專題18.7四邊形中的四大最值模型

【人教版】

考卷信息:

本套訓(xùn)練卷共30題，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生對(duì)四邊形中的四大最值模型的理解!

【題型1兩定一動(dòng)型】

兒何模型1：兩定一動(dòng)型（兩點(diǎn)之間線段最短）

1.（2023春?山東泰安?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖,菱形43CD的邊長(zhǎng)為4,且=60°,E是的中點(diǎn),P為

BD上一點(diǎn)且APCE的周長(zhǎng)最小，則APCE的周長(zhǎng)的最小值為（）

C.2V3+2D.2V7+1

2.（2023春?山東濱州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，菱形ABC。的邊長(zhǎng)為4,ZD/^=60°,E為8C的中點(diǎn)，在

對(duì)角線AC上存在一點(diǎn)P,使△P8E的周長(zhǎng)最小，則△尸8E的周長(zhǎng)的最小值為（）

A.2V3B.4C.2V3+2D.4+273

3.（2023春?湖南湘潭?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，長(zhǎng)方形。力BC,是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的長(zhǎng)方形紙片,

。為原點(diǎn)，點(diǎn)力在％軸上，點(diǎn)C在y軸上，。4二10,。。=6,在人8上取一點(diǎn)M使得△C8M沿CM翻折后，點(diǎn)

8落在/軸上，記作"點(diǎn),

(2)求折痕CM所在直線的表達(dá)式；

⑶求折痕CM上是否存在一點(diǎn)尸，使PO+PS最小？若存在，請(qǐng)求出最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)出理由.

4.(2023春?河北邯鄲?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)y=：%+l的圖

象與X軸，y軸分別交于A,B兩點(diǎn),以AB為邊在第二象限內(nèi)作正方形A8CD

⑴求正方形45CQ的面積；

(2)求點(diǎn)C和點(diǎn)。的坐標(biāo);

(3)在▲?軸上是否存在點(diǎn)M,使△MO8的周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

5.(2023春?山東濰坊?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖①，四邊形A8CQ是邊長(zhǎng)為4的正方形，M是正方形對(duì)角線

8D(不含8、。兩個(gè)端點(diǎn))上任意一點(diǎn)，將△BAM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△BEM連接EA、MN；尸是

4D的中點(diǎn)，連接PM.

(I)AM+PM的最小值等于_____；

(2)求證：△用VM是等邊三角形；

(3)如圖②，以8為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，若點(diǎn)M使得AM+3M+CM的值最小，求知點(diǎn)的坐標(biāo).

6.(2023春?全國(guó)?八年級(jí)期中)如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD(不

含B點(diǎn))上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到BN,連接EN、AM、CM.

(1)求證：△AMB^AENB；

(2)①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+CM的值最小；

②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，并說(shuō)明理由：

(3)當(dāng)AM+BM+CM的最小值為2V5+2口寸，求正方形的邊K.

7.(2023春?廣東深圳?八年級(jí)校聯(lián)考期中)長(zhǎng)方形紙片Q4BC中，AB=\0cm,BC=6cm,把這張長(zhǎng)方形紙片

OABC如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中，在邊04上取一點(diǎn)將AA8E沿BE折疊，使點(diǎn)4恰好落在OC邊

上的點(diǎn)尸處.

(I)求點(diǎn)E、尸的坐標(biāo)；

(2)在46上找一點(diǎn)P,使夕上+PF最小，求點(diǎn)。坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)Q(x,y)是直線戶戶上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)AOCQ的面積為S,求S與x的函數(shù)關(guān)系

式.

8.(2023?四川廣安?八年級(jí)校聯(lián)考期中)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,M、N分別為AB、AD的中點(diǎn),

在對(duì)角線BD上找一點(diǎn)P,使^MNP的周長(zhǎng)最小，則此時(shí)PM+PN二.

AND

BC

【題型2兩動(dòng)一定型】

幾何模型2：兩動(dòng)一定型（兩點(diǎn)之同線段最短）

在。4、OB卜.分別取點(diǎn)"、N使得三角形PMM的周長(zhǎng)最小

1.（2023春?浙江杭州?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD中，ZBAD=110°,ZB=ZD=9O0,在BC、

CD上分別找一點(diǎn)M、N,使aAMN周長(zhǎng)最小，此時(shí)NMAN的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.50°D,45°

2.（2023春?廣東廣州?八年級(jí)廣州市第四H—中學(xué)統(tǒng)考期中）如圖，菱形力BCD的邊長(zhǎng)為2cm,=120°,

點(diǎn)E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，若使PC+PE的值最小，則這個(gè)最小值為（）

A.5B.2C.1D.V3

3.（2023春?甘肅蘭州?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖正方形力BCD的面積為24,△A8E是等邊三角形，點(diǎn)E在正

方形內(nèi)，在對(duì)角線/C上有一動(dòng)點(diǎn)P,要使PO+PE最小，則這個(gè)最小值為（）

AD

P

A.V3B.2V3C.2A/6D.V6

4.（2023春?浙江寧波?八年級(jí)寧波市第卜五中學(xué)校考期中）如圖，矩形中，AB=4,BC=3,若在

AC.44上各取一點(diǎn)M,N,使BAI+MN的值最小，求這個(gè)最小值（）

A.2V3B.噌C.2mD.黃

5.（2023春?廣東湛江?八年級(jí)湛江市第二中學(xué)校考期中）如圖1,矩形。4BC擺放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)

力在％軸上，點(diǎn)C在y軸上，OA=3,OC=2,過(guò)點(diǎn)力的直線交矩形04BC的邊8c于點(diǎn)尸，且點(diǎn)尸不與點(diǎn)8、。重

（1）若4PA8為等腰直角三角形.

