第69講直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一、直線和曲線聯(lián)立

x2y2

（1）橢圓1(ab0)與直線l:ykxm相交于AB兩點(diǎn)，設(shè)A(x，y)，

a2b211

，

B(x2y2)

x2y2

1222222222

a2b2，(bka)x2akmxamab0

ykxm

x2y2

橢圓1(a0，b0)與過定點(diǎn)(m，0)的直線l相交于AB兩點(diǎn)，設(shè)為xtym，

a2b2

x2y2

1222222222

如此消去x，保留y，構(gòu)造的方程如下：a2b2，(atb)y2btmybmab0

xtym

注意：

①如果直線沒有過橢圓內(nèi)部一定點(diǎn)，是不能直接說明直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)的，一般都

需要擺出0，滿足此條件，才可以得到韋達(dá)定理的關(guān)系．

②焦點(diǎn)在y軸上的橢圓與直線的關(guān)系，雙曲線與直線的關(guān)系和上述形式類似，不在贅述．

2，

（2）拋物線y2px(p0)與直線xtym相交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1y1)，

，

B(x2y2)

y1y22pt

聯(lián)立可得y22p(tym)，0時(shí)，

y1y22pm

py2y21

特殊地，當(dāng)直線AB過焦點(diǎn)的時(shí)候，即m，yy2pmp2，xx12p2，

212122p2p4

因?yàn)锳B為通徑的時(shí)候也滿足該式，根據(jù)此時(shí)A、B坐標(biāo)來記憶．

拋物線2與直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)，，，

x2py(p0)ykxmC、DC(x1y1)D(x2y2)

x1x22pk

聯(lián)立可得x22p(kxm)，0時(shí)，

x1x22pm

注意：在直線與拋物線的問題中，設(shè)直線的時(shí)候選擇形式多思考分析，往往可以降低計(jì)

算量．開口向上選擇正設(shè)；開口向右，選擇反設(shè)；注意不可完全生搬硬套，具體情況具體分

析．

總結(jié)：韋達(dá)定理連接了題干條件與方程中的參數(shù)，所以我們?cè)谔幚砝缦蛄繂栴}，面積

問題，三點(diǎn)共線問題，角度問題等常考內(nèi)容的時(shí)候，要把題目中的核心信息，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表

達(dá)，轉(zhuǎn)化為可以使用韋達(dá)定理的形式，這也是目前考試最常考的方式．

知識(shí)點(diǎn)二、根的判別式和韋達(dá)定理

x2y2

1(ab0)與ykxm聯(lián)立，兩邊同時(shí)乘上a2b2即可得到

a2b2

(a2k2b2)x22kma2xa2(m2b2)0，為了方便敘述，將上式簡(jiǎn)記為Ax2BxC0．該

式可以看成一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，判別式為4a2b2(a2k2b2m2)可簡(jiǎn)單記

4a2b2(Am2)．

x2y2

同理1(ab0)和xtym聯(lián)立(a2t2b2)y22b2tmyb2m2a2b20，為了

a2b2

方便敘述，將上式簡(jiǎn)記為Ay2ByC0，4a2b2(a2t2b2m2)，可簡(jiǎn)記4a2b2(Am2)．

l與C相離0；l與C相切0；l與C相交0．

BC

注意：（1）由韋達(dá)定理寫出xx，xx，注意隱含條件0．

12A12A

（2）求解時(shí)要注意題干所有的隱含條件，要符合所有的題意．

（3）如果是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，只需要把a(bǔ)2，b2互換位置即可．

（4）直線和雙曲線聯(lián)立結(jié)果類似，焦點(diǎn)在x軸的雙曲線，只要把b2換成b2即可；

焦點(diǎn)在y軸的雙曲線，把a(bǔ)2換成b2即可，b2換成a2即可．

（5）注意二次曲線方程和二次曲線方程往往不能通過聯(lián)立消元，利用判斷根的關(guān)系，

因?yàn)榇饲闆r下往往會(huì)有增根，根據(jù)題干的隱含條件可以舍去增根（一般為交點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的范

