進而可得極大值點，從而可得結論.【詳解】由函數的導函數的圖象可知，當時，，所以在上單調遞增，故B錯誤；當時，，所以在上單調遞減，故A正確；所以函數在處取得極大值，不是極小值點，故C錯誤，D正確.故選：AD.11.設函數，則（）A.當時，是的極大值點B.當時，有三個零點C.存在a，使得點為曲線的對稱中心D.存在a，b，使得為曲線的對稱軸【正確答案】BC【分析】A選項，根據極值和導函數符號關系進行分析；B選項，先分析出函數的極值點為，根據零點存在定理和極值的符號判斷出在上各有一個零點；C選項，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，據此進行計算判斷，亦可利用拐點結論直接求解.D選項，假設存在這樣的，使得為的對稱軸，則為恒等式，據此計算判斷；【詳解】A選項，，時，，單調遞減，時，單調遞增，此時在處取到極小值，A選項錯誤；B選項，，由于，故時，故在上單調遞增，時，，單調遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，由，，則，根據零點存在定理在上有一個零點，又，，則，則在上各有一個零點，于是時，有三個零點，B選項正確；C選項，方法一：利用對稱中心的表達式化簡，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，事實上，，于是即，解得，即存在使得是的對稱中心，C選項正確.方法二：直接利用拐點結論任何三次函數都有對稱中心，對稱中心的橫坐標是二階導數的零點，，，，由，于是該三次函數的對稱中心為，由題意也是對稱中心，故，即存在使得是的對稱中心，C選項正確.D選項，假設存在這樣的，使得為的對稱軸，即存在這樣的使得，即，根據二項式定理，等式右邊展開式含有的項為，于是等式左右兩邊的系數都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的，使得為的對稱軸，D選項錯誤；故選：BC結論點睛：（1）的對稱軸為；（2）關于對稱；（3）任何三次函數都有對稱中心，對稱中心是三次函數的拐點，對稱中心的橫坐標是的解，即是三次函數的對稱中心.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.曲線在點處的切線的斜率為______．【正確答案】【分析】求出函數的導數，再利用導數的幾何意義求出切線的斜率.【詳解】由，求導得，則，所以所求切線的斜率為2.故2.13.函數的極小值為________．【正確答案】【分析】利用導數分析函數的單調性，由此可求得函數的極小值.【詳解】由題意，函數的定義域為，.因為恒成立，所以由，得；由，得；所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以函數在處取得極小值，極小值.故答案為.14.設不等式；在時恒成立．則實數的最大值為______．【正確答案】【分析】分離參數，得在上恒成立，問題轉化為求函數在上的最小值.利用導數分析函數的單調性，可求函數的最小值.【詳解】因為，由，得：恒成立，即.記，則，由得：；由得.所以函數在上單調遞減，在上單調遞增.所以在處取到最小值，且.所以.故答案：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數．（1）求的單調區(qū)間；（2）求函數的極值；【正確答案】（1）單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為；（2）極大值為，極小值為．【分析】（1）求出函數的定義域與導函數，即可求出函數的單調區(qū)間；（2）結合（1）的單調性求出函數的極值.【小問1詳解】函數的定義域為，又，當或時，，當時，，所以的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為；【小問2詳解】由（1）可知當時，有極大值，且極大值為；當時，有極小值，且極小值為．16.已知函數.（1）當時，求的圖象在點處的切線方程；（2）若，時，求實數a的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據題意，由導數的幾何意義代入計算，即可得到結果；（2）根據題意，求導可得，然后分與討論，代入計算，即可得到結果.【小問1詳解】，，，，所以的圖象在點處的切線方程為，即.【小問2詳解】，則，當時，，即在上單調遞增.當時，，與題意不符.當時，，，在上單調遞增；，，在上單調遞減.當時，取得最大值，且為.由題意可得，解得.即實數的取值范圍為.17.已知函數．（1）討論函數的單調性；（2）當時，如果函數在定義域內單調遞增，求實數的取值范圍．【正確答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）利用導數求函數的單調性即可；（2）求出，由單調性與導數的關系得出，分離參數，構造函數求出其最大值，即可得出實數的取值范圍．【詳解】（1）定義域為，①當時，，在上單調遞增；②當時，當時，；當時，即在上單調遞減，在上單調遞增.（2）由題意對恒成立即對恒成立，.18.已知函數在處取得極值，其中．（1）求的值；（2）當時，方程有兩個不等實數根，求實數k的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）先求導函數，再依據題意求解檢驗即可.（2）由（1）得和，接著研究在上的正負從而得在上的單調性，根據單調性數形結合即可得解.【小問1詳解】由求導得，依題意可知，即，解得，此時，，由得或，當時，，函數遞增，當時，，函數遞減，故時，函數取得極大值，故.【小問2詳解】由（1）得，，令，解得或，因，故當時，函數遞減，當時，函數遞增，當時，取得極小值，無極大值，所以，所以在區(qū)間上，的最大值為或，而，所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為，作出函數與直線的圖像，如圖，由圖知.19.已知函數，（1）求的極值；（2）若時，與的單調性相同，求的取值范圍；（3）當時，函數，有最小值，記的最小值為，證明.【正確答案】(1)極小值，無極大值.(2)(3)證明見解析【分析】（1）通過導函數大于零和小于零解得函數單調區(qū)間，求出極值；（2）由（1）知，在單調遞增，則在恒成立，轉化成不等式恒成立求參數范圍；（3）時，有最小值，則的最小值是這個區(qū)間上的極小值，隱含著的根，結合根的存在性定理確定的范圍，利用隱零點關系轉化，即可求證.【詳解】解：（1）的定義域為，，當時，；當時，，所以在單調遞減，在單調遞增.所以有極小值，無極大值.（2）由（1）知，在單調遞增.則在單調遞增，即在恒成立