①求直線4P的函數(shù)解析式；

②在％軸上另有一點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2,0）,請(qǐng)?jiān)谥本€AP和y軸上分別找一點(diǎn)M、N,使^GM/V的周長(zhǎng)最小，并求

出AGMN周長(zhǎng)的最小值.

（2）如圖2,過(guò)點(diǎn)E作EFIIAP交"軸7點(diǎn)F,若以A、P、F、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求直線PE的解析

式.

6.（2023春?廣東廣州?八年級(jí)中山大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）如圖，在四邊形力BCD中，=4=90。，E,

產(chǎn)分別是BC,CD上的點(diǎn)，連接力E,AF,EF.

D

F

圖①圖②圖③

(1)如圖①，AB=AD,Z.BAD=120°,Z-EAF=60°.求證：EF=BE+DF；

（2）如圖②，^BAD=120°,周長(zhǎng)何時(shí)最小，作出圖形，并直接寫出N/1EF+—1FE=

（3）如圖③，若四邊形力BC。為正方形，點(diǎn)石、尸分別8C,CD上，^LEAF=45°,若BE=3,DF=2,請(qǐng)求

出線段EF的長(zhǎng)度.

7.（2023春.陜西西安?八年級(jí)統(tǒng)考期末）探究:

（1）如圖，P、Q為△4BC的邊A8、4C上的兩定點(diǎn)，在8c上求作一點(diǎn)M,使△PQM的周長(zhǎng)最短.（不寫作

法）

（2）如圖，矩形力BCD中，AB=6,AD=8,E、/分別為邊力8、力。的中點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別為BC、CD上的

動(dòng)點(diǎn)，求四邊形EFNM周長(zhǎng)的最小值.

（3;如圖，正方形4BCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)。為A8邊中點(diǎn)，在邊力0、CD、BC上分別確定點(diǎn)M、N、P.使得四

邊修。MNP周長(zhǎng)最小，并求出最小值.

D

【題型3兩定兩動(dòng)型】

幾何模型3（1）：兩定兩動(dòng)型（兩點(diǎn)之間線段最短）

在。4、OB上分別取點(diǎn)川、N使得四邊形尸MN。的周長(zhǎng)最小。

幾何模型3（2）：兩定兩動(dòng)型（籽軍過(guò)橋）（兩點(diǎn)之間線段最短）

在兩條直線上.分別取點(diǎn)M、N使得zLWTWWB最小

1.（2023春?湖北武漢?八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，乙MON=30。，OA=2,OD=8,線段BC在射線ON上

滑動(dòng)，BC=2V3,則四邊形力BCD周長(zhǎng)的最小值是.

2.（2023春?江蘇揚(yáng)州?八年級(jí)校考期中）如圖，在長(zhǎng)方形紙片48CD中，AB=4,AD=12,將長(zhǎng)方形紙片

折疊，使點(diǎn)。落在/I。邊的點(diǎn)M處，折痕為PE,此時(shí)PD=3.

（1）求MP的值；

（2）在A8邊上是否存在??個(gè)動(dòng)點(diǎn)F,且不與點(diǎn)4、B重合，使AA1E尸的周長(zhǎng)最小.如果存在求出△M/尸的周

長(zhǎng)最小值：如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若點(diǎn)G,Q是AB邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且不與點(diǎn)4B重合，GQ=1.當(dāng)四邊形MEQG的周長(zhǎng)最小時(shí)，其周

長(zhǎng)的最小值是

3.（2023春?天津?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1,以矩形048c的頂點(diǎn)。為原點(diǎn)，所在的直線為x軸，OC

所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，已知。4=3,0。=2,點(diǎn)E是的中點(diǎn)，在04上取一點(diǎn)￡）,將

（1）直接寫出點(diǎn)從尸的坐標(biāo)；

（2）如圖2,若點(diǎn)P是線段。人上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PHLDB于H點(diǎn)、,設(shè)OP的長(zhǎng)為.1,〃的面積為

S,試用關(guān)于x的代數(shù)式表示S；

（3）如圖3,在x軸、y軸上是否分別存在點(diǎn)M、M使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小？如果存在，求出周長(zhǎng)

的最小值.（直接寫出結(jié)果即可）

4.（2023春?廣東廣州?八年級(jí)廣州四十七中校考期中）已知矩形48C。中，AB=3,BC=4,E為直線BC上

一點(diǎn).

圖1

（2）如圖2,點(diǎn)E在線段8C邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若BD=BE,連接DE,M為DE的中點(diǎn)，連接力M、CM,求證:

AM1CM.

(3)如圖3,在⑵的條件下，P、Q為AD邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PQ*，連接P、B、M、Q,求四邊形PBMQ周

5.(2023春?天津?yàn)I海新?八年級(jí)校考期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線、=一：％+匕分別與工軸、)，

軸交于點(diǎn)A、B,且點(diǎn)A為(4,0),四邊形48CD是正方形.

(1)填空：b=；

(2)求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑶若M為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，N為)，軸上的動(dòng)點(diǎn)，求四邊形MNOC周長(zhǎng)的最小值.

