第18頁（共18頁）2024-2025學年上學期高二數學蘇教版（2019）期中必刷常考題之排列一．選擇題（共5小題）1．（2025?四川開學）2024年11月份，文化和旅游部、交通運輸部等六部門共同遵選出第二批68個交通運輸與旅劇游融合發展示范案例，并正式公布．四川3個案例——“川九”旅游公路、夜游錦江（活水長公園一東湖公園段）、“熊貓”旅游列車入選．甲、乙等四人準備各自從上述3個案例的路線中選一條，寒假各自按自己選擇的路線去旅游，且甲、乙結伴而行（甲、乙選擇的路線相同），則不同的選擇方案有（）A．6種 B．9種 C．12種 D．27種2．（2025?重慶模擬）現有A，B，C，D，E五人站成一排，則A，B相鄰且C，D不相鄰的排法種數共有（）A．6 B．12 C．24 D．483．（2024秋?商水縣期末）“City不City”是一個今年在網絡上迅速走紅的流行語，這句流行語也成為了外國游客表達對中國城市深刻印象的一種新穎方式．現將一對C，一對i，一對t，一對y重新組合排成一行，若至多有2對相同的字母相鄰（如CCiityty，CCitiyty等），則不同的排法有（）A．2124種 B．2148種 C．2352種 D．2420種4．（2025?南京模擬）有4輛車停放5個并排車位，貨車甲車體較寬，停放時需要占兩個車位，并且乙車與貨車甲相鄰停放，則共有多少種停放方法？（）A．8 B．12 C．16 D．105．（2025?廣西開學）文娛晚會中，學生的節目有6個，已經排好出場順序，現臨時增加2個教師的節目，如果教師的節目既不排在第一個，也不排在最后一個，并且6個學生的節目先后出場順序不變，則晚會的出場順序的種數為（）A．30 B．42 C．56 D．3960二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?惠山區校級期末）某學校高二年級數學課外活動小組中有男生5人，女生3人，則下列說法正確的是（）A．從中選2人，1人做正組長，1人做副組長，共有64種不同的選法 B．從中選2人參加數學競賽，其中男、女生各1人，共有15種不同的選法 C．將這8名學生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320種 D．8名學生排成一排，已知5名男生已排好，現將3名女生插入隊伍中，則共有336種排法（多選）7．（2024秋?龍巖期末）已知n是正整數，則（）A．A6B．C5C．A10D．C（多選）8．（2024秋?長沙縣校級期末）中國的五岳是指在中國境內的五座名山，坐落于東西南北中五個方位，分別是東岳泰山、西岳華山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山．小明與其父母共3人計劃在假期出游，每人選一個地方，則（）A．3人選擇的地點均不同的方法總數為60 B．恰有2人選一個地方的方法總數為15 C．恰有1人選泰山的概率是48125D．若小明已選擇去泰山，其父母至少有一人選擇去泰山的概率為16三．填空題（共4小題）9．（2025?長沙校級開學）我校田徑隊有十名隊員，分別記為A，B，C，D，E，F，G，H，J，K，為完成某訓練任務，現將十名隊員分成甲、乙兩隊．其中將A，B，C，D，E五人排成一行形成甲隊，要求A與B相鄰，C在D的左邊，剩下的五位同學排成一行形成乙隊，要求F與G不相鄰，則不同的排列方法種數為．10．（2024秋?江西期末）現將8個體積相同但質量均不同的小球放入恰好能容納8個小球且底面圓直徑與小球直徑相同的圓柱形卡槽內，這8個小球分別為2個紅球、4個白球、2個黑球，若4個白球互不相鄰，且其中一個白球不能放入卡槽的兩端，則共有種不同的放法；若2個紅球之間恰好有白球和黑球各1個，則共有種不同的放法．11．（2024秋?焦作期末）第13屆中國電子信息博覽會將于2025年4月在深圳舉行．某公司要從A，B，C，D，E，F共6個不同的展位中選3個分別展示甲、乙、丙3種不同的電子產品，且主推產品甲必須在A展位，則共有種不同的展示方法．12．（2025?