2025年中考九年級(jí)數(shù)學(xué)自主招生考試模擬試題一、單選題1．已知x為實(shí)數(shù)，且3x2+9x?(xA．1 B．-3或1 C．3 D．-1或32．下表是某校合唱團(tuán)成員的年齡分布年齡/歲13141516頻數(shù)515n對(duì)于不同的n，下列關(guān)于年齡的統(tǒng)計(jì)量不會(huì)發(fā)生改變的是（

）A．平均數(shù)、中位數(shù) B．眾數(shù)、中位數(shù) C．平均數(shù)、方差 D．中位數(shù)、方差3．對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“※”如下：“a※b”＝a?babA．12017 B．12018 C． D．﹣4．反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖像上有一點(diǎn)A（?4，2），點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，將直線(xiàn)OA繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，交雙曲線(xiàn)于點(diǎn)B，則點(diǎn)BA．（?2，） B．（?43，6） C．（?2，4） D．（?1，5．已知兩地相距300千米，甲騎摩托車(chē)從A地出發(fā)勻速駛向B地，當(dāng)甲行駛1后，乙騎自行車(chē)以20km/?的速度從B地出發(fā)勻速駛向A地.甲到達(dá)B地后馬上以原速按原路返回，直至甲追上乙.在此過(guò)程中，甲、乙兩人之間的距離y（km）與甲行駛時(shí)間x?之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.下列說(shuō)法：①甲最終追上乙時(shí)，乙騎行了7小時(shí)；②點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為240；③線(xiàn)段QM所在直線(xiàn)的解析式為y=40x?160；④當(dāng)x=134,A．①③ B．①④ C．②③ D．②④6．如圖（1），一只圓形平盤(pán)被同心圓劃成M，N，S三個(gè)區(qū)域，隨機(jī)向平盤(pán)中撒一把豆子，計(jì)算落在M，N，S三個(gè)區(qū)域的豆子數(shù)的比．多次重復(fù)這個(gè)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)落入三個(gè)區(qū)域的豆子數(shù)的比顯示出一定的穩(wěn)定性，總在三個(gè)區(qū)域的面積之比附近擺動(dòng)．如圖（2）將一根筷子放在該盤(pán)中AB位置，發(fā)現(xiàn)三個(gè)圓弧剛好將AB五等分．我們把豆子落入三個(gè)區(qū)域的概率分別記作PM，PN，PS，已知PS=A． B． C．415 D．15二、填空題7．設(shè)，a2+b2=4ab，則8．如圖，△ABC是等邊三角形，O是△ABC的外心，外接圓半徑為23，分別以A，B，C為圓心，AO，BO，為半徑作弧交△ABC的三邊于點(diǎn)，I，D，E，F(xiàn)，G，則陰影部分的面積為9.桌面上有A、B兩球，若要將B球射向桌面任意一邊的黑點(diǎn)，則B球一次反彈后擊中A球的概率是（）10．如圖，在Rt△ABC中，，點(diǎn)E為BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D為Rt△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠ABD=∠11．如圖，在矩形ABCD中，∠ADC的角平分線(xiàn)DE交BC于點(diǎn)E，EF⊥AE，交CD于點(diǎn)F，以AE，EF為邊，作矩形AEFG，F(xiàn)G與DA相交于點(diǎn)．若CE=3，AH=5，則AG=12．如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=62，點(diǎn)E是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，B關(guān)于AE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B'，過(guò)點(diǎn)B'作B'F⊥CD于點(diǎn)F，連接D