6.(2023春?江蘇無(wú)錫?八年級(jí)江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期中)在矩形力BCD中，AB=6,BC=12,

￡、廠是直線力。上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別從A、。兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)相向而行，速度均為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)

間為，秒(其中0&￡W9).

圖2

(1)如圖1,M、N分別是48、CD中點(diǎn)，當(dāng)四邊形EM/N是矩形時(shí)，求，的值；

(2)若G、”分別從點(diǎn)A、C沿折線A-B—C、。一。一八運(yùn)動(dòng)，與日產(chǎn)相同速度同時(shí)出發(fā).

①如圖2,若四邊形EGAW為菱形，求，的值；

②如圖3,作AC的垂直平分線交4。、BC于點(diǎn)P、Q,若四邊形尸GQ"的面積是矩形4BCD面積的|,貝lj/的值

是;

③如圖4,在異于G、"所在矩形邊上取P、Q,使得PD=BQ,順次連接PGQH,請(qǐng)直接寫出四邊形PGQH周

長(zhǎng)的最小值：.

7.(2023春?福建南平?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，在矩形4BCD中，48=4,"BD=60°,G,H分別是AD,BC

邊上的點(diǎn)，且力G=CH,E,O,尸分別是對(duì)角線BO上的四等分點(diǎn)，順次連接G,E,H,F,G.

(1)求證：四邊形GEHr是平行四邊形：

(2)填空：①當(dāng)月G=_時(shí)，四邊形GEH尸是矩形；

②當(dāng)4G=_時(shí)，四邊形GEHF是菱形；

⑶求四邊形GE，F(xiàn)的周長(zhǎng)的最小值.

【題型4一定兩動(dòng)型】

幾何模型4：一定兩動(dòng)型(點(diǎn)線之間垂線段最短)

在Q4、OB上分別取M、N使得PMMV最小。

1.(2023春?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí),如圖，在平行四邊形/BCD中，對(duì)角線3。平分乙=82ABC=45°,

在對(duì)角線BD上有一動(dòng)點(diǎn)P,邊8C上有一動(dòng)點(diǎn)Q,使PQ+PC的值最小，則這個(gè)最小值為（）

A.4B.4x/2C.4V3D.8

2.（2023春?河南鄭州?八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，ZC=90%AC=BC=4,點(diǎn)D為AB

的中點(diǎn)，點(diǎn)方、F分別在邊AC、BC上，且乙EOF=90。，則下列說(shuō)法：①4E=CF；②△DEF是等腰直角三

角形；③△《￡1尸周長(zhǎng)的最小值是2注+4：④四邊形DEC?的面積是一個(gè)定值.其中正確的序號(hào)是（）

C.②③D.①②③④

3.（2023春?河南鄭州?八年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)方形O48C的頂

點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)3的坐標(biāo)為（8,4）,將該長(zhǎng)方形沿翻折，點(diǎn)力的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為

點(diǎn)D,OD與BC交于點(diǎn)、E.

（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)M是03上任意一點(diǎn)，點(diǎn)"是04上任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M、N,使得AM+MN最小？若存在，求

出其最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4.(2023春?廣東汕頭?八年級(jí)汕頭市潮陽(yáng)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。是坐標(biāo)原

點(diǎn)，四邊形為8co是菱形，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)4的坐標(biāo)為(8,0),4c=60。，點(diǎn)M在邊BC上移動(dòng)(不與

B、。重合)，點(diǎn)N在邊48上移動(dòng)(不與力、B重合)，在移動(dòng)的過(guò)程中保持CM+力N=8.

⑴連接0M,0N,乙MON=°；

(2)求△OMN周長(zhǎng)的最小值及此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)；

⑶在(2)的結(jié)論下，若P為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)O,N,4P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P

的坐標(biāo).

5.(2023春?重慶沙坪壩?八年級(jí)重慶一中校考期中)如圖，在江面直角坐標(biāo)系中，直線48與\軸、y軸分

(1)求直線48的解析式；

(2)如圖I,若E為線段4B上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EFlx軸于點(diǎn)尸，EGly軸于點(diǎn)G,連接FG,尸為FG上一動(dòng)

點(diǎn).當(dāng)線段rG最短時(shí)，求APCE周長(zhǎng)的最小值；

⑶在(2)的條件下，直線FG與直線相交于點(diǎn)Q,將線段CE沿射線FG方向平移12個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后

的點(diǎn)C記為點(diǎn)CT”為直線FG上的一動(dòng)點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)N,使得以U、H、Q、N為頂點(diǎn)的四邊

形是菱形.若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

6.(2023春?重慶沙坪壩?八年級(jí)直慶一中校考階段練習(xí))如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中有長(zhǎng)方形0A8C,點(diǎn)

C(0,4),將長(zhǎng)方形O44C沿AC折疊，使得點(diǎn)4落在點(diǎn)。處，CD邊交工軸于點(diǎn)E,^0AC=30°.

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）如圖2,在直線AC以及），軸上是否分別存在點(diǎn)N,使得的周長(zhǎng)最小？如果存在，求出△EMN

周長(zhǎng)的最小值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）點(diǎn)P為），軸上一動(dòng)點(diǎn)，作直線AP交直線CO于點(diǎn)Q,是否存在點(diǎn)P使得△CPQ為等腰三角形？如果存

7.（2023春?浙江湖州?八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在菱形力BCD中，對(duì)角線4C與BD相交于點(diǎn)。=60。,

邊W8的長(zhǎng)為8,點(diǎn)E,尸分別是邊CD,8c上的動(dòng)點(diǎn)，則aOEr周長(zhǎng)的最小值為.