廣東一模）如圖，左邊是編號為1、2、3、4的A型鋼板，右邊是編號為甲、乙、丙的B型鋼板，現將兩堆鋼板自上而下地堆放在一起．則B型鋼板均不相鄰的放法共種；乙號鋼板上方的A型鋼板的編號之和與其下方的A型鋼板的編號之和相等的放法共種．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?撫順期末）在2名指導老師的帶領下，4名大學生（男生2名，女生2名）志愿者深入鄉村，開啟了支教之旅．他們為鄉村的孩子們精心設計了閱讀、繪畫、心理輔導等多元化課程，并組織了豐富多彩的文體游戲．支教結束后，現讓這6名師生站成一排進行合影，在下列情況下，各有多少種不同的站法？（1）2名指導老師相鄰且站正中間，2名女大學生相鄰；（2）2名男大學生互不相鄰，且男大學生甲不站最左側；（3）2名指導老師之間恰有1名女大學生和1名男大學生．14．（2024秋?衡水期末）話說唐僧師徒四人去西天取經，某日路上捉了妖怪甲和妖怪乙，可是取經路上，兇險頗多，那么六位如何站位各人有自己的想法．（結果用數值表示）（1）唐僧說：“徒兒們，妖怪本性不錯，我們六個隨便站吧．”請問一共有多少種站法．（2）八戒提出：兩只妖怪不能站在排頭和排尾，否則他們會逃走！那么按照八戒的想法，一共有多少種站法．（3）悟空說：“師傅！師傅！你必須和我站在一起！如果怕妖怪逃走，讓八戒和妖怪站在一起，并且八戒在妖怪中間！”按照悟空的說法，請問一共有多少種站法．15．（2024秋?定西期末）甲、乙、丙、丁、戊五名同學站成一排拍照．（1）甲、乙兩人不相鄰的站法共有多少種？（2）甲不站排頭或排尾，且甲、乙兩人相鄰的站法共有多少種？

2024-2025學年上學期高二數學蘇教版（2019）期中必刷常考題之排列參考答案與試題解析題號12345答案DCCBA一．選擇題（共5小題）1．（2025?四川開學）2024年11月份，文化和旅游部、交通運輸部等六部門共同遵選出第二批68個交通運輸與旅劇游融合發展示范案例，并正式公布．四川3個案例——“川九”旅游公路、夜游錦江（活水長公園一東湖公園段）、“熊貓”旅游列車入選．甲、乙等四人準備各自從上述3個案例的路線中選一條，寒假各自按自己選擇的路線去旅游，且甲、乙結伴而行（甲、乙選擇的路線相同），則不同的選擇方案有（）A．6種 B．9種 C．12種 D．27種【考點】簡單排列問題．【專題】對應思想；定義法；排列組合．【答案】D【分析】根據題意甲、乙結伴而行，可將甲，乙看作一個整體，與剩下2人進行選擇線路，利用分步乘法計數原理可解．【解答】解：根據題意，甲、乙結伴而行，可將甲，乙看作一個整體，與剩下2人從3個案例的路線中選一條，共有33＝27種．故選：D．【點評】本題考查計數原理，考查邏輯推理的核心素養，屬于中檔題．2．（2025?重慶模擬）現有A，B，C，D，E五人站成一排，則A，B相鄰且C，D不相鄰的排法種數共有（）A．6 B．12 C．24 D．48【考點】部分元素不相鄰的排列問題．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運算求解．【答案】C【分析】根據排列數以及分步計數原理即可求解．【解答】解：已知A，B，C，D，E五人站成一排，要求A，B相鄰且C，D不相鄰，將A，B看成一個整體，則A，B的排列方法有A2然后將這個整體與E進行全排列，則不同的排列方式有A2最后將C，D插入到三個空中的兩個中，有A3根據分步計數原理可知排法種數為A2故選：C．【點評】本題考查了捆綁法及插空法，重點考查了分步乘法計數原理，屬基礎題．3．（2024秋?商水縣期末）“City不City”是一個今年在網絡上迅速走紅的流行語，這句流行語也成為了外國游客表達對中國城市深刻印象的一種新穎方式．現將一對C，一對i，一對t，一對y重新組合排成一行，若至多有2對相同的字母相鄰（如CCiityty，CCitiyty等），則不同的排法有（）A．2124種 B．2148種 C．2352種 D．2420種【考點】部分位置的元素有限制的排列問題．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；排列組合；運算求解．