第6章

電路的暫態過程分析電工技術6.1

電路的暫態過程及換路定理6.1電路的暫態過程及換路定理6.1.1電路的過渡過程

電路的狀態分為穩態和暫態兩種。直流電路及周期電流電路中，所有響應或是恒穩不變，或是按周期規律變化。電路的這種工作狀態稱為穩定狀態，簡稱穩態。一般說來，含有儲能元件C和L的電路從一種穩定狀態到另一穩定狀態之間總有個過程，這個過程稱為過渡過程（或暫態過程）。電路的暫態分析就是研究電路在過渡過程中電壓與電流隨時間變化的規律。6.1電路的暫態過程及換路定理6.1.2換路定律

1．換路

電路的接通、斷開、接線的改變、激勵或參數的驟然改變等原因所引起的電路穩定狀態的改變統稱為換路。6.1電路的暫態過程及換路定理6.1.2換路定律

2．換路定律

因含有C和L儲能元件的電路的能量變化必須連續，所以在電路換路時，C和L所儲存的能量不能發生躍變。

電容元件儲存的電場能

在換路時不能躍變，因為能量躍變意味著電容電壓躍變，而電容電壓的躍變將導致其電流iC=C(dv/dt)變為無限大，這通常是不可能的。

再如，儲存元件電感的儲能

在換路時也不能躍變，因為能量躍變意味著電感電流躍變，而電流躍變將導致其端電壓vL=L(di/dt)

變為無限大，這也是不可能的。

由以上分析可知，在換路瞬間，電容的電流值有限時，其端電壓uC不能躍變；電感上電壓值有限時，其電流iL不能躍變。以上結論稱為換路定律。6.1電路的暫態過程及換路定理6.1.2換路定律

把換路時刻t=0取為計時起點，則以t=0?表示換路前的最后瞬間，以t=0+表示換路后的最初瞬間。

若用uC(0–)和iL(0–)分別表示換路前的最后瞬間電容電壓和電感電流，若用uC(0+)和iL(0+)分別表示換路后的最初瞬間電容電壓和電感電流，則換路定律可以表示為(6-1)式(6-1)中，uC(0+)和iL(0+)分別稱為t=0后一瞬間的起始值。也叫初始值。6.1電路的暫態過程及換路定理6.1.3初始值的確定1．初始值換路后的最初瞬間（即t=0+時刻）的電流、電壓值統稱為初始值。通常討論電路發生換路后（t＞0）的電路響應，所以我們關心的電流、電壓在t≥0+時的初始值i(0+)和u(0+)。其中電容電壓uC和電感電流iL的初始值uC(0+)、iL(0+)由電路的初始儲能決定，稱為獨立初始值或初始狀態。其余電壓、電流的初始值稱為相關初始值，它們將由電路激勵和初始狀態來確定。6.1電路的暫態過程及換路定理6.1.3初始值的確定1．初始值換路后的最初瞬間（即t=0+時刻）的電流、電壓值統稱為初始值。通常討論電路發生換路后（t＞0）的電路響應，所以我們關心的電流、電壓在t≥0+時的初始值i(0+)和u(0+)。其中電容電壓uC和電感電流iL的初始值uC(0+)、iL(0+)由電路的初始儲能決定，稱為獨立初始值或初始狀態。其余電壓、電流的初始值稱為相關初始值，它們將由電路激勵和初始狀態來確定。6.1電路的暫態過程及換路定理6.1.3初始值的確定2．初始值的求法（1）根據換路前的穩態電路，即t=0–時的等效電路求uC(0?)和iL(0?)。由于換路前電路已處于穩定，uC(t)和iL(t)不再變化，，故iC=0，電容元件相當于開路；，uL=0，電感元件相當于短路。由此畫出t=0–時的等效電路，計算出uC(0?)和iL(0?)。（2）根據換路定律，確定初始狀態uC(0+)=uC(0?)，iL(0+)=iL(0?)。即獨立初始值。6.1電路的暫態過程及換路定理6.1.3初始值的確定2．初始值的求法（3）由t=0+時等效電路求相關初始值。根據置換定理，在t=0+時刻，將電容用電壓等于uC(0+)的電壓源替代（若uC(0+)=0，電容元件在等效電路中相當于短路），極性與電容端電壓極性一致；電感用電流等于iL(0+)的電流源替代（若iL(0+)=0電感元件在等效電路中相當于開路），方向與流過電感的電流方向一致；獨立電源均取t=0+時刻的值。此時得到的電路是一個直流電源作用下的電阻電路，稱為0+等效電路。用直流電路的分析方法解t=0+時的等效電路，求得的各電流、電壓就是相關初始值。6.1電路的暫態過程及換路定理小結1．過渡過程產生的原因

內因是電路含有儲能元件，外因是換路。其實質是能量不能躍變。2．設t=0時電路發生換路，則換路定律是：若電容電流和電感電壓在換路時為有限值，其電容電壓不能躍變；電感電流不能躍變。即第6章

電路的暫態過程分析機械工業出版社電工技術6.2一階電路的零輸入響應6.2一階電路的零輸入響應一階電路的構成

當電路中沒有獨立電源的作用，僅由動態元件的初始儲能的作用下所產生的響應，稱為零輸入響應。6.2一階電路的零輸入響應6.2.2RC電路的零輸入響應6.2一階電路的零輸入響應6.2.2RC電路的零輸入響應圖6-3所示的一階RC電路，當t<0時，開關在1位，電路穩定，電容電壓為uC(0–)=US；t=0時，開關由1位打向2位。根據換路定律，uC(0+)=uC(0–)=US，從t=0+開始，電容C通過電阻R放電，產生放電電流iC(t)。根據KVL，在t>0時，有uC(t)?RiC(t)=0

