第六章一次方程組6.4實(shí)踐與探索

一、教材分析本節(jié)課《實(shí)踐與探索》是華師版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)第六章第四節(jié)的內(nèi)容．本課在學(xué)生學(xué)習(xí)了二元一次方程組和它的解、二元一次方程組的解法和三元一次方程組及其解法的知識(shí)之后，作為本章最后一個(gè)小結(jié)，主要內(nèi)容是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)建立二元一次方程組模型解決問(wèn)題．通過(guò)在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，同伴之間的討論、交流與合作，體會(huì)與他人合作的重要性，逐步形成積極參與討論、敢于發(fā)表見(jiàn)解并尊重與理解他人見(jiàn)解的意識(shí)．

二、學(xué)情分析在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)掌握了二元一次方程組的相關(guān)知識(shí)，但在解決不同問(wèn)題時(shí)學(xué)生對(duì)解題使用方法還不能準(zhǔn)確判斷．因此，在本節(jié)課中通過(guò)學(xué)生積極思考、互相討論，探索事物之間的數(shù)量關(guān)系，形成方程模型．學(xué)生學(xué)好本節(jié)知識(shí)，不僅可以解決本章基礎(chǔ)問(wèn)題還能培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)在教學(xué)過(guò)程中，要采用學(xué)生多練，多思考，教師要主動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納解題的方法和規(guī)律．

三、教學(xué)目標(biāo)1．通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的探索與解決，逐步形成結(jié)合具體的事例發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力．2．學(xué)會(huì)用二元一次方程組解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．3．通過(guò)學(xué)生積極思考、互相討論，探索事物之間的數(shù)量關(guān)系，形成方程模型．4．通過(guò)在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，同伴之間的討論、交流與合作，體會(huì)與他人合作的重要性，逐步形成積極參與討論、敢于發(fā)表見(jiàn)解并尊重與理解他人見(jiàn)解的意識(shí)．

四、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：學(xué)生積極參與討論和探究問(wèn)題．難點(diǎn)：用二元一次方程組解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．