二、解答題13．已知x1，x2是關(guān)于x的方程(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍：(2)已知等腰△ABC的一邊長(zhǎng)為3，若x1、x214．如圖，O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D是AC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，DE分別交AB、CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E、F，若點(diǎn)E恰是(1)求證：CE是⊙O(2)若BC=1，CD=315．為推進(jìn)城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展，我市某公益組織決定向某偏遠(yuǎn)鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校的教育事業(yè)提供大力支持．他們精心準(zhǔn)備了一批書(shū)籍和實(shí)驗(yàn)器材，共計(jì)360套，其中書(shū)籍的數(shù)量比實(shí)驗(yàn)器材多了120套，以更好地滿(mǎn)足學(xué)生的閱讀需求．(1)求這批物資中書(shū)籍和實(shí)驗(yàn)器材各有多少套？(2)為了將這些書(shū)籍和實(shí)驗(yàn)器材安全、高效地運(yùn)送到目的地，該公益組織計(jì)劃同時(shí)租用甲、乙兩種型號(hào)的貨車(chē)共8輛．每輛甲種貨車(chē)最多可裝書(shū)籍40套和實(shí)驗(yàn)器材10套，每輛乙種貨車(chē)最多可裝書(shū)籍30套和實(shí)驗(yàn)器材20套．請(qǐng)問(wèn)他們有哪幾種租車(chē)方案？(3)在（2）的條件下，已知甲種型號(hào)的貨車(chē)每輛需付運(yùn)費(fèi)1000元，而乙種型號(hào)的貨車(chē)每輛需付運(yùn)費(fèi)900元．請(qǐng)你幫助該組織推薦一種能使運(yùn)費(fèi)最少的租車(chē)方案，并求最少運(yùn)費(fèi)是多少元？16．綜合與探究如圖，已知直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；(2)D是第二象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，求四邊形ABCD面積S的最大值及此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若線(xiàn)段OC上有一點(diǎn)Q，則AQ+1717CQ(4)若點(diǎn)P在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上，是否存在點(diǎn)P，Q，使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．答案第=page77頁(yè)，共=sectionpages1717頁(yè)答案第=page88頁(yè)，共=sectionpages1717頁(yè)參考答案1．B【分析】設(shè)x2+9x=y，方程變形后，求出【詳解】解：設(shè)x2+9x=y，方程變形為去分母得：3?y2=2y分解因式得：(y?1)(y+3)=0，解得：y=1或y=?3，經(jīng)檢驗(yàn)y=1與y=?3都為分式方程的解，則x2故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了換元法解分式方程，當(dāng)分式方程比較復(fù)雜時(shí)，可采用整體思想換元，使方程簡(jiǎn)化，注意檢驗(yàn)．2．B【分析】本題考查眾數(shù)的概念，中位數(shù)的概念，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵；由頻數(shù)分布表可知后兩組的頻數(shù)和為10，即可得知總?cè)藬?shù)，結(jié)合前兩組的頻數(shù)知出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)及第15、16個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，可得答案．【詳解】解：由表可知，年齡為15歲與年齡為16歲的頻數(shù)和為n+10?n=10，則總?cè)藬?shù)為：5+15+10=30，故該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為14歲，中位數(shù)為：（歲），即對(duì)于不同的n，關(guān)于年齡的統(tǒng)計(jì)量不會(huì)發(fā)生改變的是眾數(shù)和中位數(shù)，故選：B3．D【詳解】分析：根據(jù)新定義的運(yùn)算法則，直接帶入數(shù)值計(jì)算即可.