因為故

圖6-3一階RC電路的零輸入響應6.2一階電路的零輸入響應6.2.2RC電路的零輸入響應這是一個一階齊次線性微分方程,其特征根故（6-2）式的通解為將初始條件uC(0+)=U0代入上式,可得A=U0,則

（t＞0）（6-3）式（6-3）就是零輸入響應,即電容放電過程中電容電壓uC隨時間變化規律的表達式。電路中的放電電流和電阻電壓分別為6.2一階電路的零輸入響應小結零輸入響應是由電路的初始儲能產生的。對一階電路，它的變化規律為

（t＞0）第6章

電路的暫態過程分析機械工業出版社電工技術6.3一階電路的零狀態響應6.3一階電路的零狀態響應6.3.1RC電路的零狀態響應

零狀態響應是指電路換路時儲能元件沒有初始儲能，電路僅由外加電源作用產生的響應。由于動態元件的初始狀態是零，即uC(0+)=0，iL(0+)=0。所以叫零狀態響應。6.3一階電路的零狀態響應6.3.1RC電路的零狀態響應1.RC電路的零狀態響應的數學分析如圖6-10所示的電路中，t＜0，開關S閉合前，電容上沒有充電，uC(0?)=0，t=0時開關S閉合，電源通過電阻對電容充電。依KVL，在t＞0時，有（t＞0）將R、C的伏安關系:代入上式后可得

圖6-10（t＞0）（6-13）6.3一階電路的零狀態響應

式(6-13)是一個常系數一階線性非齊次微分方程。由高等數學知識可知,它的解由其特解ucp和相應齊次方程的通解uch兩部分組成,即

（6-14）對應于式（6-13）的齊次微分方程即式（6-2）,其通解為

其中

=RC,為時間常數。非齊次方程式(6-13)的特解為電路達到穩態時的解因此uC的全解為

（t＞0）（6-15）6.3一階電路的零狀態響應將初始條件uC(0+)=uC(0?)=0代入上式,可得則電容電壓的零狀態響應為（t＞0）（6-16）充電電流i(t)和電阻電壓uR(t)分別為（t＞0）（6-17）（t＞0）（6-18）6.3一階電路的零狀態響應小結

零狀態響應是由外加電源產生的。則一階電路的零狀態響應的uC或iL的變化規律為

(t>0)第6章

電路的暫態過程分析機械工業出版社電工技術6.4一階電路的全響應6.4一階電路的全響應6.4.1一階電路的全響應的規律當一個非零初始狀態的電路受到外加電源的作用時，電路的響應為全響應。從電路中能量的來源可以推論：線性動態電路的全響應，必然是由儲能元件初始儲能產生的零輸入響應，與外加電源產生的零狀態響應的代數和。從響應與激勵的關系看，這是疊加定理的一個應用。6.4一階電路的全響應6.4.1一階電路的全響應的規律

在圖6-15（a）所示的電路中，開關S閉合前，電容已有儲能，設uC(0－)=U0。在t=0時S閉合，顯然，換路后可以將電路的全響應，視為圖6-15（b）所示電路的零輸入響應與圖6-15（c）所示電路的零狀態響應相疊加。即（a）（b）（c）6.4一階電路的全響應6.4.1一階電路的全響應的規律由前面分析可知：RC電路的零輸入響應RC電路的零狀態響應所以，電路的全響應即全響應=零輸入響應+零狀態響應還可以寫成其中，稱為穩態分量，也稱為強制分量，稱為暫態分量，也稱為自由分量。于是全響應還可表示為

全響應=穩態分量+暫態分量6.4一階電路的全響應小結

(t>0)全響應=零輸入響應+零狀態響應

(t>0)全響應=穩定分量+暫態分量第6章

電路的暫態過程分析機械工業出版社電工技術6.5一階電路的三要素法6.5一階電路的三要素法6.5.1三要素法三要素（1）初始值：也就是在換路瞬間t=（0+）時，電路中所求物理量的值。（2）穩態值：穩態值(f(∞))，是指電路在經歷了足夠長的時間，進入穩態后的物理量的值。（3）時間常數(τ)：它決定了電路暫態過程的快慢。回顧一階電路全響應公式6.5一階電路的三要素法6.5.1三要素法1．三要素公式

一階電路的全響應為零輸入響應和零狀態響應之和，所以全響應是動態電路響應的一般形式，而零輸入響應和零狀態響應則是全響應的特例。一階電路響應的一般公式為

（t＞0）整理后，得

（t＞0）（6-29）

響應f(t)主要由初始值f(0+)、換路后的穩態值f(∞)和時間常數三個因素決定，因此稱f(0+)、f(∞)和為一階電路的三要素，（6-29）式為求解一階電路的三要素公式。應用三要素公式求解一階電路的響應的方法，稱為三要素法。（1）適用范圍：直流激勵下一階電路中任意處的電流和電壓；（2）三要素法不僅可以求全響應，也可以求零輸入響應和零狀態響應分量。6.5一階電路的三要素法6.5.2三要素的求解方法【解】（1）t=0?時，等效電路如圖6-18（b）所示。換路前電容上電壓為