8.（2023春?全國(guó)?八年級(jí)期末）如圖，菱形A8C。中，A8=12，Z/MD=60°,七為線段4c的中點(diǎn).若點(diǎn)

。是線段人4上的一動(dòng)點(diǎn)，Q為線段4Q上一動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值是.

D

AC

E

B

專題18?7四邊形中的四大最值模型

【人教版】

考卷信息：

本套訓(xùn)練卷共30題,題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度,可加強(qiáng)學(xué)生對(duì)四邊形中的四大最住模型的理解!

【題型1兩定一動(dòng)型】

幾何模型1：兩定一動(dòng)型（兩點(diǎn)之間線段最短）

1.（2023春?山東泰安?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，菱形力BCD的邊長(zhǎng)為4,且4ZM8=60。，E是BC的中點(diǎn)，P為

BD上一點(diǎn)且APCE的周長(zhǎng)最小，則ZiPCE的周長(zhǎng)的最小值為（）

A.2夕+2B.V7+1C.2V3+2D.277+1

【答案】A

（分析］由菱形的性質(zhì)可得點(diǎn)4與點(diǎn)C關(guān)于8。對(duì)稱,連接4E交3。于點(diǎn)P,連接PC,則^PCE的周長(zhǎng)=PC+PE+

CE=AE+CE,此時(shí)△PCE的周長(zhǎng)最小，過(guò)點(diǎn)E作EG14B交48的延長(zhǎng)線于G,由菱形的性質(zhì)和/D48=60°

可.得/ERG=60。，從而可得=1.EG=后最后由勾股定理計(jì)算得出4E=2e,即可得出答案.

【詳解】解：?.?四邊形力BCD是菱形，

???點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于BD對(duì)稱，

如圖，連接4E交于點(diǎn)P,連接PC,

B

則PE+PC=PE+PA=AE,

，△PCE的周長(zhǎng)=PC+PE+CE=AE+CE,此時(shí)△PCE的周長(zhǎng)最小，

???E是BC的中點(diǎn)，菱形/BCD的邊長(zhǎng)為4,

:.BE=CE=2,

過(guò)點(diǎn)E作EG148交88的延長(zhǎng)線于G,

?.?四邊形48co為菱形，邊長(zhǎng)為4,

.-.AD||BC,AB=4,

乙EBG=乙BAD=60°,

EG1AB,

???/EGB=90°,

???Z.EBG+乙BEG=90。，

Z.BEG=30°,

BG=-BE=1,EG=y]BE2-BG2=V22-l2=V3,

2

:.AG=AB+BG=4+1=5,

...AE=\IAG2+EG2=卜+（bp=2A/7,

PCE的周長(zhǎng)的最小值=AE+CE=2^7+2,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握

菱形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，求出入E的長(zhǎng)，

是解題的關(guān)鍵.

2.（2023春?山東濱州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，菱形A5CQ的邊長(zhǎng)為4,ND48=60。，E為8c的中點(diǎn)，在

對(duì)角線AC上存在一點(diǎn)P,使△P8E的周長(zhǎng)最小，則△尸8E的周長(zhǎng)的最小值為（）

D

A.2V3B.4C.2V3+2D.4+2V3

【答案】C

【分析】如下圖，△BEP的周長(zhǎng)=BE+BP+EP,其中BE是定值，只需要BP+PE為最小值即可，過(guò)點(diǎn)E作AC

的對(duì)稱點(diǎn)F,連接FB,則FB就是BP+PE的最小值.

【詳解】如下圖，過(guò)點(diǎn)E作AC的對(duì)?稱點(diǎn)F,連接FB,FE,過(guò)點(diǎn)B作FE的垂線，交FE的延長(zhǎng)線下點(diǎn)G

???菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)

ABE=2

VZDAB=60°,AZFCE=60°

，：點(diǎn)、F是點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)

:.根據(jù)菱形的對(duì)稱性可知，點(diǎn)F在DC的中點(diǎn)上

則CF=CE=2

.)△CFE是等邊三角形，.??NFEC=60。，EF=2

???ZBEG=60°

???在RtABEG中，EG=1,BG=V3

AFG=1+2=3

???在RQBFG中，BF=J32+(V3)2=2V3

根據(jù)分析可知，BF=PB+PE

AAPBE的周長(zhǎng)=275+2

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)和利用對(duì)稱性求最值問(wèn)題，解題關(guān)鍵是利用對(duì)稱性，將BP+PE的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為FB

的長(zhǎng).

3.(2023春?湖南湘潭?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，長(zhǎng)方形。力5C,是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的長(zhǎng)方形紙片,

。為原點(diǎn)，點(diǎn)4在4軸上，點(diǎn)C在y軸上，OA=10,OC=6,在AB上取一點(diǎn)M使得△C8M沿CM翻折后，點(diǎn)

8落在x軸上，記作方點(diǎn)，

⑴求M點(diǎn)的坐標(biāo)：

(2)求折痕CM所在直線的表達(dá)式；

(3)求折痕CM上是否存在一點(diǎn)P,使PO+P9最小？若存在，請(qǐng)求出最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)出理由.

