高中數學選修2-3《3.1回歸分析的基本思想及其初步應用》

測試卷解析版

一.選擇題（共22小題）

1.已知變量x與變量y之間具有相關關系，并測得如下一組數據:

X651012

y6532

則變量x與y之間的線性回歸直線方程可能為（）

A.y=0.7x-2.3B.y=-0.7x+10.3

C.y=-10.3x+0.7D.y=10.3x-0.7

【分析】根據表中數據，計算7、再根據變量y隨變量尤的增大而減小，是負相關，

驗證回歸直線方程是否過過樣本中心點（彳，y）即可.

【解答】解：根據表中數據，得；

x=—（6+5+10+12）=招，

44

y=AC6+5+3+2）=4,

4

且變量y隨變量元的增大而減小，是負相關，

所以，驗證7=毀時，-0.7x23+10.3心4,

4y4

即回歸直線；=-0.7X+10.3過樣本中心點G，y）.

故選：B.

【點評】本題考查了線性回歸方程過樣本中心點的應用問題，是基礎題目.

2.已知變量x與y負相關，且由觀測數據算得樣本平均數彳=2,7=1.5,則由該觀測數據

算得的線性回歸方程可能是（）

A.y=0.6x+l.lB.y—3x-4.5

C.y=-2x+5.5D.y=-0.4x+3.3

【分析】利用變量尤與y負相關，排除選項A、B,再利用回歸直線方程過樣本中心點，

代入驗證即可.

【解答】解：根據變量x與y負相關，排除選項A,B；

再根據回歸直線方程經過樣本中心（W，y）,

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把x=2,y=1.5,代入C、D中，

滿足1.5=-2*2+5.5,C方程成立，。方程不成立.

故選：C.

【點評】本題考查了回歸直線方程的應用問題，是基礎題.

3.某便利店記錄了100天某商品的日需求量（單位：件），整理得下表:

日需求量〃1415161820

頻率0.10.20.30.20.2

試估計該商品日平均需求量為（）

A.16B.16.2C.16.6D.16.8

【分析】根據所給數據計算即可.

【解答】解：由題意得：

14X0.1+15X0.2+16X0.3+18X0.2+20X0,2=16.8,

故選：D.

【點評】本題考查了加權平均數問題，是一道基礎題.

4.已知尤，y的取值如下表：從散點圖可以看出y與x線性相關，且回歸方程為?=o.g5x+a，

貝1Ja=（）

X0134

y2.24.34.86.7

A.3.25B.2.6C.2.2D.0

【分析】本題考查的知識點是線性回歸直線的性質，由線性回歸直線方程中系數的求法,

我們可知丘，刀）在回歸直線上，滿足回歸直線的方程，我們根據已知表中數據計算出

丘，y）,再將點的坐標代入回歸直線方程，即可求出對應的a值.

【解答】解：?.?點7）在回歸直線上，

計算得；

J+1+3+4=2,2+4.3+4.8+6.7=45

44

，回歸方程過點（2,4.5）

代入得4.5=0.95X2+。

??a=2.6；

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故選：B.

【點評】本題就是考查回歸方程過定點丘，y）,考查線性回歸方程，考查待定系數法

求字母系數，是一個基礎題

5.下列數據中，擬合效果最好的回歸直線方程，其對應的相關指數*為（）

A.0.27B.0.85C.0.96D.0.5

【分析】兩個變量y與x的回歸模型中，它們的相關指數A2,越接近于1,這個模型的

擬合效果越好，在所給的四個選項中0.97是相關指數最大的值，得到結果.

【解答】解：兩個變量》與x的回歸模型中，它們的相關指數始，越接近于1,

這個模型的擬合效果越好，

在所給的四個選項中0.96是相關指數最大的值，

故選：C.

【點評】本題考查相關指數，這里不用求相關指數，而是根據所給的相關指數判斷模型

的擬合效果，這種題目解題的關鍵是理解相關指數越大擬合效果越好.

6.已知回歸直線的斜率的估計值為1.23,樣本點的中心為（4,5）,則回歸直線方程為（）

A-y=l.23x+4B-y=l.23x+5

C.y=l.23x+0.08D-y-0.08x+1.23

【分析】本題考查線性回歸直線方程，可根據回歸直線方程一定經過樣本中心點這一信

息，選擇驗證法或排除法解決，具體方法就是將點（4,5）的坐標分別代入各個選項，

滿足的即為所求.