【答案】C【分析】采用間接法求解，先找出所有可能的排列情況，再排除不符合“至多有2對相同字母相等B''這一條件的排列，從而得到符合要求的排法，然后進行全排列計算：由于存在重復字母，在計算8個字母的全排列時，需依據有重復元素的排列公式，消除重復計算的部分，得到實際的全排列情況數．再對不符合情況分析，最后得出結果：用總的全排列情況數減去上述兩種不符合要求的排法數，得到滿足條件的排法數，完成問題求解．【解答】解：①求8個字母的全排列情況因為8個位置排8個元素全排列是8!，但這里有4組重復的字母，每組2個相同字母，所以8個字母全排列的情況數為8!2!×2!×2!×2!=②求3對相同字母相鄰的情況，先將每對字母視為一個整體，共4個整體，恰好3對相鄰的情況：從4對中選3對視為整體，有C433個整體的排列數為3!種，剩余兩個字母需插入3個整體形成的4個間隙中且不相鄰，插入方式為C42=6種，總數為4×3!×6③求4對相同字母相鄰的情況把4組相鄰字母看作4個大元素（每組內部兩個字母相鄰）全排列，有A4④求至多有2對相同字母相鄰的排法數用全排列的情況數減去3對相同字母相鄰和4對相同字母相鄰的情況數，即2520﹣144﹣24＝2352種．綜上所述：不同的排法有2352種．故選：C．【點評】本題考查排列組合的應用，涉及分步計數原理的應用，屬于基礎題．4．（2025?南京模擬）有4輛車停放5個并排車位，貨車甲車體較寬，停放時需要占兩個車位，并且乙車與貨車甲相鄰停放，則共有多少種停放方法？（）A．8 B．12 C．16 D．10【考點】部分元素相鄰的排列問題．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運算求解．【答案】B【分析】結合相鄰問題捆綁法求解．【解答】解：有4輛車停放5個并排車位，貨車甲車體較寬，停放時需要占兩個車位，并且乙車與貨車甲相鄰停放，則共有A22故選：B．【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數問題，重點考查了捆綁法，屬基礎題．5．（2025?廣西開學）文娛晚會中，學生的節目有6個，已經排好出場順序，現臨時增加2個教師的節目，如果教師的節目既不排在第一個，也不排在最后一個，并且6個學生的節目先后出場順序不變，則晚會的出場順序的種數為（）A．30 B．42 C．56 D．3960【考點】部分位置的元素有限制的排列問題．【專題】對應思想；定義法；排列組合；運算求解．【答案】A【分析】將教師的兩個節目按照題目要求依次安排到學生的節目中，再利用分步乘法計數原理即可求解．【解答】解：根據題意，教師的節目既不排在第一個，也不排在最后一個，并且6個學生的節目先后出場順序不變，則6個學生的節目之間有5個空位，因為教師的節目既不排在第一個，也不排在最后一個，則先將第一個教師節目安排到5個空位中，有5種方法；再將第二個教師的節目安排到7個節目之間的6個空位中，有6種方法，由分步乘法計數原理可得，共有5×6＝30種方法．故選：A．【點評】本題考查排列組合相關知識，屬于中檔題．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?惠山區校級期末）某學校高二年級數學課外活動小組中有男生5人，女生3人，則下列說法正確的是（）A．從中選2人，1人做正組長，1人做副組長，共有64種不同的選法 B．從中選2人參加數學競賽，其中男、女生各1人，共有15種不同的選法 C．將這8名學生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320種 D．8名學生排成一排，已知5名男生已排好，現將3名女生插入隊伍中，則共有336種排法【考點】簡單排列問題．【專題】整體思想；綜合法；概率與統計；運算求解．