高中數學空間向量及其運算考點講解

考點1:空間向量及其加減與數乘運算

1.概念

(1)空間向量：在空間中我們把具有大小和方向的量叫做空間向量.

(2)同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量.

(3)空間向量的加法與數乘向量運算滿足如下規律.

①加法交換律：a+b=b+a.

②加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c).

③數乘分配律：X(a+b)=Aa+Ab.

2.深化

(1)空間向量的學習要注意把平面向量的知識遷移過來，加以類比，實際上它們本質上

是一樣的，只是位置范圍擴大了.

(2)空間向量同平面向量一樣，沒有大小，能比較大小的是它們的模.

(3)平面內一個平移就是一個向量，在空間中仍然如此，空間中的一個平移也是一個向

量，且空間的平移包含平面的平移.學習空間向量要注意在平面向量的基礎上加深理解.

(4)空間向量的加法、減法、數乘運算，以及兩個空間向量的數量積的定義、運算律與

性質均與平面向量完全一樣，如：向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，向量減法的三

角形法則.

(5)首尾相接的若干向量之和等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量.因此,

求空間若干向量之和時可通過平移將它們轉化為首尾相接的向量.首尾相接的若干向量若構

成一個封閉圖形，則它們的和為0.如4ABC中外一點O,貝U蘇+赤+瑟=歷，

OA+AB+BC+CO=0.

［遷移體驗I

1」、在平行六面體ABCD—ABCTY中，向量而、彷、而是

A.有相同起點的向量B.等長的向量

C.共面向量D.不共面向量

1.2、平行六面體ABCD—AIBIGDI中，M為AC和BD的交點，若片q=a,AR=b,

A]4=

c,則下列式子中與病相等的是

B」a+—b+c

A.——a+—b+cC.—a------b+cD.------a

2222222

——b+c

2

考點2：空間共線向量

1?概念

(1)共線向量：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則稱這些向量

叫做共線向量或平行向量.a平行于b記作a〃b.

(2)共線向量定理：對空間任意兩個向量a、b(b￥O),a〃b的充要條件是存在實數X,

使a=Xb.

(3)推論：如果/為經過已知點A且平行于已知非零向量a的直線，那么對任一點0,點

P在直線/上的充要條件是存在實數t,滿足關系式OP=OA+tAB.

2.深化

(1)空間向量定理與平面向量完全相同，是平面向量的相關知識向空間的推廣.

(2)對于空間任意兩個向量a、b(b#)),此定理可以分解為以下兩個命題：a〃b=存在

唯一實數幾，使a=/lb.另一方面，若存在唯一實數幾使a=/lb,則2〃加其中第二個命題

是空間向量共線的判定定理.

(3)利用空間向量定理及推論可解決有關平行問題及三點共線問題等.

3.注意

空間兩向量平行與空間兩直線平行也是不同的，直線平行是不允許重合的，而兩向量平

行，它們所在的直線可以平行也可以重合

［遷移體驗］

1.3、下列命題中不正確的命題個數是

①若A、B、C、D是空間任意四點，則有而+說+CD+DA=0②|a|—|b|=|a+b|是a、

b共線的充要條件③若a、b共線，則a與b所在直線平行④對空間任意點O與不共線

的三點A、B、C,若。尸=xOA+yO8+zOC(其中x、y、z￡R),則P、A、B、C四點共

il：l-

A.lB.2C.3D.4

1.4、A是ABCD所在平面外一點，M、N分別是AABC和AACD的重心，若BD=4,試

求MN的長.

考點3:空間共面向量

1.概念

(1)共面向量：我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量.

(2)共面向量定理：如果兩個向量a、b不共線，則向量p與向量a、b共面的充要條件

是存在實數對x、y,使p=xa+yb.

(3)推論：空間一點P位于平面MAB內的充分必要條件是，存在有序實數對x、y,使

MP=xMA+yMB,或對空間任一定點O,^0P=0M+xMA+yMB.....①，我們稱

①式叫做平面MAB的向量表示式.

2.深化

(1)對于空間中的任意兩個向量來說都是共面的，但三個向量不一定共面.

(2)當p、a、b都是非零向量時，共面向量定理實際上也是p、a、b所在的三條直線共

面的充要條件,但用于判定時，還需證明其中一條直線上有一點在另外兩直線確定的平面內.

［遷移體驗］

1.5、設A、B、C及Ai、Bj、Ci分別是異面直線h、L上的三點，而M、N、P、Q分

別是線段AAI、BAHBBHCCI的中點.求證：M、N、P、Q四點共面.

考點4：空間向量基本定理

1.定理

(1)空間向量基本定理:如果向量A1不共面，那么對空間任意的向量P,存在一個唯一

的有序實數組X,y,Z,使萬=壇+yb+zc,｛a,b,c｝稱為基底,％反3稱為基向量.

⑵推論:設O、A、B、C是不共面的四點，對空間任意點P都存在唯一的有序數組x,y,z

使麗=晶+,而+z南

2.深化

(1)如果三個向量a、b、c不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是｛p|p=xa

+yb+zc,x、y、zGR｝.這個集合可看作是由向量a、b、c生成的，所以我們把｛a,

b,c｝叫做空間的一個基底，a、b、c都叫做基向量.由上述定理可知，空間任意三個

不共面的向量都可構成空間的,?個基底.