【解答】解：法一：

由回歸直線的斜率的估計值為1.23,可排除。

由線性回歸直線方程樣本點的中心為（4,5）,

將x=4分別代入A、B、C,其值依次為8.92、9.92、5,排除A、B

法二：

因為回歸直線方程一定過樣本中心點，

將樣本點的中心（4,5）分別代入各個選項，只有C滿足，

故選：C.

【點評】本題提供的兩種方法，其實原理都是一樣的，都是運用了樣本中心點的坐標滿

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足回歸直線方程.

7.下列有關線性回歸分析的四個命題：

①線性回歸直線必過樣本數據的中心點（W，y）；

②回歸直線就是散點圖中經過樣本數據點最多的那條直線；

③當相關性系數廠>0時，兩個變量正相關；

④如果兩個變量的相關性越強，則相關性系數r就越接近于1.

其中真命題的個數為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據線性回歸方程的幾何特征及殘差，相關指數的概論，逐一分析四個答案的

正誤，可得答案

【解答】解：①線性回歸直線必過樣本數據的中心點（7,故①正確；

②回歸直線在散點圖中可能不經過任一樣本數據點，故②錯誤；

③當相關性系數r>0時，則兩個變量正相關，故③正確；

④如果兩個變量的相關性越強，則相關性系數『就越接近于1或-1,故④錯誤.

故真命題的個數為2個，

故選：B.

【點評】本題以命題的真假判斷為載體，考查了相關關系，回歸分析，殘差，相關指數

等知識點，難度不大，屬于基礎題.

8.對兩個變量x、y進行線性回歸分析，計算得到相關系數r=-0.9962,則下列說法中正

確的是（）

A.尤與y正相關

B.x與y具有較強的線性相關關系

C.尤與y幾乎不具有線性相關關系

D.尤與y的線性相關關系還需進一步確定

【分析】根據線性回歸分析中,相關系數廠=-0.9962,M接近于1,

說明x與y具有較強的線性相關關系，且是負相關.

【解答】解：在線性回歸分析中，兩個變量的相關性越強，它的相關系數|『|就越接近于1,

由相關系數廠=-0.9962知，尤與y具有較強的線性相關關系，且是負相關.

故選：B.

【點評】本題考查了線性回歸分析中，兩個變量的相關性與相關系數的應用問題，是基

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礎題.

9.已知四個命題：

①在回歸分析中，*可以用來刻畫回歸效果，川的值越大，模型的擬合效果越好；

②在獨立性檢驗中，隨機變量K?的值越大，說明兩個分類變量有關系的可能性越大；

③在回歸方程y=0.2x+12中，當解釋變量X每增加1個單位時，預報變量y平均增加1

個單位；

④兩個隨機變量相關性越弱，則相關系數的絕對值越接近于1;

其中真命題是（）

A.①④B.②④C.①②D.②③

【分析】對4個選項分別進行判斷，即可得出結論.

【解答】解：①相關指數R2是用來刻畫回歸效果的，R2表示解釋變量對預報變量的貢

獻率，

R2越接近于1,表示解釋變量和預報變量的線性相關關系越強，越趨近0,關系越弱，

故川的值越大，說明回歸模型的擬合效果越好，故①正確.

②由K2的計算公式可知，對分類變量x與丫的隨機變量片的觀測值k來說，k越小，

判斷“X與丫有關系”的把握越小，

隨機變量K2的值越大，說明兩個分類變量有關系的可能性越大，故②正確；

③在回歸直線方程y=0.2r+12中，當解釋變量x每增加一個單位時，預報變量丫平均增

加0.2個單位，故③錯誤.

④兩個隨機變量相關性越強，則相關系數的絕對值越接近于1:兩個隨機變量相關性越

弱，則相關系數的絕對值越接近于0,故④不正確.

故選：C.

【點評】本題以命題的真假判斷為載體，考查了抽樣方法，相關系數，回歸分析，獨立

性檢驗等知識點，難度不大，屬于基礎題.