圍限制），所以在遇到兩條二次曲線交點(diǎn)問題的時(shí)候，使用畫圖的方式分析，或者解方程組，

真正算出具體坐標(biāo)．

知識(shí)點(diǎn)三、弦長(zhǎng)公式

設(shè)，，，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式22．

M(x1y1)N(x2y2)|MN|(x1x2)(y1y2)

（）若、在直線上，代入化簡(jiǎn)，得2

1MNykxm|MN|1kx1x2；

（）若、所在直線方程為，代入化簡(jiǎn)，得2

2MNxtym|MN|1ty1y2

|xx||yy|

（3）構(gòu)造直角三角形求解弦長(zhǎng)，|MN|2121．其中k為直線MN斜率，

|cos||sin|

為直線傾斜角．

注意：（1）上述表達(dá)式中，當(dāng)為k0，m0時(shí)，mk1；

（2）直線上任何兩點(diǎn)距離都可如上計(jì)算，不是非得直線和曲線聯(lián)立后才能用．

（3）直線和曲線聯(lián)立后化簡(jiǎn)得到的式子記為Ax2BxC0(A0)，判別式為

BCB24AC

B24AC，0時(shí)，xx(xx)24xx()24，

121212AAAA

利用求根公式推導(dǎo)也很方便，使用此方法在解題化簡(jiǎn)的時(shí)候可以大大提高效率．

（4）直線和圓相交的時(shí)候，過圓心做直線的垂線，利用直角三角形的關(guān)系求解弦長(zhǎng)會(huì)

更加簡(jiǎn)單．

（5）直線如果過焦點(diǎn)可以考慮焦點(diǎn)弦公式以及焦長(zhǎng)公式．

知識(shí)點(diǎn)四、已知弦AB的中點(diǎn)，研究AB的斜率和方程

x2y2b2x

（）是橢圓的一條弦，中點(diǎn)，則的斜率為0，

1AB221ab.0Mx0,y0AB2

abay0

運(yùn)用點(diǎn)差法求AB的斜率；設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2x1x2，A，B都在橢圓上，

22

x1y1

12222

a2b2xxyy

所以，兩式相減得12120

2222

x2y2ab

1

a2b2

xxxxyyyy

所以121212120

a2b2

yyb2xxb2xb2x

即12120，故0

22kAB2

x1x2ay1y2ay0ay0

x2y2

（2）運(yùn)用類似的方法可以推出；若AB是雙曲線1ab.0的弦，中點(diǎn)

a2b2

b2xp

，則0；若曲線是拋物線2，則．

Mx0,y0kAB2y2pxp0kAB

ay0y0

必考題型全歸納

題型一：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

x2

例1．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知橢圓C:y21的兩焦點(diǎn)為F，F(xiàn)，點(diǎn)P(x,y)滿

21200

2

x02x0x

足0y1，則直線y0y1與橢圓C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

202

A．0B．1C．2D．不確定，與P點(diǎn)的

位置有關(guān)

例2．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若直線l被圓C:x2y22所截的弦長(zhǎng)不小于2，則l與下

列曲線一定有公共點(diǎn)的是（）

2

2x

A．x1y21B．y21

2

C．y=x2D．x2y21

y2

例3．（2024·重慶·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)P1,2和雙曲線C:x21，過點(diǎn)P且與雙曲線C只

4

有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（）

A．2條B．3條C．4條D．無數(shù)條

變式1．（1999·全國(guó)·高考真題）給出下列曲線方程：

①4x2y10；

②x2y23；

x2

③y21；

2

x2

④y21．

2

其中與直線y2x3有交點(diǎn)的所有曲線方程是（）

A．①③B．②④C．①②③D．②③④

變式2．（2024·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）命題p：直線ykxb與拋物線x22py有且僅有一個(gè)

公共點(diǎn)，命題q：直線ykxb與拋物線x22py相切，則命題p是命題q的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．非充分非必要條件

變式3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)(1,2)作直線，使它與拋物線y24x僅有一個(gè)公共

點(diǎn)，這樣的直線有（）

A．1條B．2條C．3條D．4條

【解題方法總結(jié)】

（1）直線與圓錐曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)的判定：通常的方法是直線與圓錐曲線方程