詳解：由新定義可得：1※2＋2※3＋3※4＋…＋2017※2018=1?21×2=-（1-12+12?13=-（1-12018=-20172018故選D.點(diǎn)睛：此題主要考查了新定義下的分式的代入求值，根據(jù)⊕的運(yùn)算定義代入數(shù)據(jù)求值即可.屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，通過(guò)新運(yùn)算的定義利用新運(yùn)算解決問(wèn)題是關(guān)鍵．4．D【分析】過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，可證明ΔABD～ΔOAC，得到BDAC=ADOC，用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)解析式，設(shè)出B（m，），分別表示出BD、【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)∴∠由題意得∠∴∠∴∴∵反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖像上有一點(diǎn)A（?4∴k=?4×2=?8，AC=4,OC=2∴設(shè)B（m，）∴∴∴化簡(jiǎn)得m解得m1（?1，8）故選：D．【點(diǎn)睛】本題屬于反比例函數(shù)與幾何的綜合題目，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程等，準(zhǔn)確的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．5．D【分析】①根據(jù)題意,兩人距離y為時(shí)間x的函數(shù),由圖象可知兩人起始距離為300km,甲走4小時(shí)時(shí)兩車(chē)相遇,由此即可求得甲的速度為每小時(shí)60km；進(jìn)一步求出甲到B地的時(shí)間為5小時(shí),甲原路返回直到追上乙時(shí),比乙多走300km,列方程解答即可；②當(dāng)甲行駛1小時(shí)時(shí),兩人的距離等于300km減去甲1小時(shí)走的路程,即可得到P的縱坐標(biāo)；③從兩人相遇到甲到達(dá)B時(shí)用1小時(shí),M的橫坐標(biāo)為5,此時(shí)兩人距離等于兩人一小時(shí)走的路程和,即可求出M的縱坐標(biāo),由Q,M的坐標(biāo)即可求出線(xiàn)段QM所在直線(xiàn)的解析式；④分別計(jì)算當(dāng)x=134,194,【詳解】解：①(300?20×3)÷4=60(km/h)，300÷60=5(小時(shí))，設(shè)甲最終追上乙時(shí)乙行駛了a小時(shí),由題意得：60(a+1)?300=20a，解得：a=6，故①錯(cuò)誤；②300?60×1=240(km)，所以P的縱坐標(biāo)為240，②正確；③20+60=80(km)，所以M坐標(biāo)為(5,80)，又因?yàn)镼的坐標(biāo)為(4,0)，設(shè)線(xiàn)段QM所在直線(xiàn)的解析式y(tǒng)=kx+b，80=5k+b解得：k=80b=?320所以y=80x?320③錯(cuò)誤;④x=134時(shí),300?60×134?20×(x=194時(shí),(20+60)×(19x=112時(shí),20×(112?1)?(60×112綜上所述：②④正確.故答案為D．【點(diǎn)睛】本題考查了同學(xué)們從圖像中獲取信息解決問(wèn)題的能力及數(shù)形結(jié)合的思想,關(guān)鍵是從圖像中獲取到正確的信息,并能應(yīng)用信息解決問(wèn)題．6．A【分析】本題考查幾何概率，掌握幾何概率就是求幾何圖形的面積比是解題的關(guān)鍵，設(shè)小圓的半徑為r，則大圓的半徑為5r，設(shè)AB=10a，根據(jù)勾股定理求出r2=6【詳解】解：如圖，設(shè)小圓的半徑為r，則大圓的半徑為5r，設(shè)AB=10aAE=5a，CE=3a，DE∴OE解得：r2=6a∴M部分面積與整個(gè)圓面積的比：5πr∴PM等于8故選A．【詳解】試題解析：由圖可知可以瞄準(zhǔn)的點(diǎn)有2個(gè)．．∴B球一次反彈后擊中A球的概率是277．?【詳解】試題分析：由可判斷，再構(gòu)造，最后把整體代入化簡(jiǎn)即可.∵∴∵∴∴.考點(diǎn)：代數(shù)式求值點(diǎn)評(píng)：計(jì)算題是中考必考題，一般難度不大，學(xué)生要特別慎重，盡量不在計(jì)算上失分.8．