第16頁（共16頁）2024-2025學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)蘇教版（2019）期中必刷常考題之復(fù)數(shù)的運(yùn)算一．選擇題（共5小題）1．（2025?煙臺(tái)一模）已知復(fù)數(shù)z=1+ai1-i，其中a∈R，則“|z|＞1A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2025?延慶區(qū)模擬）已知a∈R，i為虛數(shù)單位，若a-2iA．﹣1 B．1 C．﹣4 D．43．（2025?安康模擬）已知i為虛數(shù)單位，若z（2+i）＝3﹣i，則|z+2i|A．10 B．10 C．5 D．54．（2025?孝義市模擬）已知a，b∈R，a﹣2i＝（b+i）i（i為虛數(shù)單位），則（）A．a(chǎn)＝1，b＝﹣2 B．a(chǎn)＝﹣1，b＝2 C．a(chǎn)＝﹣1，b＝﹣2 D．a(chǎn)＝1，b＝25．（2025?臨沂一模）52-A．2﹣i B．2+i C．1+2i D．1﹣2i二．多選題（共3小題）（多選）6．（2025?正定縣校級(jí)開學(xué)）已知復(fù)數(shù)z1，z2，則（）A．若z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，則z1z2為實(shí)數(shù) B．若|z1|＝|z2|，則z1＝z2或z1＝﹣z2 C．|z1?z2|＝|z1|?|z2| D．|（多選）7．（2025?蘇州模擬）已知復(fù)數(shù)z1＝3﹣4i，z2＝x+yi（x，y∈R）（i為虛數(shù)單位），則（）A．|z2|=|z2C．|z1z2|=|z1z2| D．若|z2﹣z1（多選）8．（2025?德陽模擬）已知z1，z2是復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位，則下列說法正確的是（）A．若|z1|＝1，則z1＝i B．?z1，zz∈C，|z1z2|＝|z1||z2| C．z1﹣z2＞0是z1＞z2的充要條件 D．若z1z2＝0，則z1，z2中至少有一個(gè)為0三．填空題（共4小題）9．（2025?天津模擬）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，1），則i3?z＝．10．（2025?薊州區(qū)校級(jí)模擬）若復(fù)數(shù)a-3i2+i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝11．（2025?泉州模擬）已知復(fù)數(shù)z=-2+2i1+i+1-i，則|12．（2025?湖南模擬）復(fù)數(shù)z=4-i1-i-四．解答題（共3小題）13．（2024秋?周口校級(jí)期末）對(duì)任意一個(gè)非零復(fù)數(shù)z，定義集合Mz（1）設(shè)a是方程x+1x=（2）若復(fù)數(shù)ω∈Mz，求證Mω?Mz．14．（2024春?科左中旗校級(jí)期中）已知x2﹣（3﹣2i）x﹣6i＝0．（1）若x∈R，求x的值．（2）若x∈C，求x的值．15．（2024春?科左中旗校級(jí)期中）設(shè)z是虛數(shù)，ω=z+1z是實(shí)數(shù)，且﹣1（1）求|z|的值及z的實(shí)部的取值范圍；（2）設(shè)μ=1-z（3）在（2）的條件下，求ω﹣μ2的最小值．

2024-2025學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)蘇教版（2019）期中必刷常考題之復(fù)數(shù)的運(yùn)算參考答案與試題解析題號(hào)12345答案BCBCB一．選擇題（共5小題）1．（2025?煙臺(tái)一模）已知復(fù)數(shù)z=1+ai1-i，其中a∈R，則“|z|＞1A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算；充分條件必要條件的判斷．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)模的求法及|z|＞1得a＞1或a＜﹣1，再由充分、必要性定義即可得答案．【解答】解：復(fù)數(shù)z=1+ai1-i，|由|z|=|1+ai||1-i|=1+a所以“|z|＞1”是“a＞1”的必要不充分條件．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．（2025?延慶區(qū)模擬）已知a∈R，i為虛數(shù)單位，若a-2iA．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的相關(guān)概念得解．【解答】解：∵a-∴a+45=0，解得a故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．3．（2025?安康模擬）已知i為虛數(shù)單位，若z（2+i）＝3﹣i，則|z+2i|A．10 B．10 C．5 D．5【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算；復(fù)數(shù)的模．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出z，再利用共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)模的意義求解．【解答】解：i為虛數(shù)單位，z（2+i）＝3﹣i，故z=3-i所以|z故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．4．（2025?孝義市模擬）已知a，b∈R，a﹣2i＝（b+i）i（i為虛數(shù)單位），則（）A．a(chǎn)＝1，b＝﹣2 B．a(chǎn)＝﹣1，b＝2 C．a(chǎn)＝﹣1，b＝﹣2 D．a(chǎn)＝1，b＝2【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)相等的條件，即可求解．【解答】解：a﹣2i＝（b+i）i＝﹣1+bi，則a＝﹣1，b＝﹣2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)相等的條件，屬于基礎(chǔ)題．5．（2025?臨沂一模）52-A．2﹣i B．2+i C．1+2i D．1﹣2i【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算．【專題】數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【答案】B【分析】直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)求值．【解答】解：52-故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算，復(fù)數(shù)的除法，采用分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，是基礎(chǔ)題．