工程問題專項練習題?一、工程問題基本概念工程問題是研究工作總量、工作效率和工作時間三者之間關系的一類應用題。通常把工作總量看作單位"1"，工作效率用單位時間內完成工作總量的幾分之一來表示。基本數量關系為：工作總量=工作效率×工作時間，工作效率=工作總量÷工作時間，工作時間=工作總量÷工作效率。

二、工程問題常見類型及解題方法

（一）單人完成工程問題1.例題：一項工程，甲單獨做需要10天完成，乙單獨做需要15天完成。若甲先做5天，剩下的由乙單獨完成，乙還需要幾天？2.分析：首先明確甲的工作效率為\(1\div10=\frac{1}{10}\)，乙的工作效率為\(1\div15=\frac{1}{15}\)。甲先做5天，完成的工作量為\(\frac{1}{10}\times5=\frac{1}{2}\)。那么剩下的工作量為\(1\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)。乙完成剩下工作量所需時間為\(\frac{1}{2}\div\frac{1}{15}=7.5\)天。3.解題過程：甲的工作效率：\(1\div10=\frac{1}{10}\)乙的工作效率：\(1\div15=\frac{1}{15}\)甲先做5天完成的工作量：\(\frac{1}{10}\times5=\frac{1}{2}\)剩下的工作量：\(1\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)乙完成剩下工作量所需時間：\(\frac{1}{2}\div\frac{1}{15}=7.5\)（天）答：乙還需要7.5天。

（二）兩人合作完成工程問題1.例題：一項工程，甲、乙合作需要8天完成，甲單獨做需要12天完成。乙單獨做需要幾天完成？2.分析：設乙單獨做需要\(x\)天完成。甲、乙合作的工作效率為\(\frac{1}{8}\)，甲的工作效率為\(\frac{1}{12}\)，則乙的工作效率為\(\frac{1}{x}\)。根據甲、乙合作工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率，可列出方程\(\frac{1}{8}=\frac{1}{12}+\frac{1}{x}\)。3.解題過程：設乙單獨做需要\(x\)天完成。由\(\frac{1}{8}=\frac{1}{12}+\frac{1}{x}\)，得：\(\frac{1}{x}=\frac{1}{8}\frac{1}{12}\)\(\frac{1}{x}=\frac{3}{24}\frac{2}{24}\)\(\frac{1}{x}=\frac{1}{24}\)所以\(x=24\)答：乙單獨做需要24天完成。

（三）多人合作完成工程問題1.例題：一項工程，甲、乙、丙三人合作需要6天完成。甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要12天完成。甲、丙合作需要幾天完成？2.分析：設甲、乙、丙的工作效率分別為\(a\)、\(b\)、\(c\)。已知甲、乙、丙三人合作工作效率為\(\frac{1}{6}\)，即\(a+b+c=\frac{1}{6}\)；甲、乙合作工作效率為\(\frac{1}{9}\)，即\(a+b=\frac{1}{9}\)；乙、丙合作工作效率為\(\frac{1}{12}\)，即\(b+c=\frac{1}{12}\)。用甲、乙、丙三人合作工作效率減去乙、丙合作工作效率可得甲的工作效率\(a=\frac{1}{6}\frac{1}{12}=\frac{1}{12}\)。用甲、乙、丙三人合作工作效率減去甲、乙合作工作效率可得丙的工作效率\(c=\frac{1}{6}\frac{1}{9}=\frac{1}{18}\)。那么甲、丙合作工作效率為\(a+c=\frac{1}{12}+\frac{1}{18}\)，進而可求出甲、丙合作完成工程所需時間。3.解題過程：設甲、乙、丙的工作效率分別為\(a\)、\(b\)、\(c\)。由\(a+b+c=\frac{1}{6}\)，\(a+b=\frac{1}{9}\)，可得甲的工作效率\(a=\frac{1}{6}\frac{1}{12}=\frac{1}{12}\)。由\(a+b+c=\frac{1}{6}\)，\(b+c=\frac{1}{12}\)，可得丙的工作效率\(c=\frac{1}{6}\frac{1}{9}=\frac{1}{18}\)。甲、丙合作工作效率\(a+c=\frac{1}{12}+\frac{1}{18}=\frac{3}{36}+\frac{2}{36}=\frac{5}{36}\)。甲、丙合作完成工程所需時間：\(1\div\frac{5}{36}=7.2\)（天）答：甲、丙合作需要7.2天完成。