10.今有一組數據，如下表:

X1.9933.0024.0015.0326.121

Y1.5014.4137.49812.0417.93

現準備從以下函數中選擇一個近似的表示這組數據滿足的規律，其中擬合最好的是

)

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A.y=-2x-2B.y=miogxC.y=2*D.-A

2222

【分析】觀察表中的數據發現隨著x的增加，數據y的遞增速度越來越快，根據基本初

等函數的圖象和性質，逐一比照其變化趨勢和表中數據的變化趨勢，可以從此變化趨勢

上選擇恰當的函數關系.

【解答】解：把x看作自變量，y看作其函數值，從表中數據的變化趨勢看，函數遞增

的速度不斷加快

對照四個選項，

A選項是選項以一個恒定的幅度變化，其圖象是直線型的，不符合本題的變化規律

8選項對數型函數，隨著x的增大丫的遞增速度不斷變慢，不符合本題的變化規律

c選項指數型函數，隨著x的增大丫的遞增速度不斷變快，但增長速度超出題目中v的

增長速度，不符合本題的變化規律

。選項是二次型，對比數據知，其最接近實驗數據的變化趨勢

故選：D.

【點評】本題考點是函數的應用系列，可張性化的回歸分析，從實驗數據的變化趨勢來

選擇恰當的函數，體現了函數的實用性.屬基礎題.

11.如表是我國某城市在2017年1月份至10月份各月最低溫與最高溫(°C)的數據一覽

表.

月份12345678910

最高溫59911172427303121

最低溫-12-31-271719232510

已知該城市的各月最低溫與最高溫具有相關關系，根據該一覽表，則下列結論錯誤的是

()

A.最低溫與最高溫為正相關

B.每月最高溫與最低溫的平均值在前8個月逐月增加

C.月溫差(最高溫減最低溫)的最大值出現在1月

D.1月至4月的月溫差(最高溫減最低溫)相對于7月至10月，波動性更大

【分析】根據題意，依次分析選項，綜合即可得答案.

【解答】解：根據題意，依次分析選項：

對于A,知該城市的各月最低溫與最高溫具有相關關系，由數據分析可得最低溫與最高

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溫為正相關，則A正確；

對于2,由表中數據，每月最高溫與最低溫的平均值依次為：-3.5,3,5,4.5,12,20.5,

23,26.5,28,15.5,在前8個月不是逐月增加，則B錯誤；

對于C,由表中數據，月溫差依次為：17,12,8,13,10,7,8,7,6,11；月溫差的

最大值出現在1月，C正確；

對于。，有C的結論，分析可得1月至4月的月溫差相對于7月至10月，波動性更大，

D正確；

故選：B.

【點評】本題考查相關關系的判定與應用，關鍵是理解變量相關的定義.

12.下列說法錯誤的是（）

A.回歸直線過樣本點的中心（7，y）

B.兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數的絕對值就越接近于1

C.在回歸直線方程y=0.2x+0.8中，當解釋變量x每增加1個單位時，預報變量丫平均

增加0.2個單位

D.對分類變量x與匕隨機變量K2的觀測值上越大，則判斷“x與y有關系”的把握

程度越小

【分析】利用線性回歸的有關知識即可判斷出.

【解答】解：A.回歸直線過樣本點的中心0,y）,正確；

B.兩個隨機變量相關性越強，則相關系數的絕對值越接近1,因此正確；

C.在線性回歸方程y=0.2x+0.8中，當x每增加1個單位時，預報量平均增加0.2個單

位，正確；

D.對分類變量x與y的隨機變量K?的觀測值上來說，上越大，“x與y有關系”可信程

度越大，因此不正確.

綜上可知：只有D不正確.

故選：D.

【點評】本題考查了線性回歸的有關知識，考查了推理能力，屬于基礎題.

13.以下四個命題中，其中真命題的個數為（）

①在回歸分析中，可用相關指數W的值判斷模型的擬合效果，網越大，模擬的擬合效

果越好；

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②兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數越接近于1;

③若數據xi，X2，X3…，龍"的方差為1,則3x1，3x2，3x3…，3初的方差為3;

④對分類變量X與〉的隨機變量的觀測值必來說，k越小，判斷“x與y有關系”的把握

程度越大.

A.1B.2C.3D.4

【分析】（1）根據相關指數網的值的性質進行判斷，

（2）根據線性相關性與廠的關系進行判斷，

（3）根據方差關系進行判斷，

（4）根據分類變量尤與y的隨機變量必的觀察值的關系進行判斷.