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2025?正定縣校級(jí)開學(xué)）已知復(fù)數(shù)z1，z2，則（）A．若z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，則z1z2為實(shí)數(shù) B．若|z1|＝|z2|，則z1＝z2或z1＝﹣z2 C．|z1?z2|＝|z1|?|z2| D．|【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算；共軛復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的模．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可判斷A；舉出反例即可判斷B；根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模即可判斷C；根據(jù)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模即可判斷D．【解答】解：對(duì)于A，設(shè)z1＝a+bi（a，b∈R），則z2＝a﹣bi，∴z1∴若z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，則z1z2為實(shí)數(shù)，故A正確；對(duì)于B，設(shè)z2＝1+2i，z2＝﹣1+2i，則|z1|＝|z2|，但z1≠z2且z1≠﹣z2，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)z1＝a+bi，z3＝c+di（a，b，c，d∈R），則|z1?z2|＝|（a+bi）?（c+di）|＝|（ac﹣bd）+（ad+bc）i|=(又|z則|z1?z2|＝|z1|?|z2|，∴|z1?z2|＝|z1|?|z2|，故C正確；對(duì)于D，設(shè)z1＝a+bi，z2＝x+yi（a，b，x，y∈R），則z1+z2＝a+bi+x+yi＝a+x+（b+y）i，z1﹣z2＝a+bi﹣x﹣yi＝a﹣x+（b﹣y）i，則||z故|=2a＝2（a2+b2）+2（x2+y2）＝2a2+2x2+2b2+2y2，∴|z1+故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．（多選）7．（2025?蘇州模擬）已知復(fù)數(shù)z1＝3﹣4i，z2＝x+yi（x，y∈R）（i為虛數(shù)單位），則（）A．|z2|=|z2C．|z1z2|=|z1z2| D．若|z2﹣z1【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算；共軛復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的模．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求z2，復(fù)數(shù)模的定義求|z2|，|z2|，判斷A，根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則求z12【解答】解：由z2＝x+yi，得z2∴|z2|=即|z2|=|由z1＝3﹣4i，得z1則|z1|∵|z1z2|=|z1||z2|，|z1z2|＝|z1由|z2﹣z1|≤2，得(x可得點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)（3，﹣4）的距離小于等于2，故點(diǎn)（x，y）在以（3，﹣4）為圓心，2為半徑的圓上或圓內(nèi)，∴|z2|=故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)模的求法，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．（多選）8．（2025?德陽模擬）已知z1，z2是復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位，則下列說法正確的是（）A．若|z1|＝1，則z1＝i B．?z1，zz∈C，|z1z2|＝|z1||z2| C．z1﹣z2＞0是z1＞z2的充要條件 D．若z1z2＝0，則z1，z2中至少有一個(gè)為0【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】BD【分析】AB選項(xiàng)，根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式判斷；C選項(xiàng)，根據(jù)復(fù)數(shù)定義判斷；D選項(xiàng)，根據(jù)z1z2＝0列方程，解方程即可．【解答】解：若|z1|＝1，則z1可以為﹣i，故A錯(cuò)；設(shè)z1＝a+bi，z2＝c+di，a，b，c，d∈R，則|z|z所以?z1，z2∈C，|z1z2|＝|z1||z2|，故B正確；當(dāng)b≠0，d≠0時(shí)，z1，z2為虛數(shù)，不能比較大小，故C錯(cuò)；z1z2＝0，則|z1||z2|＝0，故z1，z2中至少有一個(gè)為0，故D正確．故選：BD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）9．（2025?天津模擬）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，1），則i3?z＝1﹣2i．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的乘法及乘方運(yùn)算；復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【專題】對(duì)應(yīng)思想；分析法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】1﹣2i．【分析】先根據(jù)點(diǎn)得出復(fù)數(shù)，再應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法計(jì)算求解．【解答】解：由復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，1），可得z＝2+i，則i3?z＝﹣i（2+i）＝1﹣2i．故答案為：1﹣2i．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．10．（2025?薊州區(qū)校級(jí)模擬）若復(fù)數(shù)a-3i2+i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算；純虛數(shù)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】32【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，結(jié)合純虛數(shù)的意義求出a．