修改整理加入書目，便利查用，五年級奧數舉一反三

書目

平均數（一）...................................................................................2

練習一................................................................................2

練習二.................................................................................3

平均數（二）..............................................................................6

第3周長方形、正方形的周長................................................................10

第4周長方形、正方形的面積................................................................16

第5周分類數圖形...........................................................................22

第6周尾數和余數...........................................................................27

第7周一般應用題（一）....................................................................31

第8周一般應用題（二）....................................................................36

第9周一般應用題（三）....................................................................40

第10周數陣............................................................................45

第11周周期問題............................................................................52

第12周盈虧問題............................................................................57

第13周長方體和正方體（一）.............................................................62

第十四周長方體和正方體（二）.............................................................68

第十五周長方體和正方體（三）.............................................................73

第16周倍數問題（一）....................................................................79

第17周倍數問題（二）....................................................................83

第18周組合圖形面積（一）.................................................................88

第十九周組合圖形的面積....................................................................94

其次十周數字趣題........................................................................102

其次十一講假設法解題.....................................................................107

其次十二周作圖法解題...................................................................112

其次十二周分解質因數...................................................................118

其次十四周分解質因數（二）..............................................................122

第25周最大公約數.........................................................................126

其次十六周最小公倍數（一）..............................................................131

其次十七周最小公倍數（二）..............................................................135

第28周行程問題（一）.................................................................141

其次十九周行程問題（二）................................................................146

第三十周行程問題（三）............................................................151

第三十一周行程問題（四）............................................................157

笫三十二周算式謎..........................................................................162

第33周包含與解除（容斥原理）...........................................................167

第34周置換問題....................................................................172

第35周估值問題....................................................................177

第36周火車行程問題......................................................................182

第37周簡單列舉....................................................................187

第三十八周最大最小問題...................................................................192

第三十九周推理問題........................................................................198

第40周雜題...........................................................................204

練習五..............................................................................208

平均數（一）

專題簡析:

把幾個不相等的數，在總數不變的條件下，通過移多補少，使它們完全相等，求

得的相等的數就是平均數。

如何敏捷運用平均數的數量關系解答一些稍困難的問題呢？

下面的數量關系必需牢記：

平均數=總數量:總份數

總數量=平均數x總份數

總份數二總數量義平均數

例1有4箱水果，已知蘋果、梨、橘子平均每箱42個，梨、橘子、桃平均每箱36

個，蘋果和桃平均每箱37個。一箱蘋果多少個？

分析與解答:（1）1箱蘋果+1箱梨+1箱橘子=42X3=136（個）;

