2024屆新高三開學摸底考試卷（課標全國專用）03理科數學（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.1．設集合，，則（

）A． B． C． D．2．若復數滿足，則（

）A．3 B．4 C．5 D．63．已知，，．．．，的平均數為10，標準差為2，則，，．．．，的平均數和標準差分別為（

）A．19和2 B．19和3 C．19和4 D．19和84．下列函數中，既是奇函數，又在R上單調遞增的函數有（

）A． B．C． D．5．已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態分布，從中隨機取一件，其長度誤差落在區間內的概率為（）（附：若隨機變量ξ服從正態分布，則68.27%，95.45%）A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%6．已知圓與圓只有一個公共點，則（

）A．1 B．4 C．9 D．1或97．的圖象大致是（

）A．B．C． D．8．“ChatGPT”以其極高的智能化引起世界關注.深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現方法，它是以神經網絡為出發點的.在神經網絡優化中，指數衰減的學習率模型為，其中表示每一輪優化時使用的學習率，表示初始學習率，表示衰減系數，表示訓練迭代輪數，表示衰減速度.已知某個指數衰減的學習率模型的初始學習率為，衰減速度為，且當訓練迭代輪數為時，學習率為，則學習率衰減到以下（不含）所需的訓練迭代輪數至少為（參考數據：）（

）A．75 B．74 C．73 D．729．已知點為坐標原點，直線與拋物線：相交于A，兩點，的中點為，若到的準線的距離等于，則（

）A． B． C． D．10．如圖，矩形ABCD中，E、F分別為BC、AD的中點，且，現將沿AE向上翻折，使點移到P點，則在翻折過程中，下列結論不正確的是（

）

A．存在點P，使得B．存在點P，使得C．三棱錐的體積最大值為D．當三棱錐的體積達到最大值時，三棱錐外接球表面積為4π11．函數在內的值域為,則的取值范圍為A． B． C． D．12．設，，，則（

）A． B．C． D．第Ⅱ卷二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．若展開式的二項式系數和為32，則展開式中的常數項為______．（用數字作答）14．已知數列滿足，，若，，則的值為______.15．已知是雙曲線的左焦點，是的右頂點，過點作軸的垂線交雙曲線的一條漸近線于點，連接交另一條漸近線于點.若，則雙曲線的離心率為__________.16．在三棱錐中，PA⊥平面ABC，，當三棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的體積為______．三、解答題（本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據要求作答）（一）必考題：共60分17．已知數列滿足，（）.記(1)求證：是等比數列；(2)設，求數列的前項和.18．某體育頻道為了解某地電視觀眾對卡塔爾世界杯的收看情況，隨機抽取了該地200名觀眾進行調查，下表是根據所有調查結果制作的觀眾日均收看世界杯時間（單位：時）的頻率分布表：日均收看世界杯時間（時）頻率0.10.180.220.250.20.05如果把日均收看世界杯的時間高于2.5小時的觀眾稱為“足球迷”．(1)根據已知條件完成下面的列聯表，并判斷是否有99.9%的把握認為該地的電視觀眾是否為“足球迷”與性別有關；非足球迷足球迷合計女70男40合計(2)將樣本的頻率分布當作總體的概率分布，現從該地的電視觀眾中隨機抽取4人，記這4人中的“足球迷”人數為X，求隨機變量X的分布列和數學期望．參考公式：，其中．參考數據：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819．在圖1中，為等腰直角三角形，，，為等邊三角形，O為AC邊的中點，E在BC邊上，且，沿AC將進行折疊，使點D運動到點F的位置，如圖2，連接FO，FB，FE，使得．

(1)證明：平面．(2)求二面角的余弦值．20．已知動圓經過點，并且與圓相切．(1)求點的軌跡的方程；(2)動直線過點，且與軌跡分別交于，兩點，點與點關于軸對稱（點與點不重合），求證：直線恒過定點．21．已知函數.(1)討論的單調性.(2)若函數有兩個零點，且，證明：.（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．22．[坐標系與參數方程]在直角坐標系中，曲線C的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線l的極坐