【解答】解：依題意，a-3由題可得：2a-32=0且-故答案為：32【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．11．（2025?泉州模擬）已知復(fù)數(shù)z=-2+2i1+i+1-i，則|【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算；復(fù)數(shù)的模．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】2．【分析】由復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算結(jié)合模長(zhǎng)公式即可求解．【解答】解：∵z=(-2+2∴|z|=1故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．12．（2025?湖南模擬）復(fù)數(shù)z=4-i1-i-【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則求z的代數(shù)形式，結(jié)合虛部定義求結(jié)論．【解答】解：z=所以復(fù)數(shù)z的虛部為-1故答案為：-1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及虛部的概念，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?周口校級(jí)期末）對(duì)任意一個(gè)非零復(fù)數(shù)z，定義集合Mz（1）設(shè)a是方程x+1x=（2）若復(fù)數(shù)ω∈Mz，求證Mω?Mz．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算；集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）求解方程x+1x=2得a1=22(1+i)，a2=22(1-i)，再由有理指數(shù)冪及i（2）由ω∈MZ，可知存在m∈N，使得ω＝z2m﹣1，則對(duì)任意n∈N，有ω2n﹣1＝z（2m﹣1）（2n﹣1），結(jié)合（2m﹣1）（2n﹣1）是正奇數(shù)，得ω2n﹣1∈Mz，即Mω?MZ．【解答】（1）解：由x+1x∴a1=2當(dāng)a1=22(1+∴Ma1={ia1，當(dāng)a2=2∴Ma2={-∴Ma＝{22(1+（2）證明：∵ω∈MZ，∴存在m∈N，使得ω＝z2m﹣1．于是對(duì)任意n∈N，ω2n﹣1＝z（2m﹣1）（2n﹣1），由于（2m﹣1）（2n﹣1）是正奇數(shù)，ω2n﹣1∈Mz，∴Mω?MZ．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的周期性、指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．14．（2024春?科左中旗校級(jí)期中）已知x2﹣（3﹣2i）x﹣6i＝0．（1）若x∈R，求x的值．（2）若x∈C，求x的值．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專題】方程思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）把原式化為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，再由實(shí)部與虛部均為0列式求解x值；（2）設(shè)x＝a+bi（a，b∈R），代入x2﹣（3﹣2i）x﹣6i＝0，整理后由實(shí)部與虛部均為0列式求解a，b的值得答案．【解答】解：（1）x∈R時(shí)，由方程x2﹣（3﹣2i）x﹣6i＝0，得（x2﹣3x）+（2x﹣6）i＝0，即x2-3x=0（2）x∈C時(shí)，設(shè)x＝a+bi（a，b∈R），代入x2﹣（3﹣2i）x﹣6i＝0，整理得（a2﹣b2﹣3a﹣2b）+（2ab﹣3b+2a﹣6）i＝0，則a2-b2-故x＝3或x＝﹣2i．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)相等的條件，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．15．（2024春?科左中旗校級(jí)期中）設(shè)z是虛數(shù)，ω=z+1z是實(shí)數(shù)，且﹣1（1）求|z|的值及z的實(shí)部的取值范圍；（2）設(shè)μ=1-z（3）在（2）的條件下，求ω﹣μ2的最小值．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算；虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)；純虛數(shù)；復(fù)數(shù)的模．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】（1）1，a∈（-12，1）；（2）證明見解析；（3）【分析】（1）設(shè)出復(fù)數(shù)z，得到ω的表示式，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算把ω整理成最簡(jiǎn)形式，根據(jù)所給的ω的范圍，得到z的實(shí)部的范圍；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，把u整理成最簡(jiǎn)形式，根據(jù)a2+b2＝1，得到u是一個(gè)純虛數(shù)；（3）先得到ω﹣μ2＝2[（a+1）+1a+1]﹣3，再利用基本不等式即可求ω﹣【解答】解：（1）（1）設(shè)z＝a+bi，（a，b∈R且b≠0），則ω＝z+1z=a+bi+1a+bi=（a+∵ω＝z+1z是實(shí)數(shù)，∴b-ba2+∴1-1a2+b2=0，a2+b2＝1則ω＝z+1z=2a∈（﹣1∴a∈（-12，證明：（2）μ=∵a2+b2＝1，則μ=-b∵a∈（-12，1），b≠0，∴-∴μ是純虛數(shù)；解：（3）ω﹣μ2＝2a+b2(a+1)2=2＝2a﹣1+2a+1=2[（a+1）+∵a∈（-12，1），∴a+1＞∴a+1+1a+1≥21=2，當(dāng)且僅當(dāng)a+1=則ω﹣μ2＝2[（a+1）+1a+1]﹣3≥2×2﹣3即ω﹣μ2的最小值為1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查利用基本不等式求最值，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】概念：1．如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個(gè)元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A?B；2．如果集合A的每一個(gè)元素都是集合B的元素，反過來，集合B的每一個(gè)元素也都是集合A的元素，那么我們就說集合A等于集合B，即A＝B．【解題方法點(diǎn)撥】1．按照子集包含元素個(gè)數(shù)從少到多排列．2．