（2）1箱桃+1箱梨+1箱橘子=36X3=108（個）

（3）1箱蘋果+1箱桃=37X2=72（個）

由（1）（2）兩個等式可知：

1箱蘋果比1箱桃多126—108=18（個），再依據等式（3）就可以算出：1箱桃有

（74-18）4-2=28（個），1箱蘋果有28+18=46（個）。

1箱蘋果和1箱桃共有多少個：37X2=74（個）

1箱蘋果比1箱桃多多少個：42X3-36=18（個）

1箱蘋果有多少個：28+18=46（個）

練習一

1,一次考試，甲、乙、丙三人平均分91分，乙、丙、丁三人平均分89分，甲、丁二

人平均分95分。問：甲、丁各得多少分？

2,甲、乙、丙、丁四人稱體重，乙、丙、丁三人共重120千克，甲、丙、丁三人共重

126千克，丙、丁二人的平均體重是40千克。求四人的平均體重是多少千克？

3,甲、乙、丙三個小組的同學去植樹，甲、乙兩組平均每組植樹18棵，甲、丙兩組

平均每組植樹17棵，乙、丙兩組平均每組植樹19棵。三個小組各植樹多少棵？

例2—次數學測驗，全班平均分是91.2分，已知女生有21人，平均每人92分；男

生平均每人90.5分。求這個班男生有多少人？

分析：女生每人比全班平均分高92—91.2=0.8（分），而男生每人比全班平均分低91.2

-90.5=0.7（分）。全體女生高出全班平均分0.8X21=16.8（分），應補給每個男生0.7

分，16.8里包含有24個0.7,即全班有24個男生。

練習二

1,兩組學生進行跳繩競賽，平均每人跳152下。甲組有6人，平

均每人跳140下，乙組平均每人跳160下。乙組有多少人？

2,有兩塊棉田，平均每畝產量是92.5千克，已知一塊地是5畝，平均每畝產量是101.5

千克；另一塊田平均每畝產量是85千克。這塊田是多少畝？

3,把甲級和乙級糖混在一起，平均每千克賣7元，乙知甲級糖有4千克，平均每千克

8元；乙級糖有2千克，平均每千克多少元？

例3某3個數的平均數是2,假如把其中一個數改為4,平均數就變成了3。被改的

數原來是多少？

分析：原來三個數的和是2X3=6,后來三個數的和是3X3=9,9比6多出了3,是因

為把那個數改成了4。因此，原來的數應當是4一3二1。

練習三

1,已知九個數的平均數是72,去掉一個數之后，余下的數的平均數是78。去掉的數

是多少？

2,有五個數，平均數是9。假如把其中的一個數改為1,那么這五個數的平均數為8。

這個改動的數原來是多少？

3,甲、乙、丙、丁四位同學，在一次考試中四人的平均分是90分。可是，甲在抄分

教時，把自己的分錯抄成了87分，因此，算得四人的平均分是88分.求甲在這次考

試中得了多少分？

例4五一班同學數學考試平均成果91.5分，事后復查發覺計算成果時將一位同學的

98分誤作89分計算了。經重新計算，全班的平均成果是91.7分，五一班有多少名同

學？

分析：98分比89分多9分。多算9分就能使全班平均每人的成果上升91.7-91.5=0.2

（分9里面包含有幾個0.2,五一班就有幾名同學。

練習四

1,五（1）班有40人，期中數學考試，有2名同學去參與體育競賽而缺考，全班平均

分為92分。缺考的兩位同學補考均為100分，這次五（1）班同學期中考試的平均分

是多少分？

2,某班的一次測驗，平均成果是91.3分。復查時發覺把張靜的89分誤看作97分計

算，經重新計算，該班平均成果是91.1分。問全班有多少同學？

3,五個數的平均數是18,把其中一個數改為6后，這五個數的平均數是16。這個改

動的數原來是多少？

例5把五個數從小到大排列，其平均數是38。前三個數的平均數是27,后三個數的

平均數是48。中間一個數是多少？

分析：先求出五個數的和：38X5=190,再求出前三個數的和：27X3=81,后三個數的

和：48X3=144c用前三個數的和加上后三個數的和，這樣，中間的那個數就算了兩次，

必定比190多，而多出的部分就是所求的中間的一個數。

練習五

1,甲、乙、丙三人的平均年齡為22歲，假如甲、乙的平均年齡是18歲，乙、丙的平

均年齡是25歲，那么乙的年齡是多少歲？

2,十名參賽者的平均分是82分，前6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分。

那么第5人和第6人的平均分是多少分？

3,下圖中的。內有五個數A、B、C、D、E,□內的數表示與它相連的全部。中的平均

數。求C是多少？

平均數（二）

例1小明前幾次數學測驗的平均成果是84分，這次要考100分，才能把平均成果提

高到86分。問這是他第幾次測驗？

分析與解答：100分比86分多14分，這14分必需填補到前幾次的平均分84分中去,