【答案】BCD【分析】選項A可以看作從8個人中取2個人的排列；選項B先從男生中選1個有A51種情況，再從女生中選1人有A31種情況，進而可得；選項C先排3位女生有A33種情況，再把3位女生看成1個人與5個男生一起排列有A66種情況，進而可得；選項D依次把3個女生插入隊伍中，共有【解答】解：選項A：從8個人中選2人，1人做正組長，1人做副組長選法共有A82=56選項B：從8個人中選2人參加數學競賽，其中男、女生各1人選法共有A51A選項C：選排3位女生有A33種情況，再把3位女生看成1個人與5個男生一起排列有共有A33A選項D：8名學生排成一排，已知5名男生已排好，先排第一個女生可以排5個男生中間的4個空或2頭，有6種情況，再排第二個女生可以排到排好的6個人中間的5個空或2頭，有7種情況，最后排第三個女生可以排到排好的7個人中間的6個空或2頭，有8種情況，共有6×7×8＝336種情況，故D正確．故選：BCD．【點評】本題主要考查了排列組合知識，屬于基礎題．（多選）7．（2024秋?龍巖期末）已知n是正整數，則（）A．A6B．C5C．A10D．C【考點】排列及排列數公式；組合及組合數公式．【專題】對應思想；定義法；排列組合；運算求解．【答案】AB【分析】由組合數、排列數的計算公式逐個判斷即可．【解答】解：對于A，A62=6×5=30對于B，C53+對于C，A104=10×9×8×7≠10×9×8×7×6×5=對于D，由Cn0+Cn故選：AB．【點評】本題考查組合數、排列數的計算公式，屬于中檔題．（多選）8．（2024秋?長沙縣校級期末）中國的五岳是指在中國境內的五座名山，坐落于東西南北中五個方位，分別是東岳泰山、西岳華山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山．小明與其父母共3人計劃在假期出游，每人選一個地方，則（）A．3人選擇的地點均不同的方法總數為60 B．恰有2人選一個地方的方法總數為15 C．恰有1人選泰山的概率是48125D．若小明已選擇去泰山，其父母至少有一人選擇去泰山的概率為16【考點】部分位置的元素有限制的排列問題；古典概型及其概率計算公式．【專題】整體思想；綜合法；概率與統計；排列組合；運算求解．【答案】AC【分析】由排列及排列數的計算即可判斷A；由分步計數乘法原理及組合即可判斷B；由古典概型概率公式即可判斷C；由對立事件的概率即可判斷D．【解答】解：小明與其父母共3人計劃在假期出游，每人在東岳泰山、西岳華山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山中選一個地方，對于A，3人選擇的地點均不同的方法總數為A5故A正確；對于B，恰有2人選一個地方的方法總數為C3故B錯誤；對于C，恰有1人選泰山的方法總數為C3又所有的方法數為53＝125，所以恰有1人選泰山的概率是48125故C正確；對于D，父母都不選擇去泰山的概率為45所以小明已選擇去泰山的情況下，其父母至少有一人選擇去泰山的概率1-故D錯誤．故選：AC．【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數問題，重點考查了古典概型概率公式，屬中檔題．三．填空題（共4小題）9．（2025?長沙校級開學）我校田徑隊有十名隊員，分別記為A，B，C，D，E，F，G，H，J，K，為完成某訓練任務，現將十名隊員分成甲、乙兩隊．其中將A，B，C，D，E五人排成一行形成甲隊，要求A與B相鄰，C在D的左邊，剩下的五位同學排成一行形成乙隊，要求F與G不相鄰，則不同的排列方法種數為1728．【考點】部分元素不相鄰的排列問題．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；排列組合；運算求解．【答案】1728．【分析】甲隊利用捆綁法和除序法計算，乙隊利用插空法計算，最后利用分步乘法原理計算即可．【解答】解：由題意將A，B，C，D，E五人排成一行形成甲隊，要求A與B相鄰，C在D的左邊，剩下的五位同學排成一行形成乙隊，要求F與G不相鄰，可分兩步進行：甲隊，先用捆綁法，將A與B捆綁有A22=2種排法，將A與B看作一個整體，再用除序法得A44A2乙隊，利用插空法得A3按照分步乘法計數原理可知，一共有24×72＝1728種排法．故答案為：1728．【點評】本題考查了排列組合的運用，是中檔題．10．