【分析】本題主要考查三角形外心的定義、等邊三角形的性質(zhì)、正多邊形的中心角的定義、勾股定理、扇形的面積公式等知識(shí)，連接OA、OB、OC，則OA=OB=OC=23，由等邊三角形的性質(zhì)得∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，則∠OCA=∠OCB=∠OAB=30°，延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)P，則CP⊥AB，所以O(shè)P=12OA=3，則CP=33，AP=BP=3，所以AB=6【詳解】解：連接OA、OB、OC，則OA=OB=OC=23∵△ABC∴∠AOB=∠AOC=∠BOC=13×360°=120°∴∠OCA=∴CO平分∠ACB延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)P，則CP⊥AB∴∠OPA=90°∴OP=∴CP=OC+OP=33，AP=BP=∴AB=2AP=6∵S∴S故答案為：．9.【詳解】試題解析：由圖可知可以瞄準(zhǔn)的點(diǎn)有2個(gè)．．∴B球一次反彈后擊中A球的概率是2710．43?4/【分析】本題考查最短路線(xiàn)問(wèn)題，理解軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，分析點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題關(guān)鍵．以AB為底邊，在異于點(diǎn)C的另一側(cè)作等腰△AOB，使∠AOB=120°，則點(diǎn)D在⊙O上運(yùn)動(dòng)，然后作點(diǎn)F關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接OF'【詳解】解：在Rt△ABC中，，∴tan∴∠BAC=60°，AB=2AC=4∴∠ADB=180°?以AB為底邊，在異于點(diǎn)C的另一側(cè)作等腰△AOB，使∠AOB=120°，則點(diǎn)D在⊙O∴∠OAB=30°，作OH⊥AB于點(diǎn)∴OA=OB=OD=，作點(diǎn)F關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接OF'當(dāng)點(diǎn)O、D、E、四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，有最小值，點(diǎn)F為邊AC的中點(diǎn)，，，在Rt△OAF的最小值為43?4，故答案為：43?411．15【分析】本題主要考查了正方形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，首先證明Rt△ECF≌Rt△ABEASA，推導(dǎo)出AE=EF,結(jié)合矩形AEFG,推導(dǎo)出四邊形AEFG為正方形，然后利用∠GAH=∠FEC,∠G=∠C,推導(dǎo)出△GAH∽△CEF,AG【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，CD=AB，∠B=∴∠AEB+∵EF⊥∴∠AEF=90°,∴∠EAB=∵DE平分∠ADC∴∠CDE=在Rt△CDE中，在Rt△ECF和∠B=∴Rt△∴AE=EF，在矩形AEFG中，AG=EF=AE，∴四邊形AEFG為正方形，∴∠G=90°∴AG∥∴∠GAH=又∵∠∴△GAH∴AG∴AG·EF=AH·CE，∴A∴AE=∴AG=AE=故答案為：15．12．6【分析】作B'G⊥AD于點(diǎn)G，由△DB'F為等腰直角三角形，可證明四邊形B'FDG是正方形，則B'G=DG，即可在Rt△AB'G中根據(jù)勾股定理得62?DG2【詳解】解：作B'G⊥AD于點(diǎn)G，則

∵四邊形ABCD是矩形，AB=6，AD=62，∴∠B=∠ADC=∠C=90°，BC=AD=62，CD=AB=6∴由折疊得AB'=AB=6∵B'F⊥CD于點(diǎn)∴∠B∴四邊形B'∵△D∴B'F=DF，∴四邊形B'∴B'∵，且AG=62?DG∴62∴DG=32∴AG=DG=B∴∠G∵∠G∴∠G∴E、B'、D∴∠CE∴CE=CD=6，∴BE=62故答案為：62【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．13．(1)m>(2)1，3【分析】本題主要考查了一元二次方程的根與判別式之間的關(guān)系，三角形三邊之間的關(guān)系，等腰三角形的定義，解一元一次不等式，解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握一元二次方程的根與判別式之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）由根的判別式即可得出答案；（2）由題意得出方程的一個(gè)根為3，將x=3代入求出m的值，再根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷，即可得出答案．