五、教學(xué)過(guò)程復(fù)習(xí)回顧通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，你能說(shuō)出列二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的步驟嗎？其中什么是關(guān)鍵？師生活動(dòng)：采用教師問(wèn)學(xué)生答．設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生對(duì)列二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的步驟進(jìn)行復(fù)習(xí)，為本節(jié)課作鋪墊．探究新知活動(dòng)一：建立二元一次方程組模型解決幾何問(wèn)題問(wèn)題1：要用20張白卡紙做長(zhǎng)方體的包裝盒，準(zhǔn)備把這些白卡紙分成兩部分，一部分做側(cè)面，另一部分做底面，已知每張白卡紙可以做2個(gè)側(cè)面，或者3個(gè)底面．如果1個(gè)側(cè)面和2個(gè)底面可以做成一個(gè)包裝盒，那么如何分才能使做成的側(cè)面和底面正好配套？師生活動(dòng)：請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立思考，試解上面的問(wèn)題,然后與你的同伴討論、交流，探索解題進(jìn)行方法.追問(wèn)：1.本題有哪些已知量？(1)共有白卡紙20張；(2)一張白卡紙可以做盒身2個(gè)或盒底蓋3個(gè)；(3)1個(gè)盒身與2個(gè)盒底蓋配成一套．2.求什么？用幾張白卡紙做盒身？幾張白卡紙做盒底蓋？3.若設(shè)用x張白卡紙做盒身，y張白卡紙做盒底蓋，那么可做盒身多少個(gè)？盒底蓋多少個(gè)？（2x個(gè)盒身，3y個(gè)盒底蓋）4.找出2個(gè)等量關(guān)系.(1)用做盒身的白卡紙張數(shù)＋用做盒底蓋的白卡紙張數(shù)＝20；(2)由已知(3)可知盒底蓋的個(gè)數(shù)應(yīng)該是盒身的2倍，才能使盒身與盒底蓋正好配套．根據(jù)題意，得x+y=20解這個(gè)方程組，得x由于解為分?jǐn)?shù)，所以如果不允許剪開(kāi)，則只能做成16個(gè)包裝盒，無(wú)法全部利用；如果允許剪開(kāi)，則分法很多，例如可以將一張白卡紙一分為二，用8張半做盒身，11張半做盒底蓋，可以做成盒身17個(gè)，盒底蓋34個(gè)，正好配套成17個(gè)包裝盒，較充分地利用了材料．問(wèn)題2：小明在拼圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)8個(gè)大小一樣的長(zhǎng)方形，恰好可以拼成如下圖所示的一個(gè)大的長(zhǎng)方形．小紅看見(jiàn)了，說(shuō)：“我來(lái)試一試”，結(jié)果小紅七拼八湊，拼成如下圖所示的正方形，咳，怎么中間還留有一個(gè)洞，恰好是邊長(zhǎng)為2mm的小正方形！你能求出這些長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬嗎？1.觀察小明的拼圖你能發(fā)現(xiàn)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)xmm與寬ymm之間的數(shù)量關(guān)系嗎？（根據(jù)矩形的對(duì)邊相等，得3x=5y）2.再觀察小紅的拼圖，你能寫(xiě)出表示小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)xmm與寬ymm之間的另一個(gè)關(guān)系式嗎？(顯然有x+2=2y)這樣就得到方程組3解這個(gè)方程組，得x=8個(gè)小矩形的面積和=8xy=8×10×6=480(mm2大正方形的面積=(x+2y)484?480=4(mm2)=22因此小紅拼出的大正方形中間還留下了一個(gè)恰好是邊長(zhǎng)為2mm的小正方形．師生活動(dòng)：在學(xué)生探索解題方法的過(guò)程中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生多角度地思考，只要學(xué)生的方法有道理，就要給予肯定和鼓勵(lì)．鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行質(zhì)疑和大膽創(chuàng)新．設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審題，并找出等量關(guān)系．應(yīng)用新知活動(dòng)二：建立二元一次方程組模型解決實(shí)際問(wèn)題例1：某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品后，甲種商品加價(jià)50%、乙種商品加價(jià)40%作為標(biāo)價(jià)，適逢元旦，商場(chǎng)舉辦促銷(xiāo)活動(dòng)，甲種商品打八折銷(xiāo)售，乙種商品打八五折銷(xiāo)售，某顧客購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種商品各1件，共付款538元，已知商場(chǎng)共盈利88元，求甲、乙兩種商品的進(jìn)價(jià)各是多少元．解：設(shè)甲種商品的進(jìn)價(jià)為x元，乙種商品的進(jìn)價(jià)為y元．根據(jù)題意，得x+y+88=538x化簡(jiǎn)，得x+y=450解得x=250答：甲種商品的進(jìn)價(jià)為250元，乙種商品的進(jìn)價(jià)為200元．例2：如圖：用8塊相同的長(zhǎng)方形拼成一個(gè)寬為48厘米的大長(zhǎng)方形，每塊小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是多少？解：設(shè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是x厘米，寬是y厘米．2x=x+3y解這個(gè)方程組，得x=答：小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是36厘米，寬是12厘米．師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生參與活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生參與課堂教學(xué)的熱情，使學(xué)生進(jìn)入問(wèn)題情境，讓學(xué)生加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)印象．激發(fā)學(xué)生的求知欲望，感受數(shù)學(xué)的魅力．課堂練習(xí)【教材練習(xí)】1．