【答案】⑴夕(8,0)；

(2)y=-1x+6

(3)存在，最小值是2回

【分析】(1)在股△B'OC中,求出OB'即可得答案;

(2)在心△力B'M中，求出AM可得M坐標(biāo)，從而可以求CM所在直線的解析式；

(3)連接OB,OB與CM交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P,連接PB',根據(jù)△CBM沿CM翻折后，點(diǎn)B落在8點(diǎn)，知PO+PB'

=P0+PB>0B,,用股股定理即可求出PO+P9的最小值為2后.

【詳解】(1)解：???四邊形O4BC是長(zhǎng)方形，。4=10,

.??BC=Q4=10,

「△CBM沿CM翻折，

???B'C=4C=10,

在心△8'。。中，B，C=10,OC=6,

：.B'O=>/B,C2-0C2=8,

IB'<8,0),

故答案為：(8,0)；

(2)解：設(shè)則4M=43-AM=6-x,

???04=10,8'。=8,

.??B'A=2,

在心△AB'M中，B,A2+AM2=B'M2,

/.22+x2=(6-x)2,解得

:,M

(10,-3),

設(shè)CM所在直線的解析式為尸質(zhì)+力，將C(0,6)、M(10,I)代入得：

'6=b1

勺「iok+”解得憶=工，b=5,

(3

???CM所在直線的解析式為y=-也+6；

(3)解：折痕CM上存在一點(diǎn)P,使PO+尸夕最小，連接OB,OB與CM交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P,連接P8,如

???&CBM沿CM翻折后，點(diǎn)8落在夕點(diǎn),

:?PB=PB',

:?PO\PB'=P0IPB>0B,

當(dāng)。、P、B共線時(shí),PO+PB，最小,

'：OB=y/OA2+AB2=V102+62=2734,

，PO+PB'的最小值為2件.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、長(zhǎng)方形中的折疊、最短距離等知識(shí)，掌握折疊的

性質(zhì)以及熟練運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

4.(2023辭河北邯鄲?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)y=3%+1的圖

象與x軸，y軸分別交于F，B兩點(diǎn)、,以A8為邊在第二象限內(nèi)作正方形ABCO.

(1)求正方形ABCD的面積；

⑵求點(diǎn)C和點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)在x軸上是否存在點(diǎn)M,使的周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴5

(2)C(-1,3),0(-3,2)

(3)M(-1,0),理由見詳解

【分析】(1)由一次函數(shù)y=T%+l，可求出A和3點(diǎn)坐標(biāo)，即得出和的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出

AB的長(zhǎng)，最后由正方形面積公式計(jì)算即可；

(2)作CEly軸，DF1x?|!|.根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合所作輔助線易證△8CE三△D4F三△480(AAS),即得

出BE=D尸=。4=2,CE=AF=OB=1,從而可求出。E=3,OF=3,即得出C、。兩點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)找出點(diǎn)8關(guān)于％軸的對(duì)稱點(diǎn)夕，連接夕D,與工軸交于點(diǎn)M,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知此時(shí)△BM。周長(zhǎng)最小.由

8(0,1),得出夕(0,-1),利用待定系數(shù)法可求出直線夕。的解析式為y=-x—l,從而可求出M點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】(1)對(duì)于直線y=：%+1,令％=0,得到y(tǒng)=l；令y=0,得到工二一2,

?X(-2,0),8(0,1),

???在RtAAOB中，0A=2,OB=1,

，根據(jù)勾股定理得：AB=VFTP=V5,

.??正方形力8。。面積為5；

(2)如圖，作CEly軸，CF1%軸，

工乙CEB=Z.AFD=Z.AOB=90°.

???四邊形力BCD是正方形，

:,BC=AB=AD,"AB=^ABC=90°,

：,LDAFZ.BAO=90°,Z.ABO4-￡.CBE=90°,

*：LDAF+Z.ADF=90°,Z.BAO+Z.ABO=90°,

：.LBAO=LADF=乙CBE,

：.LBCEDAFSAA80(AAS),

：.BE=DF=OA=2,CE=AF=OB=1,

：.OE=OB+BE=2+1=3,OF=OA+AF=2+1=3,

AC(-1,3),0(32)；

(3)如圖，找出點(diǎn)8關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)夕，連接8'D,與%軸交于點(diǎn)M,則此時(shí)ABM。周長(zhǎng)最小.

1),

???8'(0,-1)

設(shè)直線的解析式為y=kx+b(k*0),

(b=-1

把夕與D坐標(biāo)代入得:l-3k+b=2

(k=-1

解得:U=-1

，直線8力的解析式為y=-%-1.

對(duì)于y=-x—l,令y=0,得到工=一1,

0).

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形，三角形全等的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)的應(yīng)用以及

軸對(duì)稱變換等知識(shí).正確的作出輔助線并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.

5.(2023春?山東濰坊?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖①，四邊形/1BCO是邊長(zhǎng)為4的正方形，M是E方形W角線

50(不含從。兩個(gè)端點(diǎn))上任意一點(diǎn)，將繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)6()。得到△BEN,連接以、MN：。是

A。的中點(diǎn)，連接

(1)AM+PM的最小值等于

(2)求證：△BMW是等邊三角形;

(3)如圖②，以8為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，若點(diǎn)M使得AM+8M+CM的值最小，求〃點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】(1)2H；(2)見解析;

【分析】(1)如圖①中，連接尸C.利用勾股定理求出尸C,再證明AM=MC,ffiHjAM+PM=P^+CM>PC,

由此可得結(jié)論.

