第八章立體幾何初步章末小結01知識回顧RetrospectiveKnowledge研究立體幾何內容的基本思路整體觀察空間幾何體認識結構特征、直觀圖了解表面積和體積計算方法抽象基本元素點、直線、平面直線與直線直線與平面平面與平面直線、平面的平行和垂直重點研究判定和性質直觀認識基本元素的位置關系結合長方體基本立體圖形柱體椎體臺體球多面體/旋轉體簡單組合體由簡單幾何體拼接而成、由簡單幾何體截去或挖去一部分而成用斜二測畫法畫直觀圖：（1）在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點O.畫直觀圖時，把它們畫成對應的x′軸與y′軸，兩軸相交于點O′，且使∠x′Oy′=45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面.（2）已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段.（3）已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，在直觀圖中長度為原來的一半.用斜二測畫法畫直觀圖：畫幾何體的直觀圖時，與畫平面圖形的直觀圖相比，只是多畫一個與x軸、y軸都垂直的z軸，并且使平行于z軸的線段的平行性和長度都不變.柱體、錐體、臺體的表面積公式柱體錐體臺體多面體圍成它們的各個面的面積的和旋轉體

r′=r柱體、錐體、臺體的體積公式柱體錐體臺體

S′=S球的表面積、體積公式表面積體積關于平面的基本事實與推論基本事實1過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面確定平面推論1經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面推論2經過兩條相交直線，有且只有一個平面推論3經過兩條平行直線，有且只有一個平面關于平面的基本事實與推論基本事實2如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內判斷直線是否在平面上基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線判斷點是否在直線上基本事實4平行于同一條直線的兩條直線平行.（空間中平行線的傳遞性）空間中“垂直于同一條直線的兩條直線平行”是不一定成立的！長方體在研究空間直線、平面之間的位置關系時的重要作用空間中直線與直線的位置關系共面直線相交直線有且只有一個公共點平行直線沒有公共點異面直線沒有公共點線線垂直：相交垂直、異面垂直空間中直線與平面的位置關系直線在平面內無數個公共點直線在平面外直線與平面相交有且只有一個公共點直線與平面平行沒有公共點空間中平面與平面的位置關系兩個平面平行沒有公共點兩個平面相交有一條公共直線空間角異面直線所成的角線面角二面角(及二面角的平面角)立體幾何中證明直線與直線平行的常用方法1.平行四邊形對邊平行2.三角形、梯形中位線平行于底邊3.基本事實4（平行線的傳遞性）4.直線與平面平行的性質定理5.平面與平面平行的性質定理6.直線與平面垂直的性質定理空間垂直關系的判定方法(1)判定線線垂直的方法①計算所成的角為90°(包括平面角和異面直線所成的角)；②線面垂直的性質(若a⊥α，b?α，則a⊥b)．(2)判定線面垂直的方法①線面垂直定義(一般不易驗證任意性)；②線面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b?α，c?α，b∩c＝M?a⊥α)；③平行線垂直平面的傳遞性質(a∥b，b⊥α?a⊥α)；④面面垂直的性質(α⊥β，α∩β＝l，a?β，a⊥l?a⊥α)；⑤面面平行的性質(a⊥α，α∥β?a⊥β)．(3)面面垂直的判定方法①根據定義(作兩平面構成二面角的平面角，計算其為90°)；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．02知

識

精

講ExquisiteKnowledge【例1】(1)我國古代數學名著《九章算術》對立體幾何也有深入的研究，從其中的一些數學用語可見，譬如“塹堵”意指底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱，“陽馬”指底面為矩形且有一側棱垂直于底面的四棱錐．現有一如圖所示的“塹堵”即三棱柱ABC-A1B1C1，其中AC⊥BC，若AA1＝AB＝1，當“陽馬”即四棱錐B-A1ACC1體積最大時，“塹堵”即三棱柱ABC-A1B1C1的表面積為

。【例1】(2)已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積為__________．【變式訓練1】(1)如圖是一個以△A1B1C1為底面的直三棱柱被一平面所截得到的幾何體，截面為△ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，則該幾何體的體積為

.6A2B2【變式訓練1】(2)一個球與一個正三棱柱的三個側面和兩個底面都相切，已知這個球的體積為π，那么這個正三棱柱的側面積為

.【例2】如圖所示，空間四邊形ABCD中，E，F分別為AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.求證：(1)E，F，G，H四點共面；(2)GE與HF的交點在直線AC上．【例2】如圖所示，空間四邊形ABCD中，E，F分別為AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.求證：(1)E，F，G，H四點共面；(2)GE與HF的交點在直線AC上．【變式訓練2】

如圖，O是正方體ABCD-A1B1C1D1上底面ABCD的中心，M是正方體對角線AC1和截面A1BD的交點．求證：O，M，A1三點共線．【例3】如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為平行四邊形，M，N分別是棱AB，PC的中點，平面CMN與平面PAD交于PE.求證：(1)MN∥平面PAD；(2)MN∥PE.O【例3】如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為平行四邊形，M，N分別是棱AB，PC的中點，平面CMN與平面PAD交于PE.求證：(1)MN∥平面PAD；(2)MN∥PE.【變式訓練3】

如圖，E，F，G，H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中點，求證：(1)GE∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.O【變式訓練3】

如圖，E，F，G，H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中點，求證：(1)GE∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.【例4】如圖，A，B，C，D為空間四點．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等邊△ADB以AB為軸運動．(1)當平面ADB⊥平面ABC時，求CD.(2)當△ADB轉動時，是否總有AB⊥CD？證明你的結論．E【例4】如圖，A，B，C，D為空間四點．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等邊△ADB以AB為軸運動．(1)當平面ADB⊥平面ABC時，求CD.(2)當△ADB轉動時，是否總有AB⊥CD？證明你的結論．【變式訓練4】如圖，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝，DF＝2BE＝2，BE∥DF，FC＝AF＝2.(1)求證：平面ACE⊥平面BDFE.(2)求點F到平面ACE的距離．【變式訓練4】如圖，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝，DF＝2BE＝2，BE∥DF，FC＝AF＝2.(2)求點F到平面ACE的距離．【例5】

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點．(1)求PB和平面PAD所成角的大小．(2)證明：AE⊥平面PCD.(3)求二面角A-PD-C的正弦值．【例5】

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點．(1)求PB和平面PAD所成角的大小．(2)證明：AE⊥平面PCD.(3)求二面角A-PD-C的正弦值．【例5】

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點．(3)求二面角A-PD-C的正弦值．M【變式訓練5】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.(1)求異面直線AP與BC所成角的余弦值．(2)求證：PD⊥平面PBC.(3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．【變式訓練5】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.(1)求異面直線AP與BC所成角的余弦值．(2)求證：PD⊥平面PBC.(3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．【變式訓練5】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.(3)求直線AB與平面P