【解答】解：（1）用相關指數R2的值判斷模型的擬合效果，R2越大，模型的擬合效果越

好，故（1）正確；

（2）若兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數r的絕對值越接近于1,故（2）錯

誤；

（3）若統計數據xi，X2,X3，…，X”的方差為1,則3xi，3x2，3x3…，3無〃的方差為9,

故（3）錯誤；

（4）對分類變量x與y的隨機變量M的觀察值M來說，左越小，判斷。與y有關系”

的把握程度越大.錯誤；

故選：A.

【點評】本題主要考查命題的真假判斷，涉及概率統計中隨機變量的關系及隨機變量的

相關性研究回歸直線方程的概念，考查了推理能力，屬于基礎題.

14.下列說法錯誤的是（）

A.在統計學中，獨立性檢驗是檢驗兩個分類變量是否有關系的一種統計方法

B.在殘差圖中，殘差分布的帶狀區域的寬度越狹窄，其模擬的效果越好

444

C.線性回歸方程對應的直線y=b.r+a至少經過其樣本數據點中的一個點

D.在回歸分析中，相關指數內越大，模擬的效果越好

【分析】根據統計分析的觀點，對選項中的命題進行分析、判斷即可.

【解答】解：對于A,統計學中，獨立性檢驗是檢驗兩個分類變量是否有關系的一種統

計方法，正確；

對于8,殘差圖中，殘差分布的帶狀區域的寬度越狹窄，其模擬的效果越好，正確；

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對于C,線性回歸方程對應的直線y=bX+a過樣本中心點，不一定過樣本數據中的點，

故C錯誤；

對于。，回歸分析中，相關指數網越大，其模擬的效果就越好，正確.

故選：C.

【點評】本題考查了回歸分析語獨立性檢驗和相關系數的應用問題，是基礎題目.

15.相關系數是度量（）

A.兩個變量之間線性相關關系的強度

B.散點圖是否顯示有意義的模型

C.兩個變量之間是否存在因果關系

D,兩個變量之間是否存在關系

【分析】根據相關系數的定義，可知相關系數是度量兩個變量之間線性相關關系的強度,

故可得結論.

【解答】解：根據相關系數的定義，可知相關系數是度量兩個變量之間線性相關關系的

強度，廠的絕對值越接近于1,表示兩個變量的線性相關性越強，廠的絕對值接近于。時,

表示兩個變量之間幾乎不存在相關關系，

故選：A.

【點評】本題考查兩個變量線性相關的強弱的判斷，考查相關系數的概念，屬于基礎題

16.有人收集了春節期間平均氣溫x與某取暖商品銷售額y的有關數據如表:

平均氣溫（℃）-2-3-5-6

銷售額（萬元）20232730

則該商品銷售額與平均氣溫有（）

A.確定性關系B.正相關關系C.負相關關系D.函數關系

【分析】根據x與y的有關數據，結合y隨尤的變換情況，即可得出結論.

【解答】解：根據春節期間平均氣溫尤與某取暖商品銷售額y的有關數據知，

y隨x的減小而增大，是負相關關系.

故選：C.

【點評】本題考查了線性相關的判斷問題，是基礎題.

17.下列命題中正確的為（）

A.線性相關系數廠越大，兩個變量的線性相關性越強

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B.線性相關系數廠越小，兩個變量的線性相關性越弱

C.殘差平方和越小的模型，模型擬合的效果越好

D.用相關指數后來刻畫回歸效果，*越小，說明模型的擬合效果越好

【分析】根據線性相關系數卜|越接近1,兩個變量的線性相關性越強；

殘差平方和越小的模型，模型擬合的效果就越好；

相關指數R2來刻畫回歸效果，川越大，模型的擬合效果就越好；

由此判斷正誤即可.

【解答】解：線性相關系數卜|越接近1,兩個變量的線性相關性越強，.?*、8錯誤；

殘差平方和越小的模型，模型擬合的效果就越好，C正確；

相關指數R2來刻畫回歸效果，*越大，說明模型的擬合效果就越好，.?.1）錯誤.

故選：C.

【點評】本題考查了線性相關系數、殘差平方和以及相關指數的應用問題，是基礎題.

