22.1.1二次函數第22章二次函數人教版數學九年級上冊【公開課精品課件】授課教師：********班級：********時間：********二次函數的概念給出一些實際問題，引導學生列出函數關系式：問題1：用16m長的籬笆圍成長方形的生物園飼養小兔，怎樣圍可使小兔的活動范圍最大？設長方形的長為\(x\)m，面積為\(y\)m2，則\(y=x(8-x)=-x^{2}+8x\)。問題2：某商店將進價為8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，現在采取提高商品售價減少銷售量的辦法增加利潤，如果這種商品每件的售價每提高0.5元其銷售量就減少10件，設每件售價提高\(x\)元，每天的銷售利潤為\(y\)元，則\(y=(10+x-8)(200-\frac{x}{0.5}\times10)=(2+x)(200-20x)=-20x^{2}+160x+400\)。引導學生觀察這些函數關系式的特點，與一次函數進行對比，總結出二次函數的定義：一般地，形如\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\)、\(b\)、\(c\)是常數，\(a\neq0\)）的函數，叫做二次函數。其中\(x\)是自變量，\(a\)、\(b\)、\(c\)分別是函數表達式的二次項系數、一次項系數和常數項。強調\(a\neq0\)這個條件，如果\(a=0\)，則函數就變成了一次函數。同時舉例說明一些不是二次函數的式子，讓學生進一步明確二次函數的概念。二次函數的一般形式對二次函數\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\neq0\)）進行詳細講解，分析各項系數的作用：二次項系數\(a\)決定了函數圖象的開口方向和開口大小。當\(a\gt0\)時，圖象開口向上；當\(a\lt0\)時，圖象開口向下。\(\verta\vert\)越大，圖象的開口越小；\(\verta\vert\)越小，圖象的開口越大。一次項系數\(b\)和二次項系數\(a\)共同決定對稱軸的位置。對稱軸公式為\(x=-\frac{b}{2a}\)。當\(a\)、\(b\)同號時，對稱軸在\(y\)軸左側；當\(a\)、\(b\)異號時，對稱軸在\(y\)軸右側。常數項\(c\)決定了函數圖象與\(y\)軸的交點位置，當\(x=0\)時，\(y=c\)，所以圖象與\(y\)軸交于點\((0,c)\)。通過一些具體的二次函數例子，讓學生指出各項系數，并分析其圖象的一些特征。（三）例題講解（15分鐘）例1：已知二次函數\(y=2x^{2}-3x+1\)，求：（1）二次項系數、一次項系數和常數項；（2）當\(x=2\)時，函數\(y\)的值；（3）當\(y=0\)時，\(x\)的值。解：（1）二次項系數為\(2\)，一次項系數為\(-3\)，常數項為\(1\)。（2）當\(x=2\)時，\(y=2\times2^{2}-3\times2+1=8-6+1=3\)。（3）當\(y=0\)時，\(2x^{2}-3x+1=0\)，因式分解得\((2x-1)(x-1)=0\)，解得\(x_{1}=\frac{1}{2}\)，\(x_{2}=1\)。例2：一個二次函數的圖象經過點\((0,0)\)，\((1,-3)\)，\((2,-8)\)，求這個二次函數的表達式。解：設二次函數的表達式為\(y=ax^{2}+bx+c\)。因為函數圖象經過點\((0,0)\)，所以把\(x=0\)，\(y=0\)代入得\(c=0\)。又因為圖象經過點\((1,-3)\)，\((2,-8)\)，所以可得方程組\(\begin{cases}a+b=-3\\4a+2b=-8\end{cases}\)將第一個方程\(a+b=-3\)兩邊同時乘以\(2\)得\(2a+2b=-6\)，用\(4a+2b=-8\)減去\(2a+2b=-6\)得：\(\begin{align*}4a+2b-(2a+2b)&=-8-(-6)\\4a+2b-2a-2b&=-8+6\\2a&=-2\\a&=-1\end{align*}\)把\(a=-1\)代入\(a+b=-3\)得\(-1+b=-3\)，解得\(b=-2\)。所以這個二次函數的表達式為\(y=-x^{2}-2x\)。（四）課堂練習（10分鐘）下列函數中，哪些是二次函數？（1）\(y=3x-1\)；（2）\(y=3x^{2}\)；（3）\(y=3x^{3}+2x^{2}\)；（4）\(y=2x^{2}-2x+1\)；（5）\(y=\frac{1}{x^{2}}\)。已知二次函數\(y=x^{2}+bx+c\)的圖象經過點\((1,0)\)，\((0,-3)\)，求這個二次函數的表達式。當\(x\)為何值時，函數\(y=-2x^{2}+4x+1\)有最大值？最大值是多少？（五）課堂小結（5分鐘）請學生回顧本節課所學內容，包括二次函數的概念、一般形式、各項系數對圖象的影響以及如何求二次函數的表達式等。教師進行補充和總結，強調重點和難點內容。（六）布置作業（5分鐘）必做題：教材課后習題第1、2、3題。選做題：某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調查反映：每漲價1元，每星期少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件。已知商品的進價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？五、教學反思在本節課的教學過程中，通過生活實例引入二次函數概念，能激發學生的學習興趣，但在講解二次函數性質時，部分學生對抽象的理論理解存在困難，后續應增加更多直觀演示和實例分析，幫助學生更好地掌握知識。在課堂練習環節，部分學生在將實際問題轉化為二次函數問題時出現錯誤，需要在今后的教學中加強這方面的訓練。5課堂檢測4新知講解6變式訓練7中考考法8小結梳理9布置作業學習目錄1復習引入2新知講解3典例講解1.通過閱讀課本理解并掌握二次函數的概念和一般形式，能夠準確識別二次函數，發展學生的抽象能力.2.通過具體練習會利用二次函數的概念解決問題，提高學生解決問題的能力.3.根據實際問題列出二次函數關系式，找出其中的等量關系，發展學生的模型觀念.重點難點舊知回顧1.你還記得函數的概念嗎?2.我們學過哪些函數?它們的關系式是怎樣的?(一次函數：y=kx+b(k≠0);正比例函數：y=kx(k≠0)(一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y,并且對于

