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21.2.2公式法第21章一元二次方程人教版數(shù)學(xué)九年級上冊【公開課精品課件】授課教師:********班級:********時間:********展示生活中與一元二次方程相關(guān)的實際問題情境,如:一個面積為120平方米的矩形花園,長比寬多2米,求花園的長和寬。設(shè)寬為x米,則長為(x+2)米,可列方程x(x+2)=120。某種藥品經(jīng)過兩次降價,每瓶零售價由56元降為31.5元,已知兩次降價的百分率相同,求每次降價的百分率。設(shè)每次降價的百分率為x,則可列方程56(1-x)2=31.5。引導(dǎo)學(xué)生觀察列出的方程,與之前學(xué)過的一元一次方程進行對比,發(fā)現(xiàn)這些方程的特點,從而引出本節(jié)課要學(xué)習(xí)的一元二次方程的內(nèi)容,讓學(xué)生感受到一元二次方程在解決實際問題中的廣泛應(yīng)用。(二)知識講解(30分鐘)一元二次方程的概念給出幾個不同形式的方程,如x2-3x+2=0,2x2+5x=0,3(x-1)2=27等,讓學(xué)生觀察方程的結(jié)構(gòu)特征。總結(jié)一元二次方程的定義:只含有一個未知數(shù)(一元),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。強調(diào)“整式方程”這一條件,舉例說明如1/x2+x-1=0不是一元二次方程,因為它不是整式方程。講解一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2是二次項,a是二次項系數(shù);bx是一次項,b是一次項系數(shù);c是常數(shù)項。讓學(xué)生指出前面給出方程的各項系數(shù),注意當系數(shù)為1或-1時,“1”常省略不寫,但在確定系數(shù)時要寫出。一元二次方程的解法直接開平方法:以方程x2=9為例,講解直接開平方法的原理和步驟。因為x是9的平方根,所以x=±3。推廣到一般形式,對于方程(x-m)2=n(n≥0),可以直接開平方得到x-m=±√n,進而解得x=m±√n。通過練習(xí)如(x-2)2=16,讓學(xué)生掌握直接開平方法。配方法:以x2+6x-7=0為例,引導(dǎo)學(xué)生思考如何將方程左邊配成完全平方式。首先在方程兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方,即x2+6x+9-9-7=0,變形為(x+3)2-16=0,再利用直接開平方法求解。總結(jié)配方法的步驟:移項(把常數(shù)項移到方程右邊)、配方(在方程兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方)、變形(將方程左邊配成完全平方式)、開平方、求解。通過練習(xí)如x2-4x-5=0,讓學(xué)生鞏固配方法。強調(diào)配方時加上的數(shù)是一次項系數(shù)一半的平方,且方程兩邊都要加。公式法:對于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),通過配方法推導(dǎo)求根公式。\(\begin{align*}ax?2+bx+c&=0\\ax?2+bx&=-c\\x?2+\frac{b}{a}x&=-\frac{c}{a}\\x?2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})?2&=(\frac{b}{2a})?2-\frac{c}{a}\\(x+\frac{b}{2a})?2&=\frac{b?2-4ac}{4a?2}\end{align*}\)當b2-4ac≥0時,x+\frac{b}{2a}=±\frac{\sqrt{b2-4ac}}{2a},得到求根公式x=\frac{-b±\sqrt{b2-4ac}}{2a}。講解利用公式法解方程的步驟:先確定a、b、c的值,計算判別式Δ=b2-4ac的值,判斷方程根的情況,當Δ≥0時,代入求根公式求解。通過練習(xí)如2x2-5x+2=0,讓學(xué)生熟練運用公式法。因式分解法:以方程x2-3x=0為例,方程左邊可因式分解為x(x-3)=0,根據(jù)“若兩個因式的積為0,則至少有一個因式為0”,得到x=0或x-3=0,從而解得x?=0,x?=3。總結(jié)因式分解法的步驟:將方程右邊化為0,把方程左邊因式分解,令每個因式為0,得到兩個一元一次方程,解這兩個一元一次方程,它們的解就是原方程的解。通過練習(xí)如(x-1)(x+2)=6,先將方程化為一般形式x2+x-8=0,再嘗試因式分解(若不能分解則考慮其他解法),讓學(xué)生掌握因式分解法。一元二次方程根的判別式回顧公式法中求根公式x=\frac{-b±\sqrt{b2-4ac}}{2a},引出根的判別式Δ=b2-4ac。分析當Δ>0時,方程有兩個不相等的實數(shù)根;當Δ=0時,方程有兩個相等的實數(shù)根;當Δ<0時,方程沒有實數(shù)根。通過具體方程如x2-2x+1=0(Δ=0),x2-2x-3=0(Δ>0),x2+2x+3=0(Δ<0),讓學(xué)生計算判別式并判斷根的情況,加深理解。應(yīng)用舉例:已知關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根,求k的取值范圍。根據(jù)Δ>0,即(-2)2-4k>0,解得k<1。一元二次方程的實際應(yīng)用傳播問題:以流感傳播為例,假設(shè)一開始有1個人患了流感,經(jīng)過兩輪傳染后共有121個人患了流感,每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人?設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人。第一輪傳染后有(x+1)個人患流感,第二輪傳染后有(x+1)+x(x+1)=(x+1)2個人患流感,可列方程(x+1)2=121,解得x?=10,x?=-12(舍去)。