18.對兩個變量的相關系數r,下列說法中正確的是（）

A.|r|越大，相關程度越小

B.|廠|越小，相關程度越大

C.|廠|趨近于0時，沒有非線性相關關系

D.越接近于1時，線性相關程度越強

【分析】根據題意，由相關系數r的意義，分析選項，即可得答案.

【解答】解：根據題意，兩個變量之間的相關系數，廠的絕對值越接近于1,

表面兩個變量的線性相關性越強，

r的絕對值越接近于0,表示兩個變量之間幾乎不存在線性相關，

故選：D.

【點評】本題考查相關系數廠的意義，關鍵是掌握相關系數廠的統計意義.

19.在回歸分析中，相關指數W越接近1,說明（）

A.兩個變量的線性相關關系越強

B.兩個變量的線性相關關系越弱

C.回歸模型的擬合效果越好

D.回歸模型的擬合效果越差

【分析】根據相關指數的定義和性質分別進行判斷即可.

【解答】解：相關指數網可以刻畫回歸模型的擬合效果，產越接近于1,說明模型的擬

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合效果越好.

故選：C.

【點評】本題主要考查線性相關指數的理解，比較基礎.

20.下列說法正確的是（）

A.在統計學中，回歸分析是檢驗兩個分類變量是否有關系的一種統計方法

B.線性回歸方程對應的直線7=栽+］至少經過其樣本數據點（xi,yi）,（%2,”），（尤3,

>3），（X”，yn）中的一個點

C.在殘差圖中，殘差點分布的帶狀區域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高

D.在回歸分析中，相關指數W為0.98的模型比相關指數網為0.80的模型擬合的效果

差

【分析】根據概率統計中變量間的相關關系，線性回歸方程以及殘差圖與相關指數網的

概念，對選項中的命題進行分析、判斷正誤即可.

【解答】解：對于4統計學中，獨立性檢驗是檢驗兩個分類變量是否有關系的一種統

計方法，錯誤；

對于2,線性回歸方程對應的直線，=嬴+彳可能不過任何一個樣本數據點，...B錯誤；

對于c,殘差圖中，殘差點分布的帶狀區域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高，...c

正確；

對于D回歸分析中，相關指數網為0.98的模型比相關指數網為。.80的模型擬合的效

果好，二。錯誤.

故選：C.

【點評】本題考查了概率統計中變量間的相關關系，線性回歸方程的理解與應用，殘差

圖與相關指數R2的應用問題.

21.變量x,y的散點圖如圖所示，那么無，y之間的樣本相關系數廠最接近的值為（）

勢

--------------------------------?.Y

A.1B.-0.5C.0D.0.5

【分析】根據H的值越接近于1時，兩個變量的相關關系越明顯，卜|越接近于0時，兩個

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變量的相關關系越不明顯，結合答案即可做出正確的選擇.

【解答】解：根據變量X,＞的散點圖，得；

X,y之間的樣本相關關系非常不明顯，

所以相關系數r最接近的值應為0.

故選：C.

【點評】本題考查了兩個變量線性相關關系的判斷問題，是基礎題目.

22.下列現象的相關程度最高的是（）

A.某商店的職工人數與商品銷售額之間的相關系數為0.87

B.流通費用率與商業利潤之間的相關系數為-0.94

C.商品銷售額與商業利潤之間的相關系數為0.51

D.商品銷售額與流通費用率之間的相關系數為-0.81

【分析】兩個變量之間的相關性和相關系數的大小有關，r的絕對值越接近于1,表面兩

個變量的線性相關性越強，廠的絕對值越接近于0,兩個變量之間幾乎不存在線性相關.

【解答】解：兩個變量之間的相關系數，r的絕對值越接近于1,表面兩個變量的線性相

關性越強，

r的絕對值越接近于0,表示兩個變量之間幾乎不存在線性相關，

故選：B.

【點評】本題考查相關系數，要想知道兩個變量之間的有關或無關的精確的可信程度，

只有利用獨立性檢驗的有關計算，才能做出判斷.相關系數大于0.75時，表示兩個變量

有很強的線性相關關系.