使其平均分成為86分。每次填補86—84二2（分），14里面有7個2,所以，前面已經

測驗了7次，這是第8次測驗。

練習一

1,老師帶著幾個同學在做花，老師做了21朵，同學平均每人做了5朵。假如師生合

起來算，正好平均每人做了7朵。求有多少個同學在做花？

2,一位同學在期中測驗中，除了數學外，其它幾門功課的平均成果是94分，假如數

學算在內，平均每門95分。已知他數學得了100分，問這位同學一共考了多少門功課？

3,兩組同學進行跳繩競賽，平均每人跳152次。甲組有6人，平均每人跳140次，假

如乙組平均每人跳160次，邛么，乙組有多少人？

例2小亮在期末考試中，政治、語文、數學、英語、自然五科的平均成果是89分，

政治、數學兩科平均91.5分，政治、英語兩科平均86分，英語比語文多10分。小亮

的各科成果是多少分？

分析與解答：因為語文、英語兩科平均分84分，即語文+英語二168分，而英語比語

文多10分，即英語一語文二10分，所以，語文是(168-10):2=79分，英語是79+

10二89分。又因為政治、英語兩科平均86分，所以政治是86X2—89=83分；而政治、

數學兩科平均分91.5分，教學是91.5X2-83=100分；最終依據五科的平均成果是

89分可知，自然分是89X5—(79+89+83+100)=94分。

練習二

1,甲、乙、丙三個數的平均數是82,甲、乙兩數的平均數是86,乙、丙兩數的平均

數是77。乙數是多少？甲、丙兩個數的平均數是多少？

2,小華的前幾次數學測驗的平均成果是80分，這一次得了100分，正好把這幾次的

平均分提高到85分。這一次是他第幾次測驗？

3,五個數排一排，平均數是9c假如前四個數的平均數是7,后四個數的平均數是10,

那么，第一個數和第五個數的平均數是多少？

例3兩地相距360千米，一艘汽艇順水行全程須要10小時，已知這條河的水流速度

為每小時6千米。來回兩地的平均速度是每小時多少千米？

分析與解答：用來回的路程除以來回所用的時間就等于來回兩地的平均速度。明顯，

要求來回的平均速度必需先求出逆水行全程時所用的時間。因為360?10=36（千米）

是順水速度，它是汽艇的靜水速度與水流速度的和，所以，此汽艇的靜水速度是36—

6二30（千米）。而逆水速度二靜水速度一水流速度，所以汽艇的逆水速度是30—6二24（千

米）。逆水行全程時所用時間是360:24=15（小時），來回的平均速度是360X2;（10

+15）=28.8（千米）。

練習三

1,甲、乙兩個碼頭相距144千米，汽船從乙碼頭逆水行駛8小時到達甲碼頭，已知汽

船在靜水中每小時行駛21千米。求汽船從甲碼頭順流行駛幾小時到達乙碼頭？

2,一艘客輪從甲港駛向乙港，全程要行165千米，已知客輪的靜水速度是每小時30

千米，水速每小時3千米。現在正好是順流而行，行全程須要幾小時？

3,甲船逆水航行300千米，須要15小時，返回原地須要10小時；乙船逆水航行同樣

的一段水路須要20小時，返回原地須要多少小時？

例4幼兒園小班的20個小摯友和大班的30個小摯友一起分餅干，小班的小摯友每

人分10塊，大班的小摯友每人比大、小班小摯友的平均數多2塊。求一共分掉多少塊

餅干？

分析與解答：只要知道了大、小班小摯友分得的平均數，再乘（30+20）人就能求出

餅干的總塊數。因為大班的小摯友每人比大、小班小摯友的平均數多2塊，30個小摯

友一共多2X30=60（塊），這60塊平均分給20個小班的小摯友，每人可得60：20二3

（塊）。因此，大、小班小摯友分得平均塊數是10+3=13（塊）。一共分掉13X（30

+20）=650（塊）。

練習四

1,數學愛好小組里有4名女生和3名男生，在一次數學競賽中，女生的平均分是90

分，男生的平均分比全組的平均分高2分，全組的平均分是多少分？

2,兩組同學跳繩，第一組有25人，平均每人跳80下；其次組有20人，平均每人比

兩組同學跳的平均數多5下，兩組同學平均每人跳幾下？

3,一個技術工帶5個一般工人完成了一項任務，每個一般工人各得120元，這位技術

工人的收入比他們6人的平均收入還多20元。問這位技術工得多少元？

例5王強從A地到B地，先崎自行車行完全程的一半，每小時行12千米。剩下的步

行，每小時走4千米。王強行完全程的平均速度是每小時多少千米？

分析與解答：求行完全程的平均速度，應當用全程除以行全程所用的時間。由于題中

沒有告知我們A地到B地間的路程，我們可以設全程為24千米（也可以設其他數），

這樣，就可以算出行全程所用的時間是12:12+12:4二4（小時），再用24:4就能得

到行全程的平均速度是每小時6千來.