聯(lián)立方程消元后得到一元二次方程，其中0；另一方面就是數(shù)形結(jié)合，如直線與雙曲線

有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，可通過判定直線的斜率與雙曲線漸近線的斜率的大小得到．

（2）直線與圓錐曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)則直線與雙曲線的一條漸近線平行，或直線與拋

物線的對(duì)稱軸平行，或直線與圓錐曲線相切．

題型二：中點(diǎn)弦問題

方向1：求中點(diǎn)弦所在直線方程問題；

x2y2

例4．（2024·新疆伊犁·高二統(tǒng)考期末）過橢圓1內(nèi)一點(diǎn)P(1,1)引一條恰好被P點(diǎn)平

54

分的弦，則這條弦所在直線的方程是

x2y2

例5．（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：1，圓O：x2y24，直線l與

124

圓O相切于第一象限的點(diǎn)A，與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)B．若PBQA，

則直線l的方程為．

y2

例6．（2024·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）已知A,B為雙曲線x21上兩點(diǎn)，且線段AB的中

9

點(diǎn)坐標(biāo)為1,4，則直線AB的斜率為.

變式4．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）雙曲線9x216y2144的一條弦的中點(diǎn)為A8,3，則此

弦所在的直線方程為.

變式5．（2024·陜西寶雞·高二校聯(lián)考期末）拋物線C：y26x與直線l交于A，B兩點(diǎn)，且

AB的中點(diǎn)為m,2，則l的斜率為.

變式6．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線為x=1，直線l與拋

物線C交于M,N兩點(diǎn)，若線段MN的中點(diǎn)為1,1，則直線l的方程為．

方向2：求弦中點(diǎn)的軌跡方程問題；

x2

變式7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線l與橢圓y21交于A，B兩點(diǎn)，已知直線l的

4

斜率為1，則弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是．

變式8．（2024·上海浦東新·高二上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期末）已知橢圓x24y216內(nèi)有一點(diǎn)

A(1,1)，弦PQ過點(diǎn)A，則弦PQ中點(diǎn)M的軌跡方程是.

變式9．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）斜率為2的平行直線截雙曲線x2y21所得弦的中點(diǎn)

的軌跡方程是．

變式10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線l:axya50（a是參數(shù)）與拋物線

2

f:yx1的相交弦是AB，則弦AB的中點(diǎn)軌跡方程是.

y2

變式11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓方程為x21，過點(diǎn)M0,1的直線l交橢圓

4

1

于點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足OPOAOB，當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P的

2

軌跡方程．

方向3：對(duì)稱問題

x2y2

變式12．（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）已知橢圓E:1(ab0)的焦距為2c，左右焦

a2b2

2222

點(diǎn)分別為F1、F2，圓F1:(xc)y1與圓F2:(xc)y9相交，且交點(diǎn)在橢圓E上，

1

直線l:yxm與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM的斜率為．

4

(1)求橢圓E的方程；

(2)若m1，試問E上是否存在P、Q兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱，若存在，求出直線PQ的方程，若

不存在，請(qǐng)說明理由．

x2y2

變式13．（2024·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓C:1ab0的離心率為e，

a2b2

23

且過點(diǎn)1,e和,．

22

(1)求橢圓C的方程；

1

(2)若橢圓C上有兩個(gè)不同點(diǎn)A，B關(guān)于直線yx對(duì)稱，求AB．

2

6

變式14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)1,在橢圓C：

2

x2y2

1ab0上，直線l：y=x+m與C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為M，直

a2b2

1

線OM的斜率為．

2

(1)求C的方程；

(2)若m=1，試問C上是否存在P，Q兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱，若存在，求出P，Q的坐標(biāo)，若不存

在，請(qǐng)說明理由．

變式15．（2024·上海浦東新·高二上海南匯中學(xué)校考期中）已知曲線C的方程是

22222

1axya10，其中a0，a1，直線l的方程是yxa．

2

(1)請(qǐng)根據(jù)a的不同取值，判斷曲線C是何種圓錐曲線；

(2)若直線l交曲線C于兩點(diǎn)M，N，且線段MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，求a的值；

(3)若a2，試問曲線C上是否存在不同的兩點(diǎn)A，B，使得A，B關(guān)于直線l對(duì)稱，并說

明理由．

x2y2

變式16．（2024·江蘇·高二假期作業(yè)）雙曲線C的離心率為5，且與橢圓1有公共

294

焦點(diǎn)．

（1）求雙曲線C的方程．

（2）雙曲線C上是否存在兩點(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)（4，1）對(duì)稱？若存在，求出直線AB的方程；

若不存在，說明理由．

變式17．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l與拋物線y28x交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB恰

好被點(diǎn)P(2,2)平分.