二.解答題（共5小題）

23.某研究性學習小組對春季晝夜溫差大小與某花卉種子發芽多少之間的關系進行研究，他

們分別記錄了5月1日至5月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子浸泡后的

發芽數，得到如下資料：

日期5月1日5月2日5月3日5月4日5月5日

溫差x(°C)101211138

發芽數y（顆）2325302616

a=y-bx…⑴

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n__n

￡區-乂）仇-了）￡x^^nxy

（1）從5月1日至5月5日中任選2天，記發芽的種子數分別為m,n,求事件“m,n

均小于25”的概率；

（2）根據5月2日至5月4日的數據，求出y關于尤的線性回歸方程q=6x+a；

（3）若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2顆，則認

為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（2）中所得的線性回歸方程是否可靠？

【分析】（1）本題是一個等可能事件的概率，試驗發生包含的事件共有C52種結果，滿

足條件的事件是事件“相，”均小于25”的只有1個，根據概率公式得到結果.

（2）先求出橫標和縱標的平均值，即得到樣本中心點，利用最小二乘法得到線性回歸方

程的系數，根據樣本中心點在線性回歸直線上，得到a的值，得到線性回歸方程.

（3）根據第二問所求的線性回歸方程，預報兩個變量對應的y的值，與檢驗數據的誤差

是1,滿足題意，被認為得到的線性回歸方程是可靠的.

【解答】解：（1）由題意知本題是一個等可能事件的概率，

2

試驗發生包含的事件共有C5=10種結果，

滿足條件的事件是事件“m,〃均小于25”的只有1個，

要求的概率是0=工.

10

（2）Vx=12,y=27,

...b11X25+XX30+12X26-3X12義27=5

112+1324-122-3X1222

Aa=27-5x12=-3,

2

二所求的線性回歸方程是尸六3；

（3）當x=10時，＞=22；當x=8時，y=17,

與檢驗數據的誤差是1,滿足題意，被認為得到的線性回歸方程是可靠的.

【點評】本題考查等可能事件的概率，考查求線性回歸方程，并且用線性回歸方程來預

報y的值，從而得到預報值與檢驗數據的誤差，得到線性回歸方程是否可靠.

24.班主任為了對本班學生的考試成績進行分析，決定從全班25名女同學，15名男同學中

隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析.

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(Z)如果按性別比例分層抽樣，男、女生各抽取多少名才符合抽樣要求?

(〃)隨機抽出8名，他們的數學、物理分數對應如下表：

學生編號12345678

數學分數X6065707580859095

物理分數y7277808488909395

(0若規定85分以上(包括85分)為優秀，在該班隨機調查一名同學，他的數學和物

理分數均為優秀的概率是多少？

(，)根據上表數據，用變量y與x的相關系數或散點圖說明物理成績y與數學成績無之

間線性相關關系的強弱.如果有較強的線性相關關系，求y與x的線性回歸方程(系數

精確到0.01)；如果不具有線性相關關系，說明理由.

n__

￡(Xj-x)(yj-y)

參考公式：相關系數r—'G；

2

收(Xi-x)T(y-y)

Vi=li=l

n__

A￡(xX4-x)(y1--y)A

回歸直線的方程是：y=bx+a，其中-------------,a=7-b7，y.是與芍對

21

￡(Xi-x)

i=l

應的回歸估計值.

——8_n8—O

參考數據：x=77.5,y=84.875，￡(xrx)=1050，￡(y-y)=457,

i=li=l1

￡(x1G)(y.2)=688,41050-32.4,7457^21.4,7550^23.5.

i=l1

【分析】(/)從全班25位女同學，15位男同學中隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析,

做出女生和男生在總人數中所占的比例，用比例乘以要抽取的樣本容量，得到結果.

(〃)(/)這是一個古典概率，由表中可以看出，所選的8名同學中，數學和物理分數均

為優秀的有3人，根據等可能事件的概率公式得到結果.

(”)首先求出兩個變量的平均數，再利用最小二乘法做出線性回歸方程的系數，把做出

的系數和x,y的平均數代入公式，求出a的值，寫出線性回歸方程，得到結果.