（2024秋?江西期末）現將8個體積相同但質量均不同的小球放入恰好能容納8個小球且底面圓直徑與小球直徑相同的圓柱形卡槽內，這8個小球分別為2個紅球、4個白球、2個黑球，若4個白球互不相鄰，且其中一個白球不能放入卡槽的兩端，則共有1728種不同的放法；若2個紅球之間恰好有白球和黑球各1個，則共有3840種不同的放法．【考點】部分元素不相鄰的排列問題．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運算求解．【答案】1728；3840．【分析】依題意可將把8個小球放入卡槽內的過程轉化為這8個小球位置上的排列組合問題，若4個白球互不相鄰，且其中一個白球不能放入卡槽的兩端，先排紅球和黑球，再利用插空法排白球，按照分步乘法計數原理計算可得；若2個紅球之間恰好有白球和黑球各1個，先任選1個白球，1個黑球放入2個紅球中間，再將1個白球，1個黑球和2個紅球進行捆綁與剩余的4個小球進行全排列，按照分步乘法計數原理計算可得．【解答】解：將8個體積相同但質量均不同的小球放入恰好能容納8個小球且底面圓直徑與小球直徑相同的圓柱形卡槽內，這8個小球分別為2個紅球、4個白球、2個黑球，若4個白球互不相鄰，且其中一個白球不能放入卡槽的兩端，則把8個小球放入卡槽內的過程轉化為這8個小球位置上的排列組合問題，若4個白球互不相鄰，且其中一個白球不能放入卡槽的兩端，先排紅球和黑球共有A44種方法，再排其中1個白球有最后排剩余的3個白球有A43種方法，所以共有A443×若2個紅球之間恰好有白球和黑球各1個，先任選1個白球，1個黑球放入2個紅球中間，有C2又2個紅球的放法有A2再將1個白球，1個黑球和2個紅球進行捆綁與剩余的4個小球進行全排列有A5所以共有C2故答案為：1728；3840．【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數問題，重點考查了分類加法及分步乘法計數原理，屬中檔題．11．（2024秋?焦作期末）第13屆中國電子信息博覽會將于2025年4月在深圳舉行．某公司要從A，B，C，D，E，F共6個不同的展位中選3個分別展示甲、乙、丙3種不同的電子產品，且主推產品甲必須在A展位，則共有20種不同的展示方法．【考點】部分位置的元素有限制的排列問題．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運算求解．【答案】20．【分析】運用分步乘法原理，結合排列知識計算即可．【解答】解：從A，B，C，D，E，F共6個不同的展位中選3個分別展示甲、乙、丙3種不同的電子產品，且產品甲必須在A展位，所以需從B，C，D，E，F共5個不同的展位中任選2個分別展示乙、丙，故共有A5故答案為：20．【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數問題，重點考查了分步乘法計數原理，屬中檔題．12．（2025?廣東一模）如圖，左邊是編號為1、2、3、4的A型鋼板，右邊是編號為甲、乙、丙的B型鋼板，現將兩堆鋼板自上而下地堆放在一起．則B型鋼板均不相鄰的放法共1440種；乙號鋼板上方的A型鋼板的編號之和與其下方的A型鋼板的編號之和相等的放法共336種．【考點】部分元素不相鄰的排列問題．【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；排列組合；運算求解．【答案】1440，336．【分析】第一空：用插空法分析：先將A型鋼板放好，再將B型鋼板插在其空位中，由分步計數原理計算可得答案；第二空：分析可得乙號鋼板上方的A型鋼板的編號之和與其下方的A型鋼板的編號之和相等的情況，再將甲號、丙號鋼板安排在空位中，由分步計數原理計算可得答案．【解答】解：根據題意，第一空：先將A型鋼板放好，有A44＝24種放法，排好后，有5個空位，再將B型鋼板插在其空位中，有A53＝60種情況，則有24×60＝1440種不同的放法，第二空：要求乙號鋼板上方的A型鋼板的編號之和與其下方的A型鋼板的編號之和相等，則乙號鋼板上方為1、4的A型鋼板，下方為2、3的A型鋼板或者上方為2、3的A型鋼板，下方為1、4的A型鋼板，則A型鋼板的放法有A22×A22×A22＝8種，排好后，有6個空位，則甲號鋼板有6種放法，排好后，有7個空位，則丙號鋼板有7種放法，則有8×7×6＝336種放法；故答案為：1440，336．