(1)求直線l的方程；

(2)拋物線上是否存在點(diǎn)C和D，使得C，D關(guān)于直線l對(duì)稱?若存在，求出直線CD的方程；

若不存在，請(qǐng)說明理由.

變式18．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，直線l：y2xa

與拋物線C交于A，B兩點(diǎn).

(1)若a1，求FAB的面積；

(2)若拋物線C上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N關(guān)于直線l對(duì)稱，求a的取值范圍.

方向4：斜率之積問題

2

2y

變式19．（2024·云南昭通·高二校考期中）已知斜率為k1k10的直線l與橢圓x1交

16

于A,B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為C，直線OC（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為k2，則k1k2（）

11

A．4B．C．D．16

416

x2y2

變式20．（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線l1:y2x2過橢圓C；1(ab0)

a2b2

的一個(gè)焦點(diǎn)，與C交于A，B兩點(diǎn)，與l1平行的直線l2與C交于M，N兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)

4

為P，MN的中點(diǎn)為Q，且PQ的斜率為，則C的方程為（）

9

x2y2x2y2

A．1B．1

4395

x2y25x25y2

C．+=1D．1

983616

x2y2

變式21．（2024·江西贛州·高二統(tǒng)考期末）橢圓1，M，N是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的

94

兩動(dòng)點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，直線PM，PN的斜率分別為k1，k2，則k1k2的最小值

為（）

4324

A．B．C．D．

3239

變式22．（2024·山西晉中·高二校考階段練習(xí)）過點(diǎn)M2,0的直線與橢圓x22y22相交

于P1，P2兩點(diǎn)，設(shè)線段P1P2的中點(diǎn)為P，若直線P1P2的斜率為k1k10，直線OP（O為原

點(diǎn)）的斜率為k2，則k1k2等于（）.

11

A．2B．2C．D．

22

y2x2

變式23．（2024·浙江寧波·高二校聯(lián)考期末）過雙曲線C:1(a0,b0)內(nèi)一點(diǎn)

a2b2

1

M1,1且斜率為的直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn)，弦AB恰好被M平分，則雙曲線C的離心

2

率為（）

65

A．B．C．3D．5

22

x2y2

變式24．（2024·福建泉州·高二校考期中）過雙曲線C：1（a0，b0）的焦點(diǎn)

a2b2

1

且斜率不為0的直線交C于A，B兩點(diǎn)，D為AB中點(diǎn)，若kk，則C的離心率為（）

ABOD2

6

A．6B．2C．3D．

2

x2y2

變式25．（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：1a0,b0的左，右焦

a2b2

點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，其中F1F22c，過右焦點(diǎn)F2的直線l與雙曲線的右支交與A，B兩點(diǎn)，則

下列說法中錯(cuò)誤的是（）

2b2

A．弦AB的最小值為

a

B．若ABm，則三角形F1AB的周長(zhǎng)2m4a

b2

C．若AB的中點(diǎn)為M，且AB的斜率為k，則kk

OMa2

D．若直線AB的斜率為3，則雙曲線的離心率e2,

【解題方法總結(jié)】

直線與圓錐曲線相交所得弦中點(diǎn)問題，是解析幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考的一個(gè)熱

點(diǎn)問題．這類問題一般有以下3種類型：（1）求中點(diǎn)弦所在直線方程問題；（2）求弦中點(diǎn)的

軌跡方程問題；（3）對(duì)稱問題，但凡涉及到弦的中點(diǎn)斜率的問題．首先要考慮是點(diǎn)差法．

即設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)端點(diǎn)在曲線上，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，尋找中點(diǎn)坐標(biāo)與弦的斜