【解答】解：(I)應選女生25X專=5名，男生15X專=3名…(2分)

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（ID（i）由表中可以看出，所選的8名同學中，數學和物理分數均為優秀的有3人,

故所求概率是3.…（7分）

8

住688

ii）變量y與x的相關系數是99-

32.4X21.4

可以看出，物理與數學成績高度正相關.…（10分）

設y與X的線性回歸方程是y=bx+a，

根據所給數據可以計算出百竺"066,a=84.875-0.66X77.5七33.73,

1050

所以y與x的線性回歸方程是y=o.66X+3373,…（口分）

【點評】本題考查線性回歸分析的初步應用，考查分層抽樣，考查條件概率，考查相互

獨立事件同時發生的概率，考查利用數學知識解決實際問題的能力，是一個比較好的綜

合題目.

25.某興趣小組為了研究晝夜溫差大小與患感冒人數多少之間的關系，分別到氣象站和醫院

抄錄了1至6月份每月15日的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數，得到如表資料：

日期1月15日2月15日3月15日4月15日5月15日6月15日

晝夜溫差x（°C）8111312106

就診人數y（個）162529262111

該興趣小組確定的研究方案是：先從這六組數據中選取2組，用剩下的4組數據求線性

回歸方程，再用被選取的2組數據進行檢驗.

（1）若選取的是5月與6月的兩組數據，請根據1至4月份的數據，求出y關于x的線

性回歸方程；

（2）若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2人，則認

為得到的線性回歸方程是理想的，試問該小組所得線性的回歸方程是否理想？

n__

￡（x4-y）（y--y）

（參考數值：￡（即-x）（%-y）=36,公式：b—~，a—y~bx）

2

i=l￡（Xi-x）

i=l

【分析】（1）根據所給的數據，求出x,y的平均數，根據求線性回歸方程系數的方法，

求出系數b,把6和x,y的平均數，代入求a的公式，做出a的值，寫出線性回歸方程.

（2）根據所求的線性回歸方程，預報當自變量為10和6時的y的值，把預報的值同原

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來表中所給的10和6對應的值做差，差的絕對值不超過2,得到線性回歸方程理想.

44__

【解答】解：(1)由數據求得x=ll，y=24,￡(x-7)2=14,￡(x-x)(y-y)

i=l1i=l11

=36

:.b=^.

7

Aa=24-迪Xll=-毀

77

'.y關于x的線性回歸方程為>=旦-30；

77

(2)當x=10時，y=E2_,|1^-21|<2,當x=6時，y=四，|四

7777

該小組所得線性回歸方程是理想的.

【點評】本題考查線性回歸方程的求法，考查線性分析的應用，考查解決實際問題的能

力，是一個綜合題目.

26.在某種產品表面進行腐蝕性檢驗，得到腐蝕深度x與腐蝕時間x之間對應的一組數據：

時間X(秒)51015203040

深度(微米)61010131617

現確定的研究方案是：先從這6組數據中選取2組，用剩下的4組數據求線性回歸方程,

再對被選取的2組數據進行檢驗.

(T)求選取的2組數據恰好不相鄰的概率；

(II)若選取的是第2組和第5組數據，根據其它4組數據，求得y關于尤的線性回歸

方程v=魚x+^9,規定由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均

不超過2微米，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，判斷該線性回歸方程是否可靠.

【分析】(I)設6組數據的編號分別為1,2,3,4,5,6,從6組數據中選取2組數據

共有15種情況，滿足條件的事件是抽到不相鄰的兩組數據，列舉出共有10種結果，得

到概率.

(〃)代入所給的x的值，預報出對應的y的值，把求得的y的值和所給的準確數值進行

比較.得到差的絕對值小于2,得到結論.

【解答】解：(I)設6組數據的編號分別為1,2,3,4,5,6.設抽到不相鄰的兩組數

據為事件A,

從6組數據中選取2組數據共有15種情況：(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)

第16頁共18頁

(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,4)(3,5)(3,6)(4,5)(4,6)(5,6),

其中事件A包含的基本事件有10種.…(3分)

所以P(A)=普

所以選取的2組數據恰好不相鄰的概率是2.…(6分)

3

(II)當x=10時，vJ-xio?139=219,…(9分)

丫13262626

4

當x=30時,y譚X30?139=379嚼-16|<2；

26

該研究所得到的回歸方程是可靠的.…(12分)

【點評】本題考查線性回歸方程的應用，在解題過程中注意對于預報值的估計，本題是

一個基礎題，若出現一定是一個得分題目.

27.為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每隔30mm從該生產線上隨機抽取

一個零件，并測量其尺寸(單位：cm).