注意觀察兩個(gè)集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個(gè)集合之間的關(guān)系．4．有時(shí)借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法．【命題方向】通常命題的方式是小題，直接求解或判斷兩個(gè)或兩個(gè)以上的集合的關(guān)系，可以與函數(shù)的定義域，三角函數(shù)的解集，子集的個(gè)數(shù)，簡(jiǎn)易邏輯等知識(shí)相結(jié)合命題．2．充分條件必要條件的判斷【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、判斷：當(dāng)命題“若p則q”為真時(shí)，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【解題方法點(diǎn)撥】充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個(gè)方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實(shí)際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學(xué)生答題時(shí)往往混淆二者的關(guān)系．判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．【命題方向】充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)開始，或者沒有上學(xué)就能應(yīng)用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)容，多以小題為主，有時(shí)也會(huì)以大題形式出現(xiàn)，中學(xué)階段的知識(shí)點(diǎn)都相關(guān)，所以命題的范圍特別廣．3．虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】i是數(shù)學(xué)中的虛數(shù)單位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我們把a(bǔ)+bi的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，把a(bǔ)＝0且b≠0的數(shù)叫做純虛數(shù)，a≠0，且b＝0叫做實(shí)數(shù)．復(fù)數(shù)的模為a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中4．純虛數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，a，b分別叫做它的實(shí)部和虛部，當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)，叫做純虛數(shù)．純虛數(shù)也可以理解為非零實(shí)數(shù)與虛數(shù)單位i相乘得到的結(jié)果．【解題方法點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)是一一對(duì)飲的，這為形與數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)化提供了一條重要思路．要完整理解復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的等價(jià)條件，復(fù)數(shù)z＝a+bi（a，b∈R）為純虛數(shù)的充要條件是a＝0，b≠0．實(shí)數(shù)集和虛數(shù)集的并集是全體復(fù)數(shù)集．虛數(shù)中包含純虛數(shù)，即由純虛數(shù)構(gòu)成的集合可以看成是虛數(shù)集的一個(gè)真子集．【命題方向】純虛數(shù)在考察題型上主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn)．試題難度不大，多為低檔題，是歷年高考的熱點(diǎn)，考察學(xué)生的基本運(yùn)算能力．常見的命題角度有：（1）復(fù)數(shù)的概念；（2）復(fù)數(shù)的模；（3）復(fù)數(shù)相等的四則運(yùn)算；（4）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)．5．復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面．在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸，x軸的單位是1，y軸的單位是i，實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn)叫做原點(diǎn)，且原點(diǎn)（0，0），對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)0．即復(fù)數(shù)z＝a+bi→復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z（a，b）→平面向量OZ→2、除了復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)和向量的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系外，還要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為a；（2）|z﹣z0|表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)z0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．3、復(fù)數(shù)中的解題策略：（1）證明復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的策略：①z＝a+bi∈R?b＝0（a，b∈R）；②z∈R?z=z（2）證明復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的策略：①z＝a+bi為純虛數(shù)?a＝0，b≠0（a，b∈R）；②b≠0時(shí)，z-z=2bi為純虛數(shù)；③z是純虛數(shù)?z+z=0且6．共軛復(fù)數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】實(shí)部相等而虛部互為相反數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)，叫做互為共軛復(fù)數(shù)．如2+3i與2﹣3i互為共軛復(fù)數(shù)，用數(shù)學(xué)語言來表示即：復(fù)數(shù)Z＝a+bi的共軛復(fù)數(shù)Z=a﹣bi【解題方法點(diǎn)撥】共軛復(fù)數(shù)的常見公式有：|Z|=|Z|；|Z【命題方向】共