⑵推論中，若x+y+z=1,則根據共面向量定理得：P、A、B、C四點共面.故

OP=xOA+yOB+zOC

可看成平面ABC的一個向量參數方程，其中x,y,z為參數.

x+y+z=1

［遷移體驗］

1.6、設向量a、b、c不共面，則下列集合可作為空間的一個基底的是

A.{a+b,b—a,a}B.{a+b,b—a,b}C.{a+b,b—a,c}D.{a+b+c,

a+b,c}

1.7、0、A、B、C為空間四個點，又蘇、0B.0c為空間的一個基底，則

A.0、A、B、C四點不共線B.O、A、B、C四點共面，但不

共線

C.O、A,B、C四點中任意三點不共線D.O、A、B、C四點不共面

考點5：空間向量的數量積

1.概念

(1)空間向量的夾角：已知兩個非零向量a、b,在空間任取一點0,作礪=a,S8=b,

則ZAOB叫做向量a與b的夾角，記作<a,b>.

(2)空間向量的數量積：已知空間兩個向量a、b,則|a||b|cos<a,b>叫做向量a、b

的數量積，記作a-b,即a-b=|a||b|cos〈a,b>.

2.深化

⑴顯然(a,b)=(b,a),(a,b)e［0,句特別地(a,%)=￡時，稱a_Lb.

(2)空間兩個非零向量數量積的性質

①eu=ae=|a|cos(a,e)

@alb<=>ab=0

③當a與》同向時，ab=\a\\b\;當a與b反向時,ab=-\a\\b\a

特別的aa=|a|2或Iab^aa

~.ab

④cos(a,b)-------

'/1。1聞

@a-b\<\a\\b\

(3)空間兩個非零向量數量積的運算律

①交換律：ab=b-a

②(Xa)b-X(ab)-a-(,kb)

③分配律(a+b)c=ac+be

3.注意

(D兩個向量的數量積是一個實數，不是向量，符號由COS0的符號所決定。

(2)兩個向量的數量積稱為內積，寫成a-b;今后要學到兩個向量的外積axb,而ab兩個

數量的積，書寫時要嚴格區分。

(3)在實數中，若a#0,且a-b=0,則b=0;但是在數量積中，若aM,且a-b=0,不能推

出b=0o因為其中cos。有可能為0。

(4)已知實數a、b、c(bwO),則ab=bcna=c。在向量中a-b=b-c并不一定有a=c

(5)在實數中，有(a-b)c=a(b-c),但是(a-b)cHa(b?

［遷移體驗］

1.8、在以下四個式子中正確的有a+b-c,a-(b-c),a(b-c),|a-b|=|a||b|

A.l個B.2個C.3個D.O個

1.9、已知a+3b與7a-5b垂直，且a—4b與7a—2b垂直，則<a,b>=.

1.10、沿著正四面體OABC的三條棱3、OB.5?的方向有大小等于1、2、3的三

個力6、f2、f3.試求此三個力的合力f的大小以及此合力與三條棱所夾角的余弦.

0

[遷移體驗]答案

1」、解析：?.?彷一府=小方=而，，而、AD'.而共面.答案：C.

■''?一'?..I..”■?I”，*I.

1.2、解析：B[M=B[B+BM=BtB+-(BA+BC)=&A--4鳥+-AXDy=c

—[a+』b,故選A.

22

1.3、解析：易知只有①是正確的，對于④，若0e平面ABC,則3、0B,無不共

面，由空間向量基本定理知，P可為空間任一點，所以P、A、B、C四點不一定共面.答案：

C

14、解：連結AM并延長與BC相交于E,連結AN并延長與CD相交于E,則E、F

，一..2，.2.2.，.

分別是BC及CD的中點.現在MN=4V-AM=-AF--AE=-(AF-AE)

333

2—k21*—*21—*11—*1—--*1—?—>—*

=-EF=-(CF-CE)=-{-CD--CB)=—(CD—CB)=—BD.：.MN=\MN\=

3332233

1—*14

町二一BD二—.

333

說明：本題的關鍵是利用重心這一特殊位置逐步進行轉化.

.I..I.....?.

1.5、證明：NM=-BA,NP=-,ABA=2NM,A】B]=2NP.

又?.?麗=;(正+而),(*)

A、B、C及Ai、BHG分別共線，.?.說=入礪=2而，病=3相=23瓶.

RA(*)式得而=-(2入而+23而)=\NM+a)NP,：.PQ,麗、麗共面.

2

...M、N、P、Q四點共面.

1.6、解析：由已知及向量共面定理，易得a+b,b-a,c不共面，故可作為空間的一個

基底，故選C.答案：C

1.7、解析：由基底意義，OA.0B,無三個向量不共面，但A、B、C三種情形都有

可能使厲、麗、衣共面.只有D才能使這三個向量不共面，故應選D.

1.8、解析：根據數量積的定義，b?c是一個實數，a+b-c無意義.實數與向量無數量積,

故a?(b,c)錯，|a?b|=|a||b||cos〈a,b>|,只有a(b-c)正確.答案：A.

1.9、解析：由條件知(a+3b)?(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16a-b=0,及(a-4b)■(7a-

2b)=7|aF+8