x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，我們就說y

是x的函數)已知長方形窗戶的周長為6m，窗戶面積為y

㎡，窗戶的寬為x

m，你能寫出y與x之間的函數關系式嗎？它是我們之前學過的函數嗎？

在生活中經常能看到，美麗的噴泉、河上架起的拱橋，都形成了一條曲線，那么這些曲線能不能用函數關系式來表示呢？在我們打籃球的時候，籃球運動的路線是什么曲線？它是什么函數的圖象？自主探究1.請同學們閱讀課本28-29頁思考.2.請同學們在完成上面任務后思考以下問題：①函數①②③中分別有幾個變量？其中哪些是自變量？②函數①②③具有什么共同特征？③你能用一個通用的形式來表示具有函數①②③所有特點的函

數關系式嗎？

（都含有兩個變量；函數都是用自變量的二次式表示的）（都有兩個變量；x，n是自變量）

小組討論

確保二次項的存在全體實數

二次項、一次項，常數項；二次項系數、一次項系數①y=ax2;②y=ax2+c;③y=ax2+bx小組展示我提問我回答我補充我質疑提疑惑：你有什么疑惑？越展越優秀教師講評知識點：二次函數的定義（重、難點）一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數，a≠0)的函數，叫做二次函數，其中，x是自變量，a,b,c分別是函數解析式的二次項系數、

一次項系數和常數項.特別地，若b=0,則y=ax2+c;若c=0,則y=ax2+bx;若b=c=0,則y=ax2注

：當a=0時就不是二次函數了，但b,c可以分別為0,也可以同時為0.

