2/917．1勾股定理第1課時(shí)勾股定理本節(jié)課是學(xué)生在已經(jīng)掌握了直角三角形有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的，它是直角三角形的一條非常重要的性質(zhì)，是幾何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，為以后學(xué)習(xí)解直角三角形奠定基礎(chǔ)，在實(shí)際生活中用途很大．【情景導(dǎo)入】國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)是最高水平的全球性數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)術(shù)會(huì)議，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的“奧運(yùn)會(huì)”.2002年在北京召開了第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，如圖所示就是大會(huì)會(huì)徽的圖案．你見過這個(gè)圖案嗎？它由哪些我們學(xué)過的基本圖形組成？這個(gè)圖案有什么特別的意義？這個(gè)圖案是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)造的，被稱為“趙爽弦圖”．今天我們就用這個(gè)圖形來驗(yàn)證幾何學(xué)上的瑰寶——勾股定理．【說明與建議】說明：以趙爽弦圖為背景，展現(xiàn)民族歷史上的輝煌成就，激起學(xué)生對(duì)勾股定理的探索興趣，點(diǎn)燃學(xué)生的求知欲，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入情境(集中注意力).建議：在教學(xué)中要通過拼圖活動(dòng)剪拼趙爽弦圖證明勾股定理，使學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，激發(fā)探索精神．【置疑導(dǎo)入】相傳兩千多年前，古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯去朋友家做客．在宴席上，其他賓客都在盡情歡樂，只有畢達(dá)哥拉斯卻看著朋友家的地磚發(fā)呆．原來，朋友家的地面是用一塊塊直角三角形形狀的地磚鋪成的，黑白相間，非常美觀大方．主人看到畢達(dá)哥拉斯的樣子非常奇怪，就想過去問他，誰(shuí)知，畢達(dá)哥拉斯突然恍然大悟的樣子，站起來，大笑著跑回家去了．原來，他發(fā)現(xiàn)了地磚上的直角三角形三邊的某種數(shù)學(xué)關(guān)系．那么他發(fā)現(xiàn)了什么？今天我們就來研究這個(gè)問題．【說明與建議】說明：從畢達(dá)哥拉斯在朋友家做客的偶然發(fā)現(xiàn)這一故事入手，引入本節(jié)課的課題——勾股定理，使學(xué)生接受起來更自然、貼切，并且激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．建議：教師給出歷史小故事，設(shè)置懸念，引發(fā)學(xué)生思考．學(xué)生對(duì)故事中的問題會(huì)很感興趣，教學(xué)中要充分利用此例激發(fā)學(xué)生探究問題的欲望．命題角度1勾股定理的認(rèn)識(shí)1．如圖，三個(gè)正方形圍成一個(gè)直角三角形，圖中的數(shù)據(jù)是它們的面積，則正方形A的面積為84．2．將兩個(gè)全等的直角三角形按如圖所示的方式擺放，使點(diǎn)A，E，D在同一條直線上．利用用字母表示此圖的面積證明勾股定理．證明：由題意，得Rt△BAE≌Rt△EDC，∴∠ABE＝∠DEC.∵∠ABE＋∠AEB＝90°，∴∠DEC＋∠AEB＝90°.∴∠BEC＝90°.∴△BEC是直角三角形．∵S梯形ABCD＝S△ABE＋S△BEC＋S△DEC，∴eq\f(（a＋b）（a＋b）,2)＝eq\f(ab,2)＋eq\f(c·c,2)＋eq\f(ab,2).∴eq\f(a2＋2ab＋b2,2)＝eq\f(c2＋2ab,2).∴a2＋b2＝c2.命題角度2利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算3．在△ABC中，∠B＝90°.(1)若AB＝3，BC＝4，則AC＝5；(2)若AC＝13，AB＝5，則BC＝12．4．如圖，將一副三角尺疊放在一起，若AB＝2，則AF的長(zhǎng)為eq\r(2)，BC的長(zhǎng)為eq\r(3)．第4題圖第5題圖5．如圖，四邊形ABCD，連接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD.若AD＝5，CD＝7，則BC＝2eq\r(7)．課題17.1第1課時(shí)勾股定理授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.會(huì)用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理，并會(huì)用這個(gè)定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算．2．會(huì)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問題．教學(xué)重點(diǎn)探索和驗(yàn)證勾股定理．教學(xué)難點(diǎn)用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理．