(2)根據(jù)有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形證明即可.

(3)首先說(shuō)明E,N,M,C共線時(shí)，AM+8M+CM的值最小，此時(shí)點(diǎn)M在EC與的交點(diǎn)處，求出直線

EC,8。的解析式，構(gòu)建方程組可得結(jié)論.

【詳解】解：(1)如圖①中，連接PC.

圖①

???四邊形力8CC是正方形，

AB=BC=AD=CD=4,乙CDP=90°,/.ABM=乙CBM=45°,

???尸是40的中點(diǎn)，

:.PA=PD=2,

APC=VDP2+CD2=V22+42=2Vs,

vBA=BC,乙ABM=^CBM,BM=BM,

：?AABM會(huì)/CBM(SAS),

AM=CM,

AM+PM=CM+PM,

???PM+CM3PC,

AM+PM>2底

:，AM+PM的最小值為2遍.

故答案為：2遍.

(2)證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知8M=8N,

.:乙MBN=60°,

.?.48MN是等邊三角形.

(3)解：如圖②中,過(guò)點(diǎn)E作EPlx軸于P,連接EC.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AM=EN,

.Y8MN是等邊三角形,

??.BM=MN,

:.AM+BM+CM=EN+NM+MC,

???EN+NM+MC>EC,

??.E,N,M,C共線時(shí)，AM+BA/+CM的值最小，此時(shí)點(diǎn)M在EC與8D的交點(diǎn)處，

AB=BE=4,Z-ABE=60°,

???/EBP=90°-60。=30°,

EP=-BE=2,PB=V3PF=2聒,

2

￡(-2V3,2),

"(4,0),0(4,4),

設(shè)直線EC解析式為y=kx+A,則有］媼

解得尸b-3

U=8-4V3

y=(V3-2)x+8-473,

同法可得直線8。的解析式為y=x,

6-2、阿

X=---

_6-2版'

(y=-3-

“-266-26、

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，i次函

數(shù)的應(yīng)用，最短問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建一次函數(shù)，構(gòu)建方程

組確定交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中考?jí)狠S題.

6.(2023春?全國(guó)?八年級(jí)期中)如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD(不

含B點(diǎn))上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到BN,連接EN、AM、CM.

(1)求證：△AMB^AENB；

(2)①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+CM的值最小；

②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，并說(shuō)明理由；

(3)當(dāng)AM+BM+CM的最小值為2V5+2時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).

【答案】(1)見解析；(2)①當(dāng)M點(diǎn)落在30的中點(diǎn)時(shí)，AMiCM的值最小；②當(dāng)“點(diǎn)位于8。與CE的

交點(diǎn)處時(shí)，AM+8M+CM的值最小，理由見解析；(3)2企.

【分析】(1)由題意得MB=NB,ZABN=15°,所以NEBN=45,容易證出△AMB竺Z\ENB；

(2)①根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，可得，當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，AM+CM的值最小；

②根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短“，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，即筆于EC的長(zhǎng);

(3)作輔助線，過(guò)E點(diǎn)作EF_LBC交CB的延長(zhǎng)線于F,由題意求出NEBF=30。，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x,在

RIAEFC中，根據(jù)勾股定理求得正方形的邊長(zhǎng)為2打.

【詳解】(1)證明：:△ABE是等邊三角形，

:?BA=BE,ZABE=6()0.

,/NMBN=6()0,

:,/MBN-NABN=NABE-/ABN,

即NM84=NM?E.

在4AMB和^ENB中

AB=BE

匕MBA=乙NBE,

BM=BN

工&AMB”AENB(SAS).

(2)解：①由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)M點(diǎn)落在的中點(diǎn)時(shí)，A、M、C三點(diǎn)共線,4M+CM的值最小.

②如圖，連接CE當(dāng)M點(diǎn)位于與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小.

圖1

理由如下：連接MN,由(1)知，&AMB會(huì)4ENB,

；?AM=EN,

?：NMBN=6()°,MB=NB,

是等邊三角形.

:,BM=MN.

，AM+BM+CM=EN+MN+CM,

根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知，若E、N、M、C在同一條直線上時(shí)，EN+MN+CM取得最小值，最小值為

EC.

（3）解：過(guò)E點(diǎn)作8c交。的延長(zhǎng)線于凡

AD

FRC

，NEBF=NABF-NABE=90。-60°=30°.

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為X,則E尸=；,"=卜—（1）2哼

在RtAEFC中，

???￡產(chǎn)+尸。2=七02,

，（滬?（梟+X）2=（2V3+2）2.

解得刈=2&，X2=-2V2（舍去負(fù)值）.

???正方形的邊長(zhǎng)為2企.

【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的綜合期：熟練掌握正方形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；會(huì)利

用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系和勾股定理進(jìn)行計(jì)算；會(huì)運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短解決有關(guān)線段的和的最

小值問(wèn)題，解本題的關(guān)鍵是找出取最小值時(shí)M的位置.

7.（2023春?廣東深圳?八年級(jí)校聯(lián)考期中）長(zhǎng)方形紙片OWC中，48=10“〃，8。=6皿，把這張長(zhǎng)方形紙片

OABC如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中，在邊OA上取一點(diǎn)E,將AA8E沿8E折疊，使點(diǎn)A恰好落在OC邊

上的點(diǎn)尸處.