練習五

1,小明去爬山，上山時每小時行3千米，原路返回時每小時行5千米。求小明來回的

平均速度。

2,運動員進行長跑訓練，他在前一半路程中每分釣跑150米，后一半路程中每分鐘跑

100米。求他在整個長跑中的平均速度。

3,把一份書稿平均分給甲、乙二人去打，甲每分鐘打30個字，乙每分鐘打20個字。

打這份書稿平均每分鐘打多少個字？

第3周長方形、正方形的周長

同學們都知道，長方形的周長二（長+寬）X2,正方形的周長二邊長X4。長方形、

正方形的周長公式只能用來計算標準的長方形和正方形的周長。如何應用所學學問巧

求表面上看起來不是長方形或正方形的圖形的周長，還需同學們敏捷應用已學學問，

駕馭轉化的思索方法，把困難的問題轉化為標準的圖形，以便計算它們的周長。

例1有5張同樣大小的紙如下圖（a）重疊著，每張紙都是邊長6厘米的正方形,

重疊的部分為邊長的一半，求重疊后圖形的周長。

思路與導航依據題意，我們可以把每個正方形的邊長的一半同時向左、右、上、

下平移（如圖b）,轉化成一個大正方形，這個大正方形的周長和原來5個小正方形重

疊后的圖形的周長相等°因此，所求周長是18X4=72厘米.