率之間的聯(lián)系．除此之外，最好也記住如下結(jié)論：

x2y2b2

在橢圓1(ab0)中，中點(diǎn)弦的斜率為k，滿足kk．

a2b20a2

x2y2b2

在雙曲線1(a,b0)中，中點(diǎn)弦的斜率為k，滿足kk．（其中k為原點(diǎn)

a2b20a20

與弦中點(diǎn)連線的斜率）．

2

在拋物線y2px(p0)中，中點(diǎn)弦的斜率為k，滿足ky0p（y0為中點(diǎn)縱坐標(biāo)）．

題型三：弦長(zhǎng)問題

例7．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知直線l與圓O:x2y21相切，

x2y26

且交橢圓C:1于Ax1,y1,Bx2,y2兩點(diǎn)，若y1y2，則|AB|．

437

x2π

例8．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知橢圓y21，過左焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線交

96

橢圓于A、B兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)為．

x2

例9．（2024·廣西南寧·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓C：y21的左焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且

2

傾斜角為的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，則AB．

4

y2x2

變式26．（2024·安徽滁州·校考模擬預(yù)測(cè)）已知直線l與橢圓1在第二象限交于A,B

63

兩點(diǎn)，且l與x軸、y軸分別交于M,N兩點(diǎn)，若MANB，MN23，則l的方程為．

變式27．（2024·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在生活中，我們經(jīng)常看到橢圓，

比如放在太陽底下的籃球，在地面上的影子就可能是一個(gè)橢圓.已知影子橢圓

22

xy1

C:1(ab0)，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為．過F1且垂直

a2b22

11

于AF2的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，DE6，則的最小值是．

2DF1AD

2

x2

變式28．（2024·福建龍巖·福建省龍巖第一中學(xué)校考三模）如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓y1

4

的左、右焦點(diǎn)，A，C在橢圓上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（點(diǎn)A在第一象限），延長(zhǎng)CF2交橢圓于點(diǎn)B，

49

若AFBF，則直線AC的方程為.

1213

x2y2

變式29．（2024·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）已知雙曲線C:1a0，過其右焦點(diǎn)F的

a212

直線l與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，已知AB16，若這樣的直線l有4條，則實(shí)數(shù)a的取值

范圍是.

變式30．（2024·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x2my21m0的左、右焦點(diǎn)分別為

F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A，B分別在雙曲線C的左支與右支上，且點(diǎn)A，B與點(diǎn)F2共線，若

AB:AF1:BF12:2:3，則AB.

x2y2

變式31．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過雙曲線1的右焦點(diǎn)作傾斜角為30°的直線l，

36

直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)A，B，則AB的長(zhǎng)為．

變式32．（2024·湖南長(zhǎng)沙·周南中學(xué)校考二模）根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)，從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)

出的光，經(jīng)拋物線反射后光線都平行于拋物線的軸，已知拋物線y22x，若從點(diǎn)Q（3，2）

發(fā)射平行于x軸的光射向拋物線的A點(diǎn)，經(jīng)A點(diǎn)反射后交拋物線于B點(diǎn)，則AB.

變式33．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為

M，過焦點(diǎn)F的直線AB分別與拋物線交于A,B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在第一象限），AFBFAB，

3

直線AB的傾斜角為銳角，且滿足sinAMFsin，則AB.

2

變式34．（2024·人大附中校考三模）已知拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線

與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，AB10，AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，則p．

【解題方法總結(jié)】

在弦長(zhǎng)有關(guān)的問題中，一般有三類問題：

（1）弦長(zhǎng)公式：AB1k2xx1k2．

12a

（2）與焦點(diǎn)相關(guān)的弦長(zhǎng)計(jì)算，利用定義；

（3）涉及到面積的計(jì)算問題．

題型四：面積問題

方向1：三角形問題

x2y2

例10．（2024·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）設(shè)橢圓C:1ab0的左?右頂點(diǎn)分別為A,B，

a2b2

3

且焦距為2.點(diǎn)P在橢圓上且異于A,B兩點(diǎn)，若直線PA與PB的斜率之積為.

4

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)F1,0作不與x軸重合的直線與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn)，直線m的方程為：

x2a，過點(diǎn)M作ME垂直于直線m，交m于點(diǎn)E.求OEN面積的最大值.