【題型一】二次函數的識別CD【題型二】利用二次函數定義求參數的值例

2:已知y=(m+1)

x|m-1|+2m是關于x的二次函數，則m的值為

(

)A.-1

B.3

C.-1或3

D.OB點

撥

：由題意，得m+1≠0,|m-1|=2,所以m=3.變

式

：已知函數

.(1)當m為何值時，此函數是一次函數?(2)當m為何值時，此函數是二次函數?

例3:二次函數y=2x2-3

的二次項系數、

一次項系數和常數項分別是(

)A.2,0,-3B.2,-3,0C.2,3,0D.2,0,3【題型三】二次函數的一般形式A

例4已知一塊矩形綠地的長為xm，面積為y㎡.（1）若該矩形綠地的長為寬的2倍，則寬為_____m，y與x之間的關系式為___________，自變量x的取值范圍是__________；（2）若該矩形綠地的長比寬多6m，則寬為__________m，y與x之間的關系式為___________，自變量x的取值范圍是________.

【題型四】根據實際問題列二次函數例5王先生存入銀行2萬元，先存一個一年定期，一年后銀行將本息自動轉存為又一個一年定期(年利率不變).設一年定期的存款年利率為x，兩年后王先生得本息和y萬元，寫出y與x之間的關系式.解：y=2(1+x)21.[2023揚州模擬]下列函數是二次函數的是(

)C返回變式1[2023河池期末]下列函數中，是二次函數的是(

)A.y＝3x－1

B.y＝x3＋2 C.y＝(x－2)2－x2 D.y＝x(4－x) D2.將二次函數y＝3(x2＋2x)－2化為一般形式為______________________.y＝3x2＋6x－2返回變式2二次函數y＝3x(x－1)的二次項系數、一次項系數分別為(

) A.3，1

B.3，－1

C.3，3

D.3，－3D3.[2023哈爾濱模擬]如果函數y＝xm2－m＋3是二次函數，求m的值.【解】由題意得m2－m＝2，∴m＝－1或m＝2.返回變式3[2023大連期末]y＝(m－1)xm2＋1是二次函數，求m的值.【解】由題意得m2＋1＝2且m－1≠0，解得m＝±1且m≠1，∴m＝－1.4.(1)若正方形的邊長為6，邊長增加x，面積增加y，則y關于x的函數解析式為(

) A.y＝(x＋6)2

B.y＝x2＋62 C.y＝x2＋6x D.y＝x2＋12x

(2)[2023開封期末]矩形的周長為24cm，其中一邊長為xcm，面積為ycm2,y與x的之間的關系式為(

)A.y＝x2

B.y＝12－x2

C.y＝(12－x)·x D.y＝2(12－x) DC返回變式4如圖，在靠墻(墻長為20m)的地方圍建一個矩形的養雞場，另三邊用竹籬笆圍成，如果竹籬笆總長為50m，設養雞場垂直于墻的一邊長為xm，求養雞場的面積y(m2)與x(m)的函數關系式，并求自變量的取值范圍. 【解】由題意得y＝x(50－2x)＝－2x2＋50x.∵墻長為20m，且50－2x>0，∴0<50－2x≤20.∴15≤x＜25.返回1.[2023保定月考]下列函數是二次函數的是(

) C返回2.[2023煙臺期中]若函數y＝mxm2＋m＋2＋4是二次函數，則m的值為________. －1返回3.一個圓柱的高等于底面圓半徑的2倍，則它的表面積S與底面圓半徑r之間的關系式為__________.S＝6πr2

返回4.如圖，某農場要蓋一排三間長方形的羊圈，打算一面利用舊墻，其余各面用木材圍成柵欄，該農場計劃用木材圍成總長24m的柵欄，設面積為Sm2，垂直于墻的一邊長為xm，則S關于x的函數關系式為________________________(寫出自變量的取值范圍).S＝－4x2＋24x(0＜x＜6)5.已知函數y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m.(1)若這個函數是二次函數，求m的取值范圍；

(2)若這個函數是一次函數