授課類型新授課課時(shí)教學(xué)活動(dòng)教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖回顧前面我們學(xué)習(xí)了有關(guān)三角形的知識(shí)，我們知道，三角形有三個(gè)角和三條邊．問題：三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系明確嗎？三條邊的數(shù)量關(guān)系明確嗎？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)，學(xué)生回答．我們學(xué)習(xí)過等腰三角形，知道等腰三角形是兩邊相等的特殊三角形，它有許多特殊的性質(zhì)．研究特例是數(shù)學(xué)研究的一個(gè)方向，直角三角形是有一個(gè)角為直角的特殊三角形，我國(guó)古代人把直角三角形中較短的直角邊叫作“勾”，較長(zhǎng)的直角邊叫作“股”，斜邊叫做“弦”(在我國(guó)古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”).直角三角形中最長(zhǎng)的邊是哪條邊？為什么？它們除了大小關(guān)系，有沒有更具體的數(shù)量關(guān)系呢？這就是我們要研究的問題．1.學(xué)生回憶并回答，為突破本節(jié)難點(diǎn)做準(zhǔn)備．2．回顧三角形的內(nèi)角和是180°以及三角形任意兩邊的和大于第三邊，由三角形三邊的不等關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生思考三角形三邊之間是否存在等量關(guān)系．活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入新課【課堂引入】1．請(qǐng)你算出下面各圖中三個(gè)正方形的面積．你有什么發(fā)現(xiàn)？2．你得到的猜想是兩個(gè)小正方形的面積之和等于大正方形的面積．師生活動(dòng)：在學(xué)生計(jì)算面積時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生利用正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方來計(jì)算，也可以利用“割補(bǔ)法”進(jìn)行計(jì)算．問題是思維的起點(diǎn)，通過問題激發(fā)學(xué)生好奇、探究和主動(dòng)學(xué)習(xí)的欲望．活動(dòng)二：實(shí)踐探究、交流新知【探究新知】觀察特例→發(fā)現(xiàn)新知(1)你能找出圖中正方形A，B，C的面積之間的關(guān)系嗎？(2)正方形A，B，C所圍等腰直角三角形的三邊之間有什么特殊關(guān)系？師生活動(dòng)：教師展示圖片并提出問題．學(xué)生觀察圖片，分組交流討論．學(xué)生通過直接數(shù)等腰直角三角形的個(gè)數(shù)，或者用割補(bǔ)的方法將正方形A，B中的小等腰直角三角形補(bǔ)成一個(gè)大正方形得到正方形A，B的面積之和等于大正方形C的面積．教師引導(dǎo)學(xué)生由正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方歸納出：等腰直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．深入探究→交流歸納等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也具有“兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”呢？1.滲透從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想．為學(xué)生提供參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的時(shí)間和空間，發(fā)揮學(xué)生的主體作用；培養(yǎng)學(xué)生的類比遷移能力及探索問題的能力，使學(xué)生在相互欣賞、爭(zhēng)辯、互助中得到提高．活動(dòng)二：實(shí)踐探究、交流新知觀察下圖：思考：上圖中，每個(gè)小方格的面積均為1，請(qǐng)你分別計(jì)算出圖中正方形A，B，C，A′，B′，C′的面積，看看能得出什么結(jié)論．A的面積B的面積C的面積4913A′的面積B′的面積C′的面積92534正方形A，B，C的面積之間有什么關(guān)系？正方形A′，B′，C′的面積之間有什么關(guān)系？A的面積＋B的面積＝C的面積，A′的面積＋B′的面積＝C′的面積．師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立觀察并計(jì)算各圖中正方形A，B，C的面積并完成填表．教師參與小組活動(dòng)，指導(dǎo)、傾聽學(xué)生交流．針對(duì)不同認(rèn)識(shí)水平的學(xué)生，引導(dǎo)其用不同的方法得出大正方形的面積．學(xué)生分組交流，展示求面積的不同方法，如：在正方形C周圍補(bǔ)出四個(gè)全等的直角三角形而得到一個(gè)大正方形，通過圖形面積的和差，得到正方形C的面積．或者將正方形C分割成四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形，求得正方形C的面積．學(xué)生利用表格有條理地呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，歸納得到：正方形A，B的面積之和等于正方形C的面積．