函數(shù)單調(diào)性教案?一、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能目標(biāo)理解函數(shù)單調(diào)性的概念，能根據(jù)函數(shù)圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性。會(huì)用定義證明一些簡單函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性。能利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值、比較函數(shù)值大小等。2.過程與方法目標(biāo)通過觀察函數(shù)圖象，抽象出函數(shù)單調(diào)性的概念，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。在利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的過程中，讓學(xué)生體會(huì)邏輯推理的嚴(yán)密性，提高學(xué)生的推理論證能力。通過對函數(shù)單調(diào)性的研究，使學(xué)生體會(huì)從特殊到一般，再從一般到特殊的認(rèn)知規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)通過主動(dòng)探究、合作交流，感受探索的樂趣與成功的喜悅，體會(huì)數(shù)學(xué)的理性與嚴(yán)謹(jǐn)。培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)新意識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

二、教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)函數(shù)單調(diào)性的概念和判斷函數(shù)單調(diào)性的方法。用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟。2.教學(xué)難點(diǎn)對函數(shù)單調(diào)性概念的理解，特別是"任意"二字的理解。用定義證明函數(shù)單調(diào)性時(shí)，如何對差式進(jìn)行合理變形。

三、教學(xué)方法講授法、討論法、探究法相結(jié)合，通過引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、歸納、推理，讓學(xué)生自主構(gòu)建函數(shù)單調(diào)性的知識(shí)體系。

四、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課1.展示一些實(shí)際生活中的變化現(xiàn)象，如氣溫隨時(shí)間的變化、股票價(jià)格隨時(shí)間的變化等，引導(dǎo)學(xué)生觀察這些變化過程中變量之間的關(guān)系。2.提出問題：在這些變化過程中，變量是如何變化的？有沒有什么規(guī)律？3.引出函數(shù)單調(diào)性的概念，指出研究函數(shù)單調(diào)性對于了解函數(shù)的變化規(guī)律和解決實(shí)際問題具有重要意義。

（二）觀察圖象，形成概念1.給出幾個(gè)具體函數(shù)的圖象，如\(y=2x+1\)，\(y=x^2+2x\)，\(y=\frac{1}{x}\)等，讓學(xué)生觀察圖象的上升或下降趨勢。2.引導(dǎo)學(xué)生描述圖象在哪些區(qū)間上是上升的，哪些區(qū)間上是下降的，并嘗試用自己的語言概括出函數(shù)單調(diào)性的特征。3.教師總結(jié)并給出函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義：一般地，設(shè)函數(shù)\(f(x)\)的定義域?yàn)閈(I\)：如果對于定義域\(I\)內(nèi)某個(gè)區(qū)間\(D\)上的任意兩個(gè)自變量的值\(x_1\)，\(x_2\)，當(dāng)\(x_1<x_2\)時(shí)，都有\(zhòng)(f(x_1)<f(x_2)\)，那么就說函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(D\)上是增函數(shù)；如果對于定義域\(I\)內(nèi)某個(gè)區(qū)間\(D\)上的任意兩個(gè)自變量的值\(x_1\)，\(x_2\)，當(dāng)\(x_1<x_2\)時(shí)，都有\(zhòng)(f(x_1)>f(x_2)\)，那么就說函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(D\)上是減函數(shù)。強(qiáng)調(diào)定義中的關(guān)鍵詞"任意"，讓學(xué)生理解其重要性。

（三）深入理解，辨析概念1.引導(dǎo)學(xué)生思考：函數(shù)的單調(diào)性是與區(qū)間緊密相關(guān)的，一個(gè)函數(shù)在不同的區(qū)間上可能有不同的單調(diào)性，那么如何描述函數(shù)的單調(diào)區(qū)間呢？函數(shù)單調(diào)性的定義中，\(x_1\)，\(x_2\)是區(qū)間\(D\)上的任意兩個(gè)自變量的值，那么如果只取特定的兩個(gè)值比較大小，能否判斷函數(shù)的單調(diào)性呢？2.通過具體例子進(jìn)行辨析：例1：已知函數(shù)\(f(x)=x^2\)，判斷\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上的單調(diào)性。解：設(shè)\(x_1\)，\(x_2\)是\((0,+\infty)\)上的任意兩個(gè)自變量的值，且\(x_1<x_2\)。則\(f(x_1)f(x_2)=x_1^2x_2^2=(x_1x_2)(x_1+x_2)\)。因?yàn)閈(0<x_1<x_2\)，所以\(x_1x_2<0\)，\(x_1+x_2>0\)，那么\(f(x_1)f(x_2)=(x_1x_2)(x_1+x_2)<0\)，即\(f(x_1)<f(x_2)\)。所以函數(shù)\(f(x)=x^2\)在\((0,+\infty)\)上是增函數(shù)。例2：已知函數(shù)\(f(x)=x^2\)，判斷\(f(x)\)在\((\infty,0)\)上的單調(diào)性。解：設(shè)\(x_1\)，\(x_2\)是\((\infty,0)\)上的任意兩個(gè)自變量的值，且\(x_1<x_2\)。則\(f(x_1)f(x_2)=x_1^2x_2^2=(x_1x_2)(x_1+x_2)\)。因?yàn)閈(x_1<x_2<0\)，所以\(x_1x_2<0\)，\(x_1+x_2<0\)，那么\(f(x_1)f(x_2)=(x_1x_2)(x_1+x_2)>0\)，即\(f(x_1)>f(x_2)\)。所以函數(shù)\(f(x)=x^2\)在\((\infty,0)\)上是減函數(shù)。例3：已知函數(shù)\(f(x)=x^2\)，\(f(2)=4\)，\(f(1)=1\)，因?yàn)閈(f(2)>f(1)\)，能否說\(f(x)\)在\(R\)上是減函數(shù)？通過這個(gè)例子讓學(xué)生明白不能僅根據(jù)兩個(gè)特殊值來判斷函數(shù)的單調(diào)性，必須依據(jù)定義中"任意"兩個(gè)自變量的值來判斷。