【點評】本題考查排列組合的應用，涉及分步分類計數原理的應用，屬于中檔題．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?撫順期末）在2名指導老師的帶領下，4名大學生（男生2名，女生2名）志愿者深入鄉村，開啟了支教之旅．他們為鄉村的孩子們精心設計了閱讀、繪畫、心理輔導等多元化課程，并組織了豐富多彩的文體游戲．支教結束后，現讓這6名師生站成一排進行合影，在下列情況下，各有多少種不同的站法？（1）2名指導老師相鄰且站正中間，2名女大學生相鄰；（2）2名男大學生互不相鄰，且男大學生甲不站最左側；（3）2名指導老師之間恰有1名女大學生和1名男大學生．【考點】部分元素不相鄰的排列問題；部分元素相鄰的排列問題．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；排列組合；運算求解．【答案】（1）16．（2）384．（3）96．【分析】（1）利用分步計數原理即可；（2）利用插空法來排列即可；（3）利用捆綁法來排列即可．【解答】解：（1）這6名師生站成一排進行合影，2名指導老師相鄰且站正中間，2名女大學生相鄰，先排2名指導老師，有A22再排2名女大學生，有C21最后排剩余的2名男大學生，有A22所以共有A2（2）先排2名指導老師和2名女大學生，有A44再用插空法排男大學生甲，除去最左側有C41最后繼續用插空法，排剩余的1名男大學生，有C41所以2名男大學生互不相鄰，且男大學生甲不站最左側，共有A4（3）先選1名女大學生和1名男大學生站2名指導老師中間，有C21再排2名指導老師，有A22最后將選中的1名女大學生，1名男大學生及2名指導老師視為一個整體，利用捆綁法與剩余的2名大學生全排列，有A33所以2名指導老師之間恰有1名女大學生和1名男大學生，共有C2【點評】本題考查排列、組合的實際應用，是中檔題．14．（2024秋?衡水期末）話說唐僧師徒四人去西天取經，某日路上捉了妖怪甲和妖怪乙，可是取經路上，兇險頗多，那么六位如何站位各人有自己的想法．（結果用數值表示）（1）唐僧說：“徒兒們，妖怪本性不錯，我們六個隨便站吧．”請問一共有多少種站法．（2）八戒提出：兩只妖怪不能站在排頭和排尾，否則他們會逃走！那么按照八戒的想法，一共有多少種站法．（3）悟空說：“師傅！師傅！你必須和我站在一起！如果怕妖怪逃走，讓八戒和妖怪站在一起，并且八戒在妖怪中間！”按照悟空的說法，請問一共有多少種站法．【考點】部分位置的元素有限制的排列問題．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運算求解．【答案】（1）720；（2）288；（3）24．【分析】（1）因是六個人隨便站，即相當于六個人在六個空位上全排；（2）因兩只妖怪不站兩頭，運用特優法分步完成，第一步在中間四個位置上排好兩個妖怪，第二步在剩余四個位置排其他四個人，利用分步乘法計數原理即得；（3）因師傅和悟空要站一起，八戒要站在兩個妖怪中間，沙僧不管，所以應先按照1，2，（3分）成三組，悟空和師傅在分配好的兩個位置上有個全排，八戒在兩只妖怪之間，兩只妖怪有個全排，最后位置則是沙僧的．【解答】解：（1）六個人隨便站，即六個人進行全排列，故符合條件的排法共有A6（2）因總共有六個位置，兩只妖怪不能站在排頭和排尾，先將兩只妖怪排好，故有A4剩下四個人四個位置，故有A4故共有A4（3）先將六人分成三組，且這三組人數分別為1、2、3，并排列，故有A3師傅和悟空站在一起共有A22種排法，八戒站在兩只妖怪中間共有故共有A3【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數問題，重點考查了分類加法計數原理及分步乘法計數原理，屬中檔題．15．（2024秋?