【詳解】（1）解：由題意得：Δ=4m+1解得：m>1（2）解：由題意可知：x1∴只能取x1=3或x2將x=3代入得：9?6m+1解得：m=1或5，當(dāng)m=1時(shí)，方程的另一個(gè)根為1，此時(shí)三角形三邊分別為1，3，3，能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形；當(dāng)m=5時(shí)，方程的另一個(gè)根為9，此時(shí)三角形三邊分別為9，3，3，不能構(gòu)成一個(gè)三角形；綜上所述，這個(gè)三角形另外兩邊的長(zhǎng)分別為1，3．14．(1)證明見(jiàn)解析(2)S【分析】（1）連接OC，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，可得∠ACB=90°，從而可得∠DCF=90°，再利用直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，可得CE=DE，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠OCA+∠DCE=90°（2）連接BD，根據(jù)已知可得∠CDB=30°，從而可得∠BDF=∠F=30°，然后證明△CDE是等邊三角形，可得，根據(jù)∠AED=90°，可得∠A=30°，從而可得∠BOC=60°，即可得△BOC是等邊三角形，最后利用△OCE的面積減去扇形的面積進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1）證明：如圖，連接OC，∵OA=OC，∴∠OCA=∵AB是⊙O∴∠DCF=∵點(diǎn)E是DF的中點(diǎn)，∴CE=1∴∠DCE=∵DE⊥∴∠AED=90°∴∠A+從而∠OCA+∴，即OC⊥∵OC是⊙O∴CE是⊙O（2）解：如圖，連接BD，由（1）知：∠DCF=90°∵BC=1，?CD=3∴tan∠∴∠COB=30°∴∠CBD=60°∵DE⊥AB，E是DF的中點(diǎn)，∴BD=BF，∴∠BDF=∴∠ADE=60°由CE=DE得△CDE是等邊三角形，從而．在△ADE中，DE⊥∴∠A=30°∴∠BOC=2∵OC=OB，∴OC=OB=BC=1．∴S扇形OBC∵S△∴S陰影【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的判定與性質(zhì)，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，扇形面積的計(jì)算，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．15．(1)240套；120套(2)4種；方案見(jiàn)解析(3)租甲種型號(hào)的車(chē)1輛，乙種型號(hào)的車(chē)7輛；7300元【分析】本題主要考查了利用二元一次方程組和一元一次不等式組解決實(shí)際問(wèn)題，找到題目中的等量關(guān)系和不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)書(shū)籍和實(shí)驗(yàn)器材分別為x、y套，根據(jù)“書(shū)籍和實(shí)驗(yàn)器材，共計(jì)360套，其中書(shū)籍的數(shù)量比實(shí)驗(yàn)器材多了120套”列方程組求解即可；（2）設(shè)安排甲型號(hào)的貨車(chē)a輛a>0，則安排乙型號(hào)的貨車(chē)8?a輛，根據(jù)“每輛甲種貨車(chē)最多可裝書(shū)籍40套和實(shí)驗(yàn)器材10套，每輛乙種貨車(chē)最多可裝書(shū)籍30套和實(shí)驗(yàn)器材20套”列不等式組求解即可；（3）分別計(jì)算出（2）中各方案的費(fèi)用，然后比較即可．【詳解】（1）解：設(shè)書(shū)籍和實(shí)驗(yàn)器材分別為x、y套．根據(jù)題意得：x+y=360x?y=120解得：x=240y=120故書(shū)籍和實(shí)驗(yàn)器材分別為240套，120套．（2）解：設(shè)安排甲型號(hào)的貨車(chē)a輛a>0，則安排乙型號(hào)的貨車(chē)8?a輛．根據(jù)題意得：40a+30解得：0<a≤4，又∵a取整數(shù)，∴a=1，2，3，48?a=7，6，5，4，∴共有4種方案，如下：方案一：甲1輛，乙7輛；方案二：甲2輛，乙6輛；方案三：甲3輛，乙5輛；方案四：甲4輛，乙4輛；（3）解：方案一所需運(yùn)費(fèi)：1000+7×900=7300（元），方案二所需運(yùn)費(fèi)：2×1000+6×900=7400（元），方案三所需運(yùn)費(fèi)