6厘米

練習一

1,下圖由8個邊長都是2厘米的正方形組成，求這個圖形的周長。

2,下圖由1個正方形和2個長方形組成，求這個圖形的周長。

20cm

9cm

15cm

3,有6塊邊長是1厘米的正方形，如例題中所說的這樣重疊著，求重疊后圖形的

周長C

例2一塊長方形木板，沿著它的長度不同的兩條邊各截去4厘米，截掉的面積為192

平方厘米。現在這塊木板的周長是多少厘米？

思路導航把截掉的192平方厘米分成A、B、C三塊（如圖），其中AB的面積是

192-4X4=176（平方厘米）。把A和B移到一起拼成一個寬4厘米的長方形，而此長

方形的長就是這塊木板剩下部分的周長的一半。176?4=44（厘米），現在這塊木板的

周長是44X2=88（厘米）。

A

CB

練習二

1,有一個長方形，假如長削減4米，寬削減2米，面積就比原來削減44平方米,

且剩下部分正好是一個正方開九求這個正方形的周長。

2,有兩個相同的長方形，長是8厘米，寬是3厘米，假如按下圖疊放在一起，這

個圖防的周長是多少？

3,有一塊長方形廣場，沿著它不同的兩條邊各劃出2米做綠化帶，剩下的部分仍

是長方形，且周長為280米。求劃去的綠化帶的面積是多少平方米？

例3已知下圖中，甲是正方形，乙是長方形，整個圖形的周長是多少？

甲

ab

思路導航從圖中可以看出，整個圖形的周長由六條線段圍成，其中三條橫著,

三條豎著。三條橫著的線段和是（a+b）X2,三條豎著的線段和是bX2o所以，整

個圖杉的周長是（a+b）X2+bX2,即2a+4b。

練習三

1,有一張長40厘米，寬30厘米的硬紙板，在四個角上各剪去一個同樣大小的正

方形后打算做一個長方體紙盒，求被剪后硬紙板的周長。

2,一個長12厘米，寬2厘米的長方形和兩個正方形正好拼成下圖（1）所示長方

形，求所拼長方形的周長。

3,求下面圖形（圖2）的周長（單位：厘米），

2

-------------------8

10

圖（1）圖（2）

例4下圖是邊長為4厘米的正方形，求正方形中陰影部分的周長。

思路導航我們把陰影部分周長中左邊的5條線段全部平移到左邊，其和正好是

4厘米。再把下面的線段全部平移到下面，其和也正好是4厘米。因此，陰影部分的

周長與邊長是4厘米的正方形的周長是相等的。

練習四

求下面圖形的周長（單位：厘米）。

在（）里填上“>”、"V”或“二”。

甲的周長（）乙的周長

3,下圖中的每一小段的長度都相等，求圖形的周長。

22厘米

例5如下圖，陰影部分是正方形，DF=6厘米，AB二9厘米，求最大的長方形的周長。

分析依據題意可知，最大長方形的寬就是正方形的邊長。因為BC=EF,CF=DE,

所以，AB+BC+CF=AB+FE+ED=9+6=15（厘米），這正好是最大長方形周長的一半。

因此，最大長方形的周長是（9+6）X2=30（厘米）。

DEF

ABC

練習五

1,下面三個正方形的面積相等,剪去陰影部分的面積也相等，求原來正方形的周

長發生了什么變更？（單位：厘米）

12

2,下面是一個零件的平面圖，圖中每條短線段都是5厘米，零件長35厘米，高

30

3,有兩個相同的長方形，長7厘米，寬3厘米，如下圖重疊著，求重疊圖形的周

長。

第4周長方形、正方杉的面積

專題簡析：

長方形的面積二長義寬，正方形的面積二邊長X邊長。駕馭并能運用這兩個面積公

式，就能計算它們的面積。

但是，在平常的學習過程中，我們經常會遇到一些已知條件比較隱藏、圖形比較

困難、不能簡潔地用公式干脆求出面積的題目。這就須要我們切實駕馭有關概念，利

用“割補”、“平移”、“旋轉”等方法，使困難的問題轉化為一般的求長方形、正方形

面積的問題，從而正確解答，

例1已知大正方形比小正方形邊長多2厘米，大正方形比小正方形的面積大40平方

厘米,求大、小正方形的面積各是多少平方厘米？

2

分析從圖中可以看出，大正方形的面積比小正方形的面積大出的40平方厘米，

可以分成三部分，其中A和B的面積相等。因此，用40平方厘米減去陰影部分的面積,

再除以2就能得到長方形A和B的面積，再用A或B的面積除以2就是小正方形的邊

長。求到了小正方形的邊長，計算大、小正方形的面積就特別簡潔了。

練習一

1,有一塊長方形草地，長20米，寬15米。在它的四周向外筑一條寬2米的小路，求

小路的面積。

O

2,正方形的一組對邊增加30厘米，另一組對邊削減18厘米，結果得到一個與原正方

形面積相等的長方形。原正方形的面積是多少平方厘米？

3,把一個長方形的長增加5分米，寬增加8分米后，得到一個面積比原長方形多181

平方分米的正方形。求這個正方形的邊長是多少分米？

例2一個大長方形被兩條平行于它的兩條邊的線段分成四個較小的長方形，其中三

個長方形的面積如下圖所求，求第四個長方形的面積。

C

614

E

Q

■35

D

分析因為AEXCE=6,DEXEB=35,把兩個式子相乘AEXCEXDEXEB=35X6,而

CEXEB=14,所以AEXDE=35X6：14=15。

練習二

1,下圖一個長方形被分成四個小長方形，其中三個長方形的面積分別是24平方厘米、

30平方厘米和32平方厘米，求陰影部分的面積。

32p24

30

BEC

2,下面一個長方形被分成六個小長方形，其中四個長方形的面積如圖所示（單位：平

方厘米），求A和B的面積。

15A12

4524B

3,下圖中陰影部分是邊長5厘米的正方形，四塊完全一樣的長方形的寬是8厘米，求

整個圖形的面積。

8

例3把20分米長的線段分成兩段，并且在每一段上作一正方形，已知兩個正方

形的面積相差40平方分米，大正方形的面積是多少平方分米？

AI'""……i

B;