為了更有效地利用水資源，鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，某市規(guī)定，居民生活用水按三檔分段計(jì)價(jià)．第一段：每戶每月用水不超過(guò)Am3，水價(jià)為2.91元/m3；第二段：每戶每月用水超過(guò)Am3但不超過(guò)Bm3，超過(guò)部分水價(jià)按3.71元/m3計(jì)算；第三段：每戶每月用水超過(guò)B已知小紅家上月用水20m3，并沒(méi)有超過(guò)Bm3，繳納水費(fèi)59.80元．問(wèn)：該市規(guī)定的用水標(biāo)準(zhǔn)解：2.91×所以小紅家上月用水量超過(guò)Am3設(shè)該市規(guī)定的用水標(biāo)準(zhǔn)A是xm3，小紅家按第二段超量部分計(jì)費(fèi)的用水量是ym根據(jù)題意，得x+y=20解這個(gè)方程組，得x=答：設(shè)該市規(guī)定的用水標(biāo)準(zhǔn)A是18m3，小紅家按第二段超量部分計(jì)費(fèi)的用水量是2m2．某山區(qū)盛產(chǎn)一種野果，極具市場(chǎng)前景，一家經(jīng)銷(xiāo)公司一次收購(gòu)23t．經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，若直接銷(xiāo)售，則每噸可獲利500元；若經(jīng)過(guò)粗加工并包裝，則每噸可獲利2500元；若制成罐頭出售，則每噸可獲利4000元．該公司每天可粗加工并包裝4t或制罐頭1.5t．同一天兩種加工方式不能同時(shí)進(jìn)行，且全部原料必須不超過(guò)7天全部銷(xiāo)售或加工完畢．為此，公司研究了三種方案：（1）全部進(jìn)行粗加工并包裝；（2）盡可能多地制作罐頭，余下的直接銷(xiāo)售；（3）部分制作罐頭，其余進(jìn)行粗加工并包裝，且正好7天完成。請(qǐng)你探究一下，為公司做決策．（1）全部進(jìn)行粗加工并包裝，可獲利2500×23=57500（元）．（2）盡可能多地制作罐頭，余下的直接銷(xiāo)售，可獲利4000×1.5×7+500×(（3）設(shè)制作罐頭x天，進(jìn)行粗加工并包裝y天．根據(jù)題意，得x+y=7解這個(gè)方程組，得x=此時(shí)獲利4000×1.5×2+2500×4×5=62000（元）．因?yàn)?2000>57500>48250所以公司應(yīng)選擇方案（3）：安排2天制作罐頭，5天進(jìn)行粗加工并包裝獲利最大．師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考再作答．分析：轉(zhuǎn)換后利用代入法解二元一次方程組．【限時(shí)訓(xùn)練】1．一個(gè)長(zhǎng)方形，它的長(zhǎng)減少1cm，寬增加3cm，可得到一個(gè)正方形，其面積比原來(lái)的長(zhǎng)方形面積大21cm2．分析：本題要求原來(lái)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬，可利用題中的條件找出相等關(guān)系，列出方程組來(lái)解決，由于原來(lái)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)減少1cm，寬增加3cm，就可得到一個(gè)正方形，據(jù)此有相等關(guān)系“原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)?1=原長(zhǎng)方形的寬+3”，而所得的正方形比原來(lái)的長(zhǎng)方形面積大21cm2．據(jù)此又可以得相等關(guān)系“所得正方形的面積－原來(lái)的長(zhǎng)方形的面積=21”解：設(shè)原來(lái)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為xcm，寬為ycm，根據(jù)題意，得x?1=y+3化簡(jiǎn)得x解這個(gè)方程組，得x=答：原來(lái)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬分別是10cm，6cm．2.有兩個(gè)長(zhǎng)方形，第一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之比為5：4，第二個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之比為3：2，第一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)比第二個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)大112cm，第一個(gè)長(zhǎng)方形的寬比第二個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)的2倍還大6cm，求這兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積．解：設(shè)第一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬分別為5xcm和4xcm，第二個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬分別為3ycm和2ycm，根據(jù)題意，得2(5x+4x)?2(3y+2y)=1124x?2×3y解這個(gè)方程組，得x=因?yàn)?x×4x=1620cm2，3y×2y=15答：這兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積分別為1620cm2，150cm3.某紙品廠為了制作甲、乙兩種長(zhǎng)方形無(wú)蓋小盒(圖1)，利用邊角料裁出長(zhǎng)方形和正方形兩種硬紙片，長(zhǎng)方形的寬與正方形的邊長(zhǎng)相等(圖2)．現(xiàn)用300張長(zhǎng)方形硬紙片和150張正方形硬紙片全部用于制作這兩種小盒，可做甲、乙兩種小盒各多少個(gè)？【教學(xué)說(shuō)明】通過(guò)練習(xí)使學(xué)生掌握如何從幾何問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型.解：設(shè)可做甲種小盒x個(gè)，可做乙種小盒y個(gè)．根據(jù)題意可得：4x+3y=300解這個(gè)方程組，得x答：可做甲種小盒30個(gè)可做乙種小盒60個(gè)．歸納總結(jié)師生活動(dòng)：教師和學(xué)生一起回顧本節(jié)課所講的內(nèi)容．1．本節(jié)課你學(xué)到了什么？2．怎樣建立二元一次方程組模型解決問(wèn)題？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)小結(jié)讓學(xué)生進(jìn)一步