8/920.2數據的波動程度本章是統計部分的最后一章，主要學習分析數據的集中趨勢和離散程度的常用方法．本節課是在研究了平均數、中位數、眾數這些統計量之后，進一步研究另外一種統計的方法——方差．“方差”屬于數學中的概率統計范疇，它的特點是與生活中的實際問題聯系緊密，對學生統計觀念的形成有著舉足輕重的作用．【情景導入】播放閱兵的視頻：我們知道接受檢閱的儀仗隊必須精挑細選，整齊劃一，特別注重隊員的身高．下面有兩組儀仗隊，準備抽取其中一組參與檢閱．已知這兩組儀仗隊隊員的身高（單位：cm）如下表：甲隊178177179178178177178178177180乙隊178177179176178180180178176178你認為哪支儀仗隊更為整齊？你是怎么判斷的？【說明與建議】說明：通過生活中的一個實例提出問題，吸引學生的注意力，更容易激發學生的興趣，引起學生的思考．這個問題學生很自然想到利用平均數做出選擇，結果卻發現兩個隊隊員的平均身高一樣，學生原有的知識與遇到的問題情境產生知識碰撞，從而引發進一步學習新知識的欲望．建議：學生積極進行計算，得到兩個儀仗隊隊員的身高的平均數、中位數、眾數都是178cm，無法利用這些數據做出判斷，引發思考和提升解決問題的興趣．【置疑導入】如圖所示反映的是甲、乙、丙三個選手的射擊成績．顯然，圖中甲的成績整體水平比丙的好．那么，甲、乙兩人的射擊成績如何比較呢？除了平均水平外，是否還有其他統計量能反映數據的信息呢？交流討論下列問題：（1）估計甲、乙兩位選手射擊成績的平均數；（2）具體算一算甲、乙兩位選手射擊成績的平均數，并在圖中畫出表示其平均成績的直線；（3）甲、乙兩人的平均成績差不多，但穩定性差別比較大．你認為哪位選手的成績更穩定？你是怎么看出來的？（4）一般地，你認為如何刻畫一組數據的離散水平？【說明與建議】說明：思維往往是從人的動作、活動參與開始的，而動手操作則最易激發學生去想象和發現．在操作過程中增強自己的感性認識與經驗，進而上升到理性觀察、思考與推理論證．建議：在學生操作時，教師要引導學生進行思考、分析，為進一步學習積累數學活動經驗．命題角度1方差的計算1.已知一組數據－3，－2，1，3，6，1，則其方差為9Ｗ．2.在學校組織的“共享好書伴你成長”活動中，八年級（1）班第一小組5名同學所分享的好書冊數分別是：7，3，x，6，4.已知這組數據的中位數是5，則這組數據的方差是2Ｗ．命題角度2方差的應用3.甲、乙兩名學生10次立定跳遠成績的平均數相同，若甲10次立定跳遠成績的方差為seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝0.6，乙10次立定跳遠成績的方差為seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝0.35，則甲、乙兩名學生10次立定跳遠成績比較穩定的是乙Ｗ．（填“甲”或“乙”）4.甲、乙兩人進行射擊訓練，在相同條件下各射靶5次，成績統計如下：命中環數/環78910甲命中的頻數/次2201乙命中的頻數/次1310（1）甲、乙兩人射擊成績的平均數、方差分別是多少？（2）誰的射擊成績更穩定？解：（1）x甲＝eq\f(1,5)×（7×2＋8×2＋10）＝8（環）；x乙＝eq\f(1,5)×（7＋8×3＋9）＝8（環）.seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝eq\f(1,5)×[（7－8）2＋（7－8）2＋（8－8）2＋（8－8）2＋（10－8）2]＝1.2；seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝eq\f(1,5)×[（7－8）2＋（8－8）2＋（8－8）2＋（8－8）2＋（9－8）2]＝0.4.答：甲射擊成績的平均數是8、方差是1.2，乙射擊成績的平均數是8、方差是0.4；（2）∵seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＞seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))，∴乙的射擊成績更穩定．課題20.2數據的波動程度授課人素養目標1.了解方差的定義和計算公式，理解方差概念的產生和形成的過程．2.會用方差計算公式來比較兩組數據的波動大小，并會運用方差知識，解決實際問題．3.培養認真細致的學習態度和用數據說話的求實精神．教學重點對方差意義的理解及應用，用樣本方差估計總體方差．教學難點運用方差知識，解決實際問題．授課類型新授課課時教學活動教學步驟師生活動設計意圖回顧1.表示一組數據的“集中趨勢”的統計量有哪些？2.什么是平均數、中位數、眾數？3.如何計算一組數據的平均數、中位數、眾數？溫故知新，為抓住本節重點、突破本節難點做知識儲備．活動一：創設情境、導入新課【課堂引入】農科院計劃為某地選擇合適的甜玉米種子．選擇種子時，甜玉米的產量和產量的穩定性是農科院所關心的問題．