2020

分析我們可以把小正方形移至大正方形里面進行分析。兩個正方形的面積差40

平方分米就是圖中的A和B兩部分，如圖。假如把B移到原來小正方形的上面，不難

看出，A和B正好組成一個長方形，此長方形的面積是40平方分米，長20分米，寬

是40:20二2（分米），即大、小兩個正方形的邊長相差2分米。因此，大正方形的邊

長就是（20+2）4-2=11（分表），面積是11X11=121（平方分米）

練習三

1,一塊正方形，一邊劃出1.5米，另一邊劃出10米搞綠化，剩下的面積比原來削減

了1350平方米。這塊地原來的面積是多少平方米？

2,一個正方形，假如它的邊長增加5厘米，那么，面積就比原來增加95平方厘米。

原來正方形的面積是多少平方厘米？

3,有一個正方形草坪，沿草坪四周向外修建一米寬的小路，路面面積是80平方米。

求草坪的面積。

例4有一個正方形ABCD如下圖，請把這個正方形的面積擴大1倍，并畫出來。

分析由于不知道正方形的邊長和面積，所以，也沒有方法計算出所畫正方形的

邊長或面積。我們可以利用兩個正方形之間的關系進行分析。以正方形的四條邊為準，

分別作出4個等腰直角三角形，如圖中虛線部分，明顯，虛線表示的正方形的面枳就

是原正方形面積的2倍。

練習四

1,四個完全一樣的長方形和一個小正方形組成了一個大正方形，假如大、小正方開彳的

面積分別是49平方米和4平方米，求其中一個長方形的寬。

2,正圖的每條邊都垂直于與它相鄰的邊，并且28條邊的長都相等。假如此圖的周長

是56厘米，那么，這個圖形的面積是多少？

3,正圖中，正方形ABCD的邊長4厘米，求長方形EFGD的面積。

例5有一個周長是72厘米的長方形，它是由三個大小相等的正方形拼成的。一個正

方形的面積是多少平方厘米？

分析三個同樣大小的正方形拼成的長方形，它的周長是原正方形邊長的8倍，

正方形的邊長為72：8=9（厘米），一個正方形的面積就是9義9=81（平方厘米）。

練習五

1,五個同樣大小的正方形拼成一個長方形，這個長方形的周長是36厘米，求每個正

方形的面積是多少平方厘米？

2,有一張長方形紙，長12厘米，寬10厘米。從這張紙上剪下一個最大的正方形后,

剩下部分的周長是多少厘米？

3,有一個小長方形，它和一個正方形拼成了一個大長方形ABCD（如下圖），已知大長

方形的面積是35平方厘米，且周長比原來小長方形的周長多10厘米。求原來小長方

形的面積。

Ai-------------iD

BC

第5周分類數圖形

專題簡析：

我們在數數的時候，遵循不重復、不遺漏的原則，不能使數出的結果精確。但是

在數圖形的個數的時候，往往就不簡潔了。分類數圖形的方法能夠幫助我們找到圖形

的規律，從而有秩序、有條理并且正確地救出困形的個數。

例題1下面圖形中有多少個正方形？

分析：圖中的正方形的個數可以分類數，如由一個小正方形組成的有6X3=18個,

2X2的正方形有5X2=10個，3X3的正方形有4X1=4個。因此圖中共有18+10+4=32

個正方形。

練習一

1,下圖中共不多少個正方形？

2,下圖中共有多少個正方形？

3,下圖中共有多少個正方形，多少個三角形？

例題2下圖中共有多少個三角形？

分析為了保證不漏數又不重復，我們可以分類來數三角形，然后再把數出的各

類三角形的個數相加。

(1)圖中共有6個小三角形；

(2)由兩個小三角形組合的三角形有3個；

(3)由三個小三角形組合的三角形有6個；

(4)由六個小三角形組合的三角形有1個。

所以共有6+3+6+1=16個三角形。

練習二

1,下面圖中共有多少個三角形？

2,數一數，圖中共有多少個三角形。

圖表1

例題3數出下圖中全部三角形的個數。

分析和三角形AFG一樣形態的三角形有5個；和三角形ABF一樣形態的三角形

有10個；和三角形ABG一樣形態的三角形有5個；和三角形ABE一樣形的三角形有5

個；和三角形AMD一樣形態的三角形有5個，共35個三角形。

練習三

數出下面圖形中分別有多少個三角形。

例題4如下圖，平面上有12個點，可隨意取其中四個點圍成一個正方形，這樣的正

方形有多少個？

分析把相鄰的兩點連接起來可以得到下面圖形，從圖中可以看出：

(1)最小的正方形有6個；

(2)由4個小正方形組合而成的正方形有2個;

(3)中間還可圍成2個正方形。

所以共有6+2+2=10個。

練習四

1,下圖中共有8個點，連接隨意四點圍成一個長方形，一共能圍成多少個長方形？

2,下圖中共有6個點，連接其中的三點圍成一個三角彩，一共能圍成多少個三角

形？

3,下圖中共有9個點，連接其中的四個點圍成一個梯形，一共能圍成多少個梯形？

例題5數一數，下圖中共有多少個三角形？

分析我們可以分類來數：

1,單一的小三角形有16個；

2,兩個小三角形組合的有10個;

