函數第三章第8講函數與方程考點要求考情概覽1．結合二次函數的圖象，了解函數的零點與方程根的聯系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(重點、難點)．2．根據具體函數的圖象，能夠用二分法求相應方程的近似解考向預測：從近三年高考情況來看，本講一直是高考的熱點，尤其是函數零點(方程的根)個數的判斷及由零點存在性定理判斷零點是否存在．預測本年度高考將以零點個數的判斷或根據零點的個數求參數的取值范圍為主要命題方向，以客觀題或解答題中一問的形式呈現．學科素養：主要培養學生邏輯推理、直觀想象、數學運算的能力欄目導航01基礎整合

自測糾偏03素養微專

直擊高考02重難突破

能力提升04配套訓練基礎整合自測糾偏11．函數的零點(1)函數零點的定義對于函數y＝f(x)，我們把使________的實數x叫作函數y＝f(x)的零點．(2)幾個等價關系方程f(x)＝0有實數根?函數y＝f(x)的圖象與____有交點?函數y＝f(x)有________．f(x)＝0

x軸零點(3)函數零點的判定(零點存在性定理)如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有__________，那么函數y＝f(x)在區間__________內有零點，即存在c∈(a，b)，使得________，這個c也就是方程f(x)＝0的根．f(a)·f(b)<0

(a，b)

f(c)＝0

2．二次函數圖象與零點的關系(x1,0)，(x2,0)

(x1,0)

2

1

0

3．二分法對于在區間[a，b]上連續不斷且__________的函數y＝f(x)，通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區間__________，使區間的兩個端點逐步逼近______，進而得到零點近似值的方法叫作二分法．f(a)·f(b)<0

一分為二零點【特別提醒】1．零點存在性定理只能判斷出零點存在，不能確定零點的個數．2．函數y＝f(x)的零點即方程f(x)＝0的實根，易誤為函數點．【常用結論】有關函數零點的3個結論(1)若連續不斷的函數f(x)在定義域上是單調函數，則f(x)至多有一個零點．(2)連續不斷的函數，其相鄰兩個零點之間的所有函數值保持同號．(3)連續不斷的函數圖象通過零點時，函數值可能變號，也可能不變號．【答案】B2．(教材改編)函數f(x)＝ex＋3x的零點個數是 (

)A．0

B．1

C．2

D．3【答案】B【答案】B4．(教材改編)函數f(x)＝lnx＋2x－6的零點所在的區間是 (

)A．(0,1)

B．(1,2)

C．(2,3)

D．(3,4)【答案】C【解析】由題意得f(1)＝－4＜0，f(2)＝ln2－2＜0，f(3)＝ln3＞0，f(4)＝ln4＋2＞0，所以f(x)的零點所在的區間為(2,3)．【答案】3【解析】由題意知log2(2＋m)＝0，所以m＝－1，所以f[f(4)]＝f(log23)＝2log23＝3.6．若函數f(x)＝ax＋1－2a在區間(－1,1)上存在一個零點，則實數a的取值范圍是________．由函數y＝f(x)(圖象是連續不斷的)在閉區間[a，b]上有零點不一定能推出f(a)·f(b)<0，如圖所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在閉區間[a，b]上有零點的充分不必要條件．判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)：(1)函數的零點就是函數的圖象與x軸的交點． (

)(2)函數y＝f(x)在區間(a，b)內有零點(函數圖象連續不斷)，則f(a)·f(b)<0. (

)(3)只要函數有零點，我們就可以用二分法求出零點的近似值．

(

)(4)二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0時沒有零點．

(

)(5)若函數f(x)在[a，b]內單調，圖象連續不斷且f(a)·f(b)<0，則函數f(x)在[a，b]上有且只有一個零點．

(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

(5)√重難突破能力提升2 (1)(2019年河南測試)函數f(x)＝x＋lnx－3的零點所在的區間為

(

)A．(0,1)

B．(1,2)

C．(2,3)

D．(3,4)(2)(2019年貴陽模擬)函數f(x)＝lgx－sinx在(0，＋∞)上的零點個數是

(

)A．1

B．2

C．3

D．4函數零點的確定與求解【答案】(1)C

(2)C【解析】(1)方法一(利用零點存在性定理)：因為函數f(x)是增函數，且f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3>0，所以由零點存在性定理得函數f(x)的零點位于區間(2,3)上．方法二(數形結合)：函數f(x)＝x＋lnx－3的零點所在區間轉化為g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋3的圖象的交點橫坐標所在范圍．作出h(x)和g(x)的圖象如圖1所示，可知f(x)的零點在(2,3)內．(2)f(x)＝lgx－sinx的零點個數，即函數y＝lgx的圖象和函數y＝sinx的圖象的交點個數．畫出兩函數的圖象如圖2所示，由圖可知函數y＝lgx的圖象和函數y＝sinx的圖象的交點個數為3.【解題技巧】函數零點的確定與求解策略(1)確定函數零點所在區間，可利用零點存在性定理或數形結合法．(2)判斷函數零點個數的方法：①解方程法；②零點存在性定理結合函數的性質；③數形結合法：轉化為兩個函數圖象的交點個數．【答案】D示通法根據函數零點的情況求參數的3種常用方法(1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍．(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決．(3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，然后數形結合求解．函數零點的綜合應用【答案】D【答案】12【解題技巧】看個性方向1是根據函數零點的個數及零點存在情況求參數范圍，解決此類問題通常先對解析式變形，然后在同一坐標系內畫出函數的圖象，數形結合求解．方向2是根據函數零點所在區間求參數范圍，解決此類問題應先判斷函數的單調性，再利用零點存在性定理，建立參數所滿足的不等式組，解不等式組，即得參數的取值范圍．方向3是求函數零點的和，求函數的多個零點(或方程的根以及直線y＝m與函數圖象的多個交點橫坐標)的和時，應考慮函數的性質，尤其是對稱性特征(這里的對稱性主要包括函數本身關于點的對稱，直線的對稱等)找共性根據函數零點求參數范圍的一般步驟轉化：把已知函數零點的存在情況轉化為方程的解或兩函數圖象的交點的情況．列式：根據零點存在性定理或結合函數圖象列式．結論：求出參數的取值范圍或根據圖象得出參數的取值范圍【答案】(1)C

(2)D二次函數的零點問題【解題技巧】解決與二次函數有關的零點問題(1)利用一元二次方程的求根公式．(2)利用一元二次方程的判別式及根與系數之間的關系．(3)利用二次函數的圖象列不等式組．【變式精練】3．已知函數f(x)＝x2＋(a＋2)x＋5＋a，a∈R.(1)若方程f(x)＝0有一正根和一個負根，求a的取值范圍；(2)當x＞－1時，不等式f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍．素養微專直擊高考3函數的零點是高考命題的熱點，主要涉及判斷函數零點的個數或根據零點個數求參數的范圍，常考查與復合函數相關的零點問題，多與函數的性質交匯．對于嵌套函數的零點，通常先“換元解套”，將復合函數拆解為兩個相對簡單的函數，借助函數的圖象、性質求解．素養提升類——直觀想象：解嵌套函數的零點問題典例精析【思路導引】令g(x)＝t，求出g(x)的值域即可得t的取值范圍．由g(x)為二次函數，則關于t的方程f(t)－a＝0只需在定義域內有兩個實根，即可保證f(g(x))－a＝0有4個實根，在同一坐標系中作出y＝f(t)與y＝a的圖象，數形結合求解．【解析】因為g(x)＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，所以g(