（1）求點(diǎn)E、尸的坐標(biāo)；

（2）在A8上找一點(diǎn)P,使PE+P尸最小，求點(diǎn)尸坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)Q（x,y）是直線2/上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)△OC。的面積為5,求5與x的函數(shù)關(guān)系

式.

70.14C/、個(gè)、

-x+—(x>,2)

【答案】⑴點(diǎn)￡的坐標(biāo)為(01),點(diǎn)”的坐標(biāo)為(20):(2)點(diǎn)。的坐標(biāo)為([,6)；(3)S二

OJ

【分析】(1)根據(jù)勾股定理求出CF,得到OF,求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理得到點(diǎn)E的坐標(biāo);

(2)根據(jù)軸對(duì)稱-最短路徑問(wèn)題確定點(diǎn)P,根據(jù)待定系數(shù)法求出直線FE的解析式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求出

點(diǎn)P坐標(biāo):

(3)分Q在x軸上方和Q在x軸下方兩種情況，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算.

【詳解】(1)設(shè)。E=x,則AE=6-K,由折疊知84=B產(chǎn)=10,EF=AE=6-x,

;四邊形O4BC是長(zhǎng)方形，，ZSCO=90°,

，CFZBF?一BC2=8,工OF=OC-CF=10-8=2,

???點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-2,0),

在RAEO廠中，EF2=OF2+OE2,即(6-x)2=2W,解得，尸“

???點(diǎn)七的坐標(biāo)為(0,1)，

工點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,?),點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-2,0)；

E,連結(jié)/E,交A8于P,

???點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,,."￡=64=丹,

JAJ

;點(diǎn)E與點(diǎn)￡'關(guān)于A8對(duì)稱，."9=4￡=又,

???。￡>￥+6二手，點(diǎn)￡的坐標(biāo)為（0,胃），

設(shè)直線FF的解析式為產(chǎn)近+6

,_28

則b=^，解得，討，Y，

{-2k+8=033

則宜線核的解析式為產(chǎn)+W，

當(dāng)產(chǎn)6時(shí)，y%+^=6,解得，A=

工點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（t，6）,

（3）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為"yA+y）,

當(dāng)。在x軸上方時(shí)，即Q-2時(shí)，S^xlOx噂什爭(zhēng)丹行券,

當(dāng)。在x軸下方時(shí)，即xV-2時(shí)，S=-x1Ox（±x-竺）=--x-—,

23333

畀+詈…2）

綜上所述，s=

后——2）

【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱-最短路徑問(wèn)題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，正確作出使

PE-PF最小時(shí)點(diǎn)P的位置，靈活運(yùn)用待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵.

8.（2023?四川廣安?八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,M、N分別為AB、AD的中點(diǎn),

在對(duì)角線BD上找一點(diǎn)P,使^MNP的周長(zhǎng)最小，則此時(shí)PM+PN-

【分析】根據(jù)題得出要使△MNP的周長(zhǎng)最小，只要MP+NP最小即可，過(guò)N作NG_LBD交BD于G,交CD

于F,連接MF交BD于P,根據(jù)正方形性質(zhì)求出NG=DG=FG,得出N、F關(guān)于BD對(duì)稱，求出

MP+NP=MP+PF=MF,得出此時(shí)的PN+PM的值最小，得出四邊形AMFD是平行四邊形，求出MF=AD=2,

即可求出MP+NP的值.

【詳解】VDN=AM=AN=1,ZA=90°,

，由勾股定理求出MN=V2,

即MN值一定，

，要使△MNP的周長(zhǎng)最小，只要MP+NP最小即可，

過(guò)N作NG_LBD交BD于G,交CD于F,連接MF交BD于P,

???ZNDB=ZFDB2=-ZADC=45°,

/.ZDNG=ZDFG=90°-45°=45°,

JZDNG=ZNDG,ZDFG=ZFDG,

Z.NG=DG=FG,

即N、F關(guān)于BD對(duì)稱，

???PN;PF,

.??MP+NP=MP+PF=MF,

即此時(shí)的PN+PM的值最小，

VBD±NF,NG=FG,

/.DN=DF=1=AM,

???四邊形ABCD是正方形，

???AM〃DF,

???四邊形AMFD是平行四邊形，

AMF=AD=2,

即MP+NP=2,

故答案為2.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形性質(zhì)和軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，題目綜合性比較強(qiáng)，但比較典型，是一道比較好的

題目，有一定的難度.

【題型2兩動(dòng)一定型】

幾何模型2：兩動(dòng)一定型（兩點(diǎn)之間線段最短）

在。4、OB卜.分別取點(diǎn)"、N使得三角形PMM的周長(zhǎng)最小

I.（2023春?浙江杭州?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD中,ZBAD=U0°,ZB=ZD=90°,在BC、

CD上分別找一點(diǎn)M、N,使AAMN周長(zhǎng)最小，此時(shí)NMAN的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.50°D.45°

【答案】B

【分析】根據(jù)要使AAMN的周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC

和ED的對(duì)稱點(diǎn)A，，A",連接A，A",交BC于M,交CD于N,則A，A"即為△AMN的周長(zhǎng)最小值.

【詳解】作DA延長(zhǎng)線AH,即可得出NA，+NA”=180o」l0o=70。，

進(jìn)而得出ZMAN=1100-70o=40°.