（四）有休息的工程問題1.例題：一項工程，甲單獨做需要10天完成，乙單獨做需要15天完成。兩人合作，甲工作3天休息1天，乙工作4天休息1天。完成這項工程需要多少天？2.分析：以5天為一個周期。在一個周期內，甲工作4天，完成的工作量為\(\frac{1}{10}\times4=\frac{2}{5}\)；乙工作4天，完成的工作量為\(\frac{1}{15}\times4=\frac{4}{15}\)。一個周期兩人共完成工作量\(\frac{2}{5}+\frac{4}{15}=\frac{6}{15}+\frac{4}{15}=\frac{2}{3}\)。完成工程總量\(1\)，需要\(1\div\frac{2}{3}=1.5\)個周期。兩個周期后完成工作量\(\frac{2}{3}\times2=\frac{4}{3}\gt1\)，說明不到兩個周期工程就完成了。先計算一個周期后剩下的工作量\(1\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\)。然后計算甲乙共同完成剩下工作量所需時間。3.解題過程：以5天為一個周期。甲在一個周期內完成工作量：\(\frac{1}{10}\times4=\frac{2}{5}\)乙在一個周期內完成工作量：\(\frac{1}{15}\times4=\frac{4}{15}\)一個周期兩人共完成工作量：\(\frac{2}{5}+\frac{4}{15}=\frac{6+4}{15}=\frac{2}{3}\)一個周期后剩下工作量：\(1\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\)甲乙共同完成剩下工作量所需時間：\(\frac{1}{3}\div(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})=\frac{1}{3}\div(\frac{3}{30}+\frac{2}{30})=\frac{1}{3}\div\frac{1}{6}=2\)（天）所以完成這項工程總共需要\(5+21=6\)（天）答：完成這項工程需要6天。

（五）交替工作工程問題1.例題：一項工程，甲單獨做需要12小時完成，乙單獨做需要18小時完成。現在甲先做1小時，然后乙接替甲做1小時，再由甲接替乙做1小時......兩人如此交替工作。完成這項工程需要多少小時？2.分析：甲的工作效率為\(\frac{1}{12}\)，乙的工作效率為\(\frac{1}{18}\)。甲乙各做1小時看作一個循環周期，一個周期完成的工作量為\(\frac{1}{12}+\frac{1}{18}=\frac{3}{36}+\frac{2}{36}=\frac{5}{36}\)。用工作總量\(1\)除以一個周期完成的工作量，得到循環周期數：\(1\div\frac{5}{36}=7.2\)，說明經過7個完整周期后，還剩下工作量。計算7個周期后剩下的工作量，然后判斷剩下的工作量由甲還是乙來完成，進而求出完成工程所需總時間。3.解題過程：甲的工作效率：\(\frac{1}{12}\)乙的工作效率：\(\frac{1}{18}\)一個周期完成工作量：\(\frac{1}{12}+\frac{1}{18}=\frac{3+2}{36}=\frac{5}{36}\)7個周期完成工作量：\(\frac{5}{36}\times7=\frac{35}{36}\)7個周期后剩下工作量：\(1\frac{35}{36}=\frac{1}{36}\)此時輪到甲做，甲完成剩下工作量所需時間：\(\frac{1}{36}\div\frac{1}{12}=\frac{1}{3}\)（小時）所以完成這項工程總共需要\(7\times2+\frac{1}{3}=14\frac{1}{3}\)（小時）答：完成這項工程需要\(14\frac{1}{3}\)小時。