在上一活動(dòng)“探究等腰直角三角形三邊關(guān)系”的基礎(chǔ)上，學(xué)生類比遷移，得到：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．師生共同討論、交流、逐步完善，得到命題1：如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2＋b2＝c2.拼圖驗(yàn)證→加深理解利用拼圖游戲驗(yàn)證勾股定理，并思考：能用下圖證明這個(gè)結(jié)論嗎？已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC，∠ABC，∠ACB的對(duì)邊分別為a，b，c.求證：a2＋b2＝c2.解：整個(gè)圖形可以看作是邊長(zhǎng)為c的正方形，它的面積為c2．也可以看作由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)邊長(zhǎng)為b－a的正方形組成，其面積為4×eq\f(1,2)ab＋(b－a)2．所以可以得到等式：4×eq\f(1,2)ab＋(b－a)2＝c2．化簡(jiǎn)，得a2＋b2＝c2．師生活動(dòng)：教師指導(dǎo)學(xué)生閱讀教材第23～24頁(yè)，了解趙爽是如何利用拼圖的方法來證明命題1的．學(xué)生在弦圖驗(yàn)證的基礎(chǔ)上，參照教材開展拼圖活動(dòng)，以小組為單位，合作探究．總結(jié)定理內(nèi)容：如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2＋b2＝c2.2.鼓勵(lì)學(xué)生勇于面對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的困難，嘗試從不同角度尋求解決問題的有效方法，并通過對(duì)方法的反思，獲得解決問題的經(jīng)驗(yàn)．3.通過探究活動(dòng)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，激發(fā)學(xué)生探求新知的欲望．給學(xué)生充分的時(shí)間與空間討論、交流，鼓勵(lì)學(xué)生敢于發(fā)表自己的見解，感受合作的重要性．活動(dòng)三：開放訓(xùn)練、體現(xiàn)應(yīng)用【典型例題】例1在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，∠C＝90°.(1)已知a＝3，b＝4，則c＝5；(2)已知c＝25，b＝15，則a＝20；(3)已知c＝19，a＝13，則b＝8eq\r(3)；(結(jié)果保留根號(hào))(4)已知a∶b＝3∶4，c＝15，則b＝12．例24個(gè)全等的直角三角形的直角邊分別為a，b，斜邊為c.現(xiàn)把它們適當(dāng)拼合，可以得到如圖所示的圖形，利用這個(gè)圖形可以驗(yàn)證勾股定理，你能說明其中的道理嗎？請(qǐng)?jiān)囈辉嚕猓簣D形的總面積可以表示為c2＋2×eq\f(1,2)ab＝c2＋ab，也可以表示為a2＋b2＋2×eq\f(1,2)ab＝a2＋b2＋ab，∴c2＋ab＝a2＋b2＋ab.∴a2＋b2＝c2.【變式訓(xùn)練】1．如圖，根據(jù)圖中所給的數(shù)據(jù)，可求出直角三角形中未知邊的長(zhǎng)度a＝6，b＝24．第1題圖第2題圖2．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，AB＝4，∠B＝45°，DC＝1，則AC＝3．3．如圖，對(duì)任意符合條件的Rt△BAC，繞其銳角頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△DAE，所以∠BAE＝90°，且四邊形ACFD是一個(gè)正方形，它的面積和四邊形ABFE的面積相等，而四邊形ABFE面積等于Rt△BAE和Rt△BFE的面積之和，根據(jù)圖形寫出一種證明勾股定理的方法．解：由旋轉(zhuǎn)，得△ABC≌△AED，∴S△ABC＝S△AED.∴S正方形ACFD＝S四邊形ABFE＝SRt△BAE＋SRt△BFE.∴b2＝eq\f(（b＋a）（b－a）,2)＋eq\f(c2,2).整理，得a2＋b2＝c2.師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，舉手回答，師生交流心得和方法．1.讓學(xué)生對(duì)本節(jié)課的知識(shí)進(jìn)行最基本的運(yùn)用，為下節(jié)課勾股定理的應(yīng)用做好鋪墊．2．培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范解題的能力．3．與前面的弦圖驗(yàn)證相呼應(yīng)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，了解勾股定理證法的多樣性．活動(dòng)四：課堂檢測(cè)【課堂檢測(cè)】1．如圖，字母B所代表的正方形的面積是(C)A.12B．13C．144D．194第1題圖第2題圖2．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝15，BC＝18，AD為BC邊上的中線，則AD＝12．3．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DBC＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝12，求CD的長(zhǎng)．解：∵∠BAD＝90°，AD＝3，AB＝4，∴BD＝