為了解甲、乙兩種甜玉米種子的相關情況，農科院各用10塊自然條件相同的試驗田進行試驗，得到各試驗田每公頃的產量（單位：t）如下表：甲7.657.507.627.597.657.647.507.407.417.41乙7.557.567.537.447.497.527.587.467.537.49根據這些數據估計，農科院應該選擇哪種甜玉米種子呢？利用學生熟悉的實例引入新課，使學生經歷從現實生活中抽象出數學問題的過程，從而激發學生強烈的好奇心和求知欲．活動二：實踐探究、交流新知【探究新知】我們常常用平均數、中位數來刻畫數據的“平均水平”，但在有些情況下只知道“平均水平”是不夠的．針對以上問題，思考：（1）計算出兩組數的平均數，你有什么發現？x甲＝7.537t，x乙≈7.515t，說明在試驗田中，甲、乙兩種甜玉米的平均產量相差不大，由此估計出這個地區種植這兩種甜玉米的平均產量相差不大．（2）畫出甲、乙兩種甜玉米的產量統計圖．教學步驟師生活動設計意圖甲種甜玉米的產量乙種甜玉米的產量（3）觀察（2）題圖，你發現了什么？乙種甜玉米的產量集中在平均值附近，而甲種甜玉米的產量與其平均值比波動較大．通常，如果一組數據與其平均值的離散程度較小，我們就說它比較穩定．思考：什么樣的數能反映一組數據與其平均值的離散程度？我們已經看出，甲種甜玉米的產量與平均值的偏差較大，而乙種的較小，那么如何加以說明呢？我們可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的結果表示一組數據偏離平均值的情況，這個結果通常稱為“方差”．我們通常用s2表示一組數據的方差，用x表示一組數據的平均數，x1，x2……表示各個數據．方差的計算公式是：s2＝eq\f(1,n)[（xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－x）2＋（x2－x）2…＋（xn－x）2]．想一想：根據方差公式，各個數據與平均值差的平方和的大小對方差有何影響？總結歸納：當數據分布比較分散時，各個數據與平均數的差的平方和較大，方差就較大；當數據分布比較集中時，各個數據與平均數的差的平方和較小，方差就較小，即：方差越大，數據的波動越大；方差越小，數據的波動越小．利用公式求出甲、乙兩種甜玉米產量的兩組數據的方差，并說明哪種甜玉米種子的產量比較穩定．seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝eq\f(1,10)×[（7.65－7.537）2＋…＋（7.41－7.537）2]≈0.010.seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝eq\f(1,10)×[（7.55－7.515）2＋（7.56－7.515）2＋…＋（7.49－7.515）2]≈0.002.∵seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))>seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))，∴這個地區比較適合種植乙種甜玉米．注意：要求方差，首先應求樣本平均數，再代入公式求方差．師生活動：師生交流，歸納總結．1.學生通過觀察體會數據的波動情況，在教師的引導下，感受新知，并在合作交流過程中得出規律，獲取新知．2.通過對方差公式的探究，幫助學生理解方差公式，讓學生掌握方差可以反映一組數據的波動大小．活動三：開放訓練、體現應用【典型例題】例1（教材第125～126頁例1）在一次芭蕾舞比賽中，甲、乙兩個芭蕾舞團都表演了舞劇《天鵝湖》，參加表演的女演員的身高（單位：cm）如下表所示．甲團163164164165165166166167乙團163165165166166167168168哪個芭蕾舞團女演員的身高更整齊？解：甲、乙兩團演員的身高平均數分別是x甲＝eq\f(163＋164×2＋165×2＋166×2＋167,8)＝165，x乙＝eq\f(163＋165×2＋166×2＋167＋168×2,8)＝166.方差分別是seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝eq\f(（163－165）2＋（164－165）2＋…＋（167－165）2,8)＝1.5，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝eq\f(（163－166）2＋（165－166）2＋…＋（168－166）2,8)＝2.5.由seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))<seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))可知，甲芭蕾舞團女演員的身高更整齊．例2（教材第127頁例2）某快餐公司的香辣雞腿很受消費者歡迎．現有甲、乙兩家農副產品加工廠到快餐公司推銷雞腿，兩家雞腿的價格相同，品質相近，快餐公司決定通過檢查雞腿的質量來確定選購哪家的雞腿．檢查人員從兩家的雞腿中各隨機抽取15個，記錄它們的質量（單位：g）如下表所示，根據表中數據，你認為快餐公司應該選購哪家加工廠的雞腿？