定西期末）甲、乙、丙、丁、戊五名同學站成一排拍照．（1）甲、乙兩人不相鄰的站法共有多少種？（2）甲不站排頭或排尾，且甲、乙兩人相鄰的站法共有多少種？【考點】部分元素不相鄰的排列問題；部分元素相鄰的排列問題．【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；排列組合；運算求解．【答案】（1）72；（2）36．【分析】（1）先排丙、丁、戊，再插空排甲、乙，結合排列數運算求解；（2）分乙站在排頭或排尾和甲、乙都不站排頭或排尾兩種情況，結合排列數運算求解．【解答】解（1）根據題意，先排丙、丁、戊，有A33再將甲、乙安排在三人的空位中，有A42故甲、乙兩人不相鄰的站法共有6×12＝72種．（2）根據題意，分2種情況討論：若乙站在排頭或排尾，則有2×A若甲、乙都不站排頭或排尾，則有2×A故甲不站排頭或排尾，且甲、乙兩人相鄰的站法共有12+24＝36種．【點評】本題考查排列組合的應用，涉及分步、分類計數原理的應用，屬于基礎題．

考點卡片1．古典概型及其概率計算公式【知識點的認識】1．定義：如果一個試驗具有下列特征：（1）有限性：每次試驗可能出現的結果（即基本事件）只有有限個；（2）等可能性：每次試驗中，各基本事件的發生都是等可能的．則稱這種隨機試驗的概率模型為古典概型．*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發生的等可能性這兩個重要特征，所以求事件的概率就可以不通過大量的重復試驗，而只要通過對一次試驗中可能出現的結果進行分析和計算即可．2．古典概率的計算公式如果一次試驗中可能出現的結果有n個，而且所有結果出現的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是1n如果某個事件A包含的結果有m個，那么事件A的概率為P（A）=m【解題方法點撥】1．注意要點：解決古典概型的問題的關鍵是：分清基本事件個數n與事件A中所包含的基本事件數．因此要注意清楚以下三個方面：（1）本試驗是否具有等可能性；（2）本試驗的基本事件有多少個；（3）事件A是什么．2．解題實現步驟：（1）仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗的結果是否為等可能事件，設出所求事件A；（3）分別求出基本事件的個數n與所求事件A中所包含的基本事件個數m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件3．解題方法技巧：（1）利用對立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．2．排列及排列數公式【知識點的認識】1．定義（1）排列：一般地，從n個不同的元素中任取m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．（其中被取的對象叫做元素）（2）排列數：從n個不同的元素中取出m（m≤n）個元素的所有排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號An2．相關定義：（1）全排列：一般地，n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個不同元素的一個全排列．（2）n的階乘：正整數由1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n!表示．（規定0!＝1）3．排列數公式（1）排列計算公式：Anm=n(n-1)(n-2)?(n（2）全排列公式：Ann=n?（n﹣1）?（n﹣2）?…?3?2?1＝3．簡單排列問題【知識點的認識】﹣簡單排列問題通常涉及無任何限制條件的排列情況．n個不同元素的全排列總數為An﹣該類問題通常是排列問題的基礎，強調對基本排列公式的理解與應用．【解題方法點撥】﹣直接應用排列公式進行計算．對于全排列問題，計算階乘即可得到排列數．﹣在計算過程中，注意排列數中的階乘表示法，并理解排