（四）應(yīng)用舉例，鞏固概念1.根據(jù)圖象判斷單調(diào)性例4：根據(jù)函數(shù)\(y=f(x)\)的圖象（如圖所示），寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指出在每個(gè)單調(diào)區(qū)間上函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)。解：函數(shù)\(y=f(x)\)的單調(diào)區(qū)間有\(zhòng)([3,1)\)，\([1,1)\)，\([1,3]\)。在區(qū)間\([3,1)\)上，函數(shù)是減函數(shù)；在區(qū)間\([1,1)\)上，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間\([1,3]\)上，函數(shù)是減函數(shù)。2.用定義證明單調(diào)性例5：證明函數(shù)\(f(x)=3x+2\)在\(R\)上是增函數(shù)。解：設(shè)\(x_1\)，\(x_2\)是\(R\)上的任意兩個(gè)自變量的值，且\(x_1<x_2\)。則\(f(x_1)f(x_2)=(3x_1+2)(3x_2+2)=3(x_1x_2)\)。因?yàn)閈(x_1<x_2\)，所以\(x_1x_2<0\)，那么\(3(x_1x_2)<0\)，即\(f(x_1)<f(x_2)\)。所以函數(shù)\(f(x)=3x+2\)在\(R\)上是增函數(shù)。例6：證明函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上是減函數(shù)。解：設(shè)\(x_1\)，\(x_2\)是\((0,+\infty)\)上的任意兩個(gè)自變量的值，且\(x_1<x_2\)。則\(f(x_1)f(x_2)=\frac{1}{x_1}\frac{1}{x_2}=\frac{x_2x_1}{x_1x_2}\)。因?yàn)閈(0<x_1<x_2\)，所以\(x_2x_1>0\)，\(x_1x_2>0\)，那么\(\frac{x_2x_1}{x_1x_2}>0\)，即\(f(x_1)>f(x_2)\)。所以函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上是減函數(shù)。在證明過程中，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：取值：設(shè)\(x_1\)，\(x_2\)是給定區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值，且\(x_1<x_2\)。作差：計(jì)算\(f(x_1)f(x_2)\)。變形：對\(f(x_1)f(x_2)\)進(jìn)行合理變形，通常是因式分解、配方等，以便判斷其正負(fù)。定號(hào)：根據(jù)\(x_1\)，\(x_2\)的取值范圍，確定\(f(x_1)f(x_2)\)的正負(fù)。下結(jié)論：根據(jù)定義得出函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性。3.利用單調(diào)性求最值、比較大小例7：已知函數(shù)\(f(x)\)在\([2,6]\)上是增函數(shù)，且\(f(2)=1\)，\(f(6)=5\)，求函數(shù)\(f(x)\)在\([2,6]\)上的最大值和最小值。解：因?yàn)楹瘮?shù)\(f(x)\)在\([2,6]\)上是增函數(shù)，所以當(dāng)\(x=2\)時(shí)，\(f(x)\)取得最小值\(f(2)=1\)；當(dāng)\(x=6\)時(shí)，\(f(x)\)取得最大值\(f(6)=5\)。例8：已知函數(shù)\(f(x)\)在\((\infty,+\infty)\)上是增函數(shù)，\(a\)，\(b\inR\)，且\(a+b>0\)，比較\(f(a)+f(b)\)與\(f(a)+f(b)\)的大小。解：因?yàn)閈(a+b>0\)，所以\(a>b\)，\(b>a\)。又因?yàn)楹瘮?shù)\(f(x)\)在\((\infty,+\infty)\)上是增函數(shù)，所以\(f(a)>f(b)\)，\(f(b)>f(a)\)。兩式相加得\(f(a)+f(b)>f(a)+f(b)\)。

（五）課堂小結(jié)1.引導(dǎo)學(xué)生回顧函數(shù)單調(diào)性的定義、判斷方法、證明步驟以及應(yīng)用。2.強(qiáng)調(diào)定義中"任意"二字的重要性，以及用定義證明函數(shù)單調(diào)性時(shí)的關(guān)鍵步驟作差變形。3.總結(jié)函數(shù)單調(diào)性在數(shù)學(xué)和實(shí)際生活中的應(yīng)用，鼓勵(lì)學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)和生活中繼續(xù)關(guān)注函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)問題。

（六）布置作業(yè)1.書面作業(yè)教材課后練習(xí)題第1、2、3題。已知函數(shù)\(f(x)=x^22x+3\)，判斷函數(shù)\(f(x)\)在\((\infty,1)\)上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論。2.拓展作業(yè)查閱資料，了解函數(shù)單調(diào)性在其他學(xué)科或?qū)嶋H生活中的應(yīng)用，并撰寫一篇簡短的報(bào)告。思考：若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(D\)上是增函數(shù)，\(g(x)\)在區(qū)間\(D\)上也是增函數(shù)，那么函數(shù)\(F(x)=f(x)+g(x)\)在區(qū)間\(D\)上的單調(diào)性如何？并嘗試證明你的結(jié)論。

五、教學(xué)反思通過本節(jié)課的教學(xué)，學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性的概念有了較為深入的理解，掌握了判斷函數(shù)單調(diào)性的方法和用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步