3,四個小三角形組合的有8個；

4,八個小三角形組合的有2個。

所以，圖中一共有16+10+8+2=36個三角形。

練習五

1,圖中共有（）個三角形。

2,圖中共有（）個三角形。

3,圖中共有（）個正方形。

第6周尾數和余數

專題簡析：

自然數末位的數字稱為自然數的尾數；除法中，被除數減去商與除數積的差叫做

余數c尾數和余數在運算時是有規律可尋的，利用這種規律能解決一些看起來無從下

手的問題。

例題1寫出除213后余3的全部兩位數。

分析因為213=210+3,把210分解質因數：210=2X3X5X7,所以，符號題目

要求的兩位數有2X5=10,2X7=14,3X5=15,3X7=21,5X7=35,2X3X5=30,2X

3X7=42,一共有7個兩位數。

練習一

1,寫出除109后余4的全部兩位數。

2,178除以一個兩位數后余數是3,適合條件的兩位數有哪些？

3,寫出除1290后余3的全部三位數。

例題2(1)125X125X125X.......X125[100個25]積的尾數是幾？

(2)(21X26)X(21X26)X……X(21X26)[100個(21X26)]積的尾數

是幾？

分析(1)因為個位5乘5,積的個位仍舊是5,所以不管多少個125相乘，個

位還是5;

(2)每個括號里21乘26積的個位是6,我們只要分析100個6相乘，積的尾數

是幾就行了。因為個位6乘6,積的個位仍舊是6,所以不管多少個(21X26)連乘，

積的個位還是6c

練習二

1,21X21X21X……X21[50個21]積的尾數是幾？

2,1.5X1.5X1.5X……X1.5[200個1.5]積的尾數是幾?

3,(12X63)X(12X63)X(12X63)X...X(12X63)[1000個(12X63)]

積的尾數是幾？

例題3(1)4X4X4X…X4[50個4]積的個位數是幾？

(2)9X9X9X…義9[51個9]積的個位數是幾？

分析(1)我們先列舉前幾個4的積，看看個位數在怎樣變更，1個4個位就是

4;4X4的個位是6;4X4X4的個位是4;4X4X4X4的個位是6...由此可見，積

的尾數以“4,6”兩個數字在不斷重復出現。50?2二25沒有余數，說明50個4相乘,

積的個位是6o

(2)用上面的方法可以發覺，51個9相乘時，積的個位是以“9,1”兩個數字

不斷重復，514-2=25……1,余數是1,說明51個9本乘積的個位是9。

練習三

1,24X24X24X…X24[2001個24],積的尾數是多少？

2,1X2X3X—X98X99,積的尾數是多少？

3,94X94X94X…X94[102個94]-49X49X???X49[101個49],差的個位是多

少？

例題4把1/7化成小數,那么小數點后面第100位上的數字是多少？

分析因為1/7元,化成的小數是一個無限循環小數，循環節“142857”共

有6個數字。由于100+6=16……4,所以，小數點后面的第100位是第17個循環節

的第4個數字，是8。

練習四

1,把1/11化成小數,求小數點后面第2001位上的數字。

2,5/7寫成循環小數后，小數點后第50個數字是幾？

3,有一串數：5、8、13、21、34、55、89……,其中，從第三個數起，每個數恰

好是前兩個數的和。在這串數中，第1000個數被3除后所得的余數是多少？

例題5555…55[2001個5]3,當商是整數時，余數是幾？

分析假如用除法硬除明顯太麻煩，我們可以先用豎式來除一除，看一看余數在

按怎樣的規律變更C

12735...

13/555555...

35

26

95

91

15

39

65

65

O

從豎式中可以看出，余數是按3、9、4、6、0、5這六個數字不斷重復出現。2001

4-6=333……3,所以，當商是整數時，余數是4。

練習五

1,444…4：6[100個4],當商是整數時，余數是幾？

2,當商是整數時，余數各是幾？

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