三、工程問題專項練習題

（一）基礎練習題1.一項工程，甲單獨做20天完成，乙單獨做30天完成。甲、乙合作幾天完成？2.一件工作，甲單獨做要12小時完成，乙單獨做要10小時完成，丙單獨做要15小時完成。如果先由甲工作1小時，然后由乙接替甲工作1小時，再由丙接替乙工作1小時......三人如此交替工作，那么完成這項工作共需要多少小時？3.一項工程，甲、乙合作8天可以完成，乙、丙合作10天可以完成。現在先由甲、乙、丙合作2天后，余下的乙再做13天則可以完成。乙單獨做這項工程要多少天完成？4.有一項工程，甲隊單獨做需要10天，甲、乙兩隊合做需要4天，乙單獨做需要幾天？5.一項工程，甲單獨做需要15天完成，乙單獨做需要20天完成。甲先做6天后，剩下的由乙單獨做，還需要幾天完成？

（二）提高練習題1.一條公路，甲隊獨修24天可以完成，乙隊獨修30天可以完成。先由甲、乙兩隊合修4天，再由丙隊參加一起修7天后全部完成。如果由甲、乙、丙三隊同時開工修這條公路，幾天可以完成？2.一項工程，甲、乙合作6天完成，乙、丙合作9天完成，甲、丙合作15天完成。問：甲、乙、丙三人合作多少天完成？3.一件工作，甲單獨做要20小時完成，乙單獨做要30小時完成，丙單獨做要40小時完成。現在三人合作，甲因其他事中間暫停了幾小時，結果從開始算起，用了12小時完成。問甲中間暫停了幾小時？4.一項工程，甲、乙兩隊合作需6天完成，現在乙隊先做7天，然后甲隊做4天，共完成這項工程的\(\frac{13}{15}\)，如果把其余的工程交給乙隊單獨做，那么還要幾天才能完成？5.一件工程，甲、乙合作需4小時完成，乙、丙合作需5小時完成。現在先由甲、丙合作2小時后，余下的乙還需6小時完成。乙單獨做這件工程需幾小時完成？

（三）拓展練習題1.一項工程，甲、乙兩隊合作每天能完成全工程的\(\frac{9}{40}\)。甲隊獨做3天，乙隊獨做5天后，可完成全工程的\(\frac{7}{8}\)。如果全工程由乙隊單獨做，多少天可以完成？2.一項工程，甲單獨做需10天，乙單獨做需15天，如果兩人合作，甲的工作效率就要降低\(20\%\)，乙的工作效率就要降低\(10\%\)。現在要8天完成這項工程，兩人合作天數盡可能少，那么兩人要合作多少天？3.有兩個同樣的倉庫A和B，搬運一個倉庫里的貨物，甲需要10小時，乙需要12小時，丙需要15小時。甲和丙在A倉庫，乙在B倉庫，同時開始搬運。中途丙轉向幫助乙搬運。最后，兩個倉庫同時搬完，丙幫助甲、乙各多少時間？4.一項工程，甲單獨做需12天完成，乙單獨做需9天完成。若甲先做若干天后乙接著做，共用10天完成，問甲做了幾天？5.蓄水池有甲、乙、丙三個進水管，甲、乙、丙管單獨灌滿一池水依次需要10，12，15小時。上午8點三個管同時打開，中間甲管因故關閉，結果到下午2點水池被灌滿。問：甲管在何時被關閉？

四、練習題答案

（一）基礎練習題答案1.甲的工作效率為\(\frac{1}{20}\)，乙的工作效率為\(\frac{1}{30}\)，甲乙合作工作效率為\(\frac{1}{20}+\frac{1}{30}=\frac{3+2}{60}=\frac{1}{12}\)，合作完成需要\(1\div\frac{1}{12}=12\)天。2.一個周期（甲1小時+乙1小時+丙1小時）完成工作量\(\frac{1}{12}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{5+6+4}{60}=\frac{1}{4}\)。\(1\div\frac{1}{4}=4\)個周期，正好完成，共需要\(4\times3=12\)小時。3.設乙的工作效率為\(x\)，甲、乙合作工作效率為\(\frac{1}{8}\)，乙、丙合作工作效率為\(\frac{1}{10}\)。則\(2\times(\frac{1}{8}+\frac{1}{10})+11x=1\)，解得\(x