例11．（2024·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線C：y22pxp0上一點(diǎn)

5

Aa,aa0到焦點(diǎn)F的距離為．

2

(1)求拋物線C的方程；

2

(2)過點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于P,Q兩點(diǎn)，直線OP,OQ與圓E：x2y24的另一

交點(diǎn)分別為M,N,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OPQ與OMN面積之比的最小值．

x2y2

例12．（2024·河南·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）橢圓1(ab0)的左右頂點(diǎn)分別為

a2b2

1

A,B,M(2,1)是栯圓上一點(diǎn)，kMAkMB．

2

(1)求橢圓方程；

(2)動(dòng)直線xm交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，求PQM面積取最大時(shí)的m的值．

變式35．（2024·山東青島·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(1,0)，B(1,0)，直線AM，

BM的斜率之積為4，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為E.

(1)求E的方程；

3

(2)直線l經(jīng)過點(diǎn)0,3，與E交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ中點(diǎn)D為第一象限，且縱坐?為，

2

求△OPQ的面積.

變式36．（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中校考開學(xué)考試）已知點(diǎn)2,0在橢圓C：

x2y21

1(ab0)上，點(diǎn)Mm,m0在橢圓C內(nèi).設(shè)點(diǎn)A，B為C的短軸的上、下端

a2b22

1

點(diǎn)，直線AM，BM分別與橢圓C相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且EA，EB的斜率之積為.

4

(1)求橢圓C的方程；

S1

△AMF

(2)記S△BME，SAMF分別為BME，AMF的面積，若，求m的值.

S△BME4

x2y2

變式37．（2024·河南開封·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)A(3,1)在橢圓C:1上，直線l交

a2a28

C于M，N兩點(diǎn)，直線AM，AN的斜率之和為0．

(1)求直線l的斜率；

(2)求OMN的面積的最大值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

變式38．（2024·廣東佛山·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)Fc,0c0的距離和M

4c

到定直線l：x的距離的比是．

c2

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀；

(2)當(dāng)c2時(shí)，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為，動(dòng)直線m與拋物線：y24x相切，且與曲線交

于點(diǎn)A，B．求AOB面積的最大值．

方向2：四邊形問題

變式39．（2024·浙江·高三浙江省普陀中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）類似于圓的垂徑定理，橢圓C：

x2y2

1（ab0）中有如下性質(zhì)：不過橢圓中心O的一條弦PQ的中點(diǎn)為M，當(dāng)PQ，

a2b2

b2x2y2

OM斜率均存在時(shí)，kk，利用這一結(jié)論解決如下問題：已知橢圓E：1，

PQOMa2819

直線OP與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，且OA3OP，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)過點(diǎn)P作直線CD交橢圓E于C，D兩點(diǎn)，使PCPD0，求四邊形ACBD的面積.

x2y2

變式40．（2024·湖北恩施·校考模擬預(yù)測(cè)）已知F1,F2是橢圓C:1(ab0)的左右

a2b2

焦點(diǎn)，以F1F2為直徑的圓和橢圓C在第一象限的交點(diǎn)為G，若三角形GF1F2的面積為1，其

內(nèi)切圓的半徑為23．

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知A是橢圓C的上頂點(diǎn)，過點(diǎn)P2,1的直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)D,E，點(diǎn)D在

第二象限，直線AD、AE分別與x軸交于M,N，求四邊形DMEN面積的最大值．

變式41．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖．已知圓

M:(x2)2y281，圓N:(x2)2y21．動(dòng)圓S與這兩個(gè)圓均內(nèi)切．

(1)求圓心S的軌跡C的方程；

(2)若P2,3、Q2,3是曲線C上的兩點(diǎn)，A、B是曲線C上位于直線PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)．若直

1

線AB的斜率為，求四邊形APBQ面積的最大值．

2

y2x22

變式42．（2024·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:1(ab0)的離心率為，

1a2b22

2

拋物線C2:x8y的準(zhǔn)線與C1相交，所得弦長(zhǎng)為26.

(1)求C1的方程；

(2)若Ax1,y1,Bx2,y2在C2上，且x10x2，分別以A,B為切點(diǎn)，作C2的切線相交于點(diǎn)P，

點(diǎn)P恰好在C1