故選:B

考點(diǎn)：軸對(duì)稱的性質(zhì)

2.（2023春?廣東廣州?八年級(jí)廣州市第四H■?一中學(xué)統(tǒng)考期中）如圖，菱形4?。。的邊長(zhǎng)為2cm,乙4=120。,

點(diǎn)E是8C邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)侑線8。上的動(dòng)點(diǎn)，若使PC+PE的值最小，則這個(gè)最小值為（）

A.5B.2C.1D.V3

【答案】D

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，可知點(diǎn)人和點(diǎn)C關(guān)于8。對(duì)稱，再根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，將PE+PC轉(zhuǎn)化為P4+PE,

然后根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)4E_LBC時(shí)，PE+PC取得最小值.

【詳解】解：連接ACP4AE,如圖所示，

?.?四邊形力8co是菱形，

二點(diǎn)A和點(diǎn)C關(guān)于BD對(duì)稱，

???PEPC=PE+PA,

?.?當(dāng)AE1BC時(shí)，點(diǎn)4到BC的距離最短，

.?.當(dāng)AE1BC時(shí),此時(shí)力E于BD的交點(diǎn)為尸時(shí),PE+PA=AE,PC+PE的值最小,

?.?菱形/BCD的邊長(zhǎng)為2cm,乙4=120°,

:.LABE=60°,AB=2cm?

:.LBAE=30°,

:.BE=^AB=1(cm),

???AE=y/AB2-BE2=V22-I2=?(cm),

即PC+PE的最小值是

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、對(duì)稱軸一最短路徑問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是找出PC+PE的值最小，即點(diǎn)A

到線段BC的距離，其中垂線段垂定是點(diǎn)E的所在位置，垂線段與8。的交點(diǎn)是點(diǎn)尸的所在位置.

3.(2023春?甘肅蘭州?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖正方形4BCD的面積為24,△48E是等邊三角形，點(diǎn)E在正

方形HBCD內(nèi)，在對(duì)角線4c上有一動(dòng)點(diǎn)P,要使PD+PE最小，則這個(gè)最小值為（）

A.V3B.2V3C.2V6D.瓜

【答案】C

【分析】由于點(diǎn)B與。關(guān)于4。對(duì)稱，所以連接BE,馬力。的交點(diǎn)即為尸點(diǎn).此時(shí)PO+PE=BE最小，而8E是

等邊A/1BE的邊，BE=AB,由正方形48G9的面積為16,可求出48的長(zhǎng)，從而得出結(jié)果.

【詳解】解?：設(shè)8￡與4C交于點(diǎn)P,連接8D.

???點(diǎn)8與。關(guān)于相對(duì)稱，

:.P'D=P'B,

AP'D+P'E=P'B+P'E=BE最小.

?.?正方形力BCD的面積為24,

AB=2VS,

又?.△ABE是等邊三角形，

:.BE=AB=2V6.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)和軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，熟知“兩點(diǎn)之間，線段最短”是解答此題的關(guān)

鍵.

4.（2023春?浙江寧波?八年級(jí)寧波市第十五中學(xué)校考期中）如圖，矩形44CO中，力8=4,BC=3,若在

AC.AB上各取一點(diǎn)M,N,使8M+MN的值最小，求這個(gè)最小值（）

DC

A.2V3B.冷C.2710D.

【答案】D

【分析】作點(diǎn)4關(guān)于4c的對(duì)稱點(diǎn)〃，連接交AC于O,連接A〃，HM,連接"N,由對(duì)稱性可得A/3

=AH=4,HM=BM,BO=HO,可得MN+BM=HM+MN,則當(dāng)點(diǎn)H,點(diǎn)例，點(diǎn)N共線且HALL/W時(shí)，根

據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得MN+8M的最小值為在RSAO3中，利用勾股定理可求AO的長(zhǎng)，利用等面

積法即可求解.

【詳解】解：如圖，作點(diǎn)。關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)〃，連接〃8,交AC于O,連接A〃，UM,連接〃N,

：,AB=AH=4,HM=BM,BO=HO,

：?MN+BM=HM+MN,

???當(dāng)點(diǎn)”，點(diǎn)M,點(diǎn)N共線且〃/V_L/W時(shí)，MN+4M的最小值為HM

：45=4,8C=3,

：,AC=>JAB2+BC2=V42+32=5,

：金A13C=^xABxBC=^ACxBOf

??.8O=經(jīng)絡(luò)

55

在RtMOB中，

AO=>/AB2-BO2=J42-=蔡，

■:HN工AB,

.-.5zABH=》ABxHN三BHxAO,

2416

8Hx/O_石x虧_96

UN=-AB4=25

???M/V+BM的最小值為二

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，矩形的性質(zhì)，三角形的面積公式，勾股定理等知識(shí)，利用面積

法求出B0是解題的關(guān)鍵.

5.（2023春?廣東湛江?八年級(jí)湛江市第二中學(xué)校考期中）如圖1,矩形。力BC擺放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)

A在工軸上，點(diǎn)C在y軸上，OA=3,UC=2,過(guò)點(diǎn)A的直線交矩形。力8C的邊8C于點(diǎn)，，且點(diǎn)〃不與點(diǎn)8、（;重

（1）若△P4B為等腰直角三角形.

①求直線4P的函數(shù)解析式