總結(jié)傳播問題的一般模型:設(shè)每輪傳染中平均一個對象傳染了x個對象,經(jīng)過n輪傳染后共有a(1+x)?個對象被傳染(a為最初的對象數(shù))。增長率問題:某工廠去年的利潤為200萬元,預(yù)計今年和明年的利潤總和為1200萬元,求該工廠利潤的年平均增長率。設(shè)年平均增長率為x,則今年的利潤為200(1+x)萬元,明年的利潤為200(1+x)2萬元,可列方程200(1+x)+200(1+x)2=1200,整理得(1+x)2+(1+x)-6=0,設(shè)y=1+x,方程化為y2+y-6=0,解得y?=2,y?=-3(舍去),即1+x=2,x=1=100%。總結(jié)增長率問題的一般模型:設(shè)初始量為a,平均增長率為x,經(jīng)過n次增長后的量為b,則a(1+x)?=b;若為平均降低率,則a(1-x)?=b。幾何圖形面積問題:在一塊長為32米,寬為20米的矩形空地上,要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路(兩條道路各與矩形的一條邊平行),剩余部分種植花草,使種植花草的面積為540平方米,求道路的寬度。設(shè)道路的寬度為x米,將兩條道路平移到矩形的邊上,可得種植花草部分的長為(32-x)米,寬為(20-x)米,可列方程(32-x)(20-x)=540,展開并整理得x2-52x+100=0,解得x?=2,x?=50(舍去,因為道路寬度不可能大于矩形的寬)。強調(diào)在解決幾何圖形問題時,要根據(jù)圖形的特點合理設(shè)未知數(shù),列出方程,并檢驗解是否符合實際情況。5課堂檢測4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理9布置作業(yè)學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解重點難點1.通過閱讀課本學(xué)生可以由配方法推導(dǎo)求根公式,培養(yǎng)學(xué)生的推理能力.2.結(jié)合使用求根公式解一元二次方程的練習(xí),培養(yǎng)學(xué)生運用公式解決問題的能力,全面培養(yǎng)學(xué)生解方程的能力.3.通過教師講解讓學(xué)生體驗到所有一元二次方程都能運用公式法去解,形成全面解決問題的積極情感,感受公式的對稱美、簡潔美,產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感.舊知回顧1.用配方法解下列方程:(1)2x2-9x+8=0;(2)3x2+2x+1=0.2.回憶用配方法解方程的一般步驟.
(1)移常數(shù)項,二次項系數(shù)化為1;(2)配方,
兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方;(3)寫成(x+n)2=p(p≥0)的形式;(4)直接開平方法解方程.對于一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),能不能利用配方法求出它的解呢?應(yīng)該怎樣做呢?請同學(xué)們?nèi)我膺x擇一個方程求解:(1)x2-2x-1=0;(2)2x2+7x-15=0.1.閱讀課本9-12頁.請同學(xué)們回憶并說出利用配方法解一元二次方程的步驟.(一移,把含有未知數(shù)的項移到等號左邊,常數(shù)項移到等號右邊;二化,將二次項系數(shù)化為1;三配,等號兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方;四開,利用平方根的定義把方程降次;五解,解一元一次方程)自主探究自主探究
自主探究3.請同學(xué)們思考以下問題:①在配成完全平方式后,進行開平方運算時,有沒有條件限制?
兩人一組編題互判,首先根據(jù)根的判別式獨立編制出三個不同根的情況的一元二次方程,然后將所編方程讓同桌判斷根的情況,并用公式法求解.小組討論小組展示我提問我回答我補充我質(zhì)疑提疑惑:你有什么疑惑?越展越優(yōu)秀知識點1:根的判別式(難點)
知識點2:公式法的概念(重點)
這個式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式,利用它解一元二次方程的方法叫做公式法.由求根公式可知,一元二次方程最多有兩個實數(shù)根.教師講評知識點3:用公式法解一元二次方程的一般步驟(重點)
3.代入求根公式:2.求出b2-4ac的值.1.
把方程化成一般形式,并寫出a,b,c的值.4.寫出方程的解:x1,x2.特別注意:當b2-4ac<0時,方程無實數(shù)解;當b2-4ac≥0時,一元二次方程才有實數(shù)根.
教師講評知識點4:一元二次方程根的情況(難點)注意:運用根的判別式時要注意a,b,c的符號,若已知一元二次方程解的情況,也能得到根的判別式的符號.
教師講評返回1.[2024深圳南山區(qū)期末]用配方法解方程x2-4x-1=0時,配方后正確的是(
) A.(x+2)2=3
B.(x+2)2=17
C.(x-2)2=5
D.(x-2)2=17 C返回2.[2023溫州期中]若用配方法解方程x2+4x+1=0時,將其配方為(x+b)2=c的形式,則c=(
) A.2B.3C.0D.1 B返回3.[2023南通海門市一模]用配方法解一元二次方程2x2+4x-5=0時,將它化為(x+a)2=b的形式,則a+b的值為(
) B返回4.將一元二次方程2y2-2=4y化成(y-m)2=n的形式,則(m-n)2025的值為(
) A.1 B.-2025 C.2025 D.-1 D【點撥】∵2y2-2=4y,∴2y2-4y=2,y2-2y=1,y2-2y+1=1+1,(y-1)2=2,∴m=1,n=2,∴(m-n)2025=(1-2)2025=-1.5.[2023南寧模擬]解方程:
(1)x(x-2)-3=0;【解】方程整理得x2-2x-3=0,∴x2-2x=3,∴x2-2x+1=3+1,∴(x-1)2=4,解得x1=3,x2=-1.返回(2)-2x2+7x-6=0.返回6.[2023天津期末]若代數(shù)式49x2-2的值與代數(shù)式14x+
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