甲747475747673767376757877747273乙757379727671737278747778807175解：檢查人員從甲、乙兩家農副產品加工廠各隨機抽取的15個雞腿分別組成一個樣本，樣本數據的平均數分別是x甲＝eq\f(74＋74＋…＋72＋73,15)≈75，x乙＝eq\f(75＋73＋…＋71＋75,15)≈75.樣本數據的方差分別是seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝eq\f(（74－75）2＋（74－75）2＋…＋（72－75）2＋（73－75）2,15)≈3，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝eq\f(（75－75）2＋（73－75）2＋…＋（71－75）2＋（75－75）2,15)≈8.由x甲≈x乙可知，兩家加工廠的雞腿質量大致相等；由seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))<seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))可知，甲加工廠的雞腿質量更穩定，大小更均勻．因此，快餐公司應該選購甲加工廠生產的雞腿．【變式訓練】1.在一次女子排球比賽中，甲、乙兩隊參賽選手的年齡如下：甲隊26252828242826282729乙隊28272528272628272726（1）兩隊參賽選手的平均年齡分別是多少？（2）你能說說兩隊參賽選手年齡波動的情況嗎？解：（1）兩組數據的平均數分別是：x甲＝26.9，x乙＝26.9，即甲、乙兩隊參賽選手的平均年齡相同．（2）兩組數據的方差分別是：seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝eq\f(（26－26.9）2＋（25－26.9）2＋…＋（29－26.9）2,10)＝2.29，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝eq\f(（28－26.9）2＋（27－26.9）2＋…＋（26－26.9）2,10)＝0.89，由seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))>seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))可知，甲隊參賽選手年齡波動較大．2.為了從甲、乙兩名學生中選擇一人去參加電腦知識競賽，在相同條件下對他們的電腦知識進行了10次測驗，成績（單位：分）如下：甲的成績76849084818788818584乙的成績82868790798193907478（1）填寫下表：同學平均成績中位數眾數方差85分以上的頻率甲84848414.40.3乙848490340.5（2）利用以上信息，請從不同的角度對甲、乙兩名同學的成績進行評價．解：從眾數看，甲成績的眾數為84分，乙成績的眾數是90分，乙的成績比甲好；從方差看，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝14.4，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝34，甲的成績比乙相對穩定；從甲、乙的中位數、平均數看，中位數、平均數都是84分，兩人成績一樣；從頻率看，甲85分以上的次數比乙少，乙的成績比甲好．師生活動：學生獨立思考，舉手回答，師生交流心得和方法．1.應用遷移、鞏固提高，培養學生解決問題的能力．2.引導學生觀察、分析、類比、猜想，體驗知識的生成過程，使傳授的數學知識成為學生自己思考獲得的結果，從而抓住了重點，突破了難點．3.提高學生獨立分析問題、解決問題的能力，并規范解題格式．活動四：課堂檢測【課堂檢測】1.一組數據2，1，1，4的方差為eq\f(3,2)．2.甲、乙、丙、丁四名同學參加擲實心球測試，每人擲5次，他們的平均成績恰好相同，方差分別是seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝0.55，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝0.56，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(丙))＝0.52，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(丁))＝0.48，則這四名同學擲實心球的成績最穩定的是丁．3.已知一組數據x1，x2，x3，x4，x5的方差是eq\f(1,4)，那么另一組數據2x1－2，2x2－2，2x3－2，2x4－2，2x5－2的方差是1．4.某中學開展“唱紅歌”比賽活動，九年級（1）、（2）班根據初賽成績，各選出5名選手參加復賽，兩個班各選出的5名選手的復賽成績如圖所示．班級平均數/分中位數/分眾數/分九（1）班858585九（2）班8580100（1）根據圖示填寫上表；

（2）結合兩班復賽成績的平均數和中位數，分析哪個班級的復