江蘇省揚(yáng)州市2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（一）一.選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分，每小題僅有一個(gè)答案正確，請(qǐng)把你認(rèn)為正確的答案填寫在答題紙相應(yīng)位置。）1．（3分）下列屬于一元二次方程的是（）A．a(chǎn)x2﹣3x+2＝0 B． C．x2+5x＝0 D．x（x2﹣4x）＝32．（3分）若⊙O的半徑為4，圓心O到直線l的距離為5，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．無(wú)法確定3．（3分）已知5個(gè)數(shù)a1、a2、a3、a4、a5的平均數(shù)是a，則數(shù)據(jù)a1+1，a2+1，a3+1，a4+1，a5+1的平均數(shù)為（）A．a(chǎn)+1 B．a(chǎn) C．a(chǎn) D．2a4．（3分）若a+3b＝0，且ab≠0，則的值等于（）A．5 B．﹣5 C．6 D．﹣65．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0，下列變形結(jié)果正確的是（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝7 C．（x﹣4）2＝1 D．（x﹣4）2＝76．（3分）一組數(shù)據(jù)26，32，32，36，46，■7，52進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，其中一個(gè)兩位數(shù)的十位上的數(shù)字被墨水涂污看不到，則下列統(tǒng)計(jì)量與被涂污數(shù)字無(wú)關(guān)的是（）A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．方差7．（3分）將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點(diǎn)C在半圓上．點(diǎn)A、B的讀數(shù)分別為86°、30°，則∠ACB的大小為（）A．15° B．28° C．29° D．34°8．（3分）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是正方形對(duì)角線BD所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE，以AE為斜邊作等腰Rt△AEF（點(diǎn)A，E，F(xiàn)按逆時(shí)針排序），則CF長(zhǎng)的最小值為（）A． B． C．4 D．2二.填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，請(qǐng)把你認(rèn)為正確的答案填寫在答題紙相應(yīng)位置。）9．（3分）若關(guān)于x的方程（m+2）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，則m的取值范圍是．10．（3分）已知線段a＝2，b＝8，則a，b的比例中項(xiàng)是．11．（3分）超市決定招聘廣告策劃人員一名，某應(yīng)聘者三項(xiàng)素質(zhì)測(cè)試的成績(jī)?nèi)绫恚簻y(cè)試項(xiàng)目創(chuàng)新能力綜合知識(shí)語(yǔ)言表達(dá)測(cè)試成績(jī)（分?jǐn)?shù)）708090將創(chuàng)新能力、綜合知識(shí)和語(yǔ)言表達(dá)三項(xiàng)測(cè)試成績(jī)按5：3：2的比例計(jì)入總成績(jī)，則該應(yīng)聘者的總成績(jī)是分．12．（3分）已知點(diǎn)O是△ABC的外心，且AO+BO＝6，則CO＝．13．（3分）某公司2月份的利潤(rùn)為160萬(wàn)元，4月份的利潤(rùn)250萬(wàn)元，則平均每月的增長(zhǎng)率為．14．（3分）已知某組數(shù)據(jù)方差為S2＝，則的值為．15．（3分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，正方形EFBG和正方形ABCD是以O(shè)為位似中心的位似圖形，位似比為1：2，點(diǎn)F，B，C在x軸上，若AD＝6，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為．16．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根為x＝2023，則關(guān)于x的方程a（x+2）2+bx+2b+c＝0的根為．17．（3分）如圖，由4個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的圖形，若⊙O經(jīng)過(guò)其頂點(diǎn)A、B、C，則圓心O到AB的距離為．18．（3分）如圖，E是⊙O的直徑AB上一點(diǎn)，AB＝10，BE＝2，過(guò)點(diǎn)E作弦CD⊥AB，P是上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP，過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥PD，垂足為Q，則OQ的最小值為．三.解答題（本大題共10小題，共96分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)把答案填寫在答題紙相應(yīng)位置。）19．（8分）解下列方程：（1）x2+4x﹣1＝0；（2）（x﹣1）（x+3）＝5（x﹣1）．20．（8分）甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在相同條件下6次射擊成績(jī)的折線統(tǒng)計(jì)圖如下：（1）填表（單位：環(huán)）平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)甲的射擊成績(jī)8乙的射擊成績(jī)8（2）計(jì)算甲、乙射擊成績(jī)的方差，并判斷哪位運(yùn)動(dòng)員的射擊成績(jī)更穩(wěn)定？21．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x﹣3m＝0．（1）證明：無(wú)論m取何值，此方程必有實(shí)數(shù)根；（2）等腰三角形ABC中，AB＝1，AC、BC的長(zhǎng)是此方程的兩個(gè)根，求m的值．22．（8分）直播購(gòu)物逐漸走進(jìn)了人們的生活．某電商在抖音上對(duì)一款成本價(jià)為40元的小商品進(jìn)行直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件．通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品售價(jià)每降低5元，日銷售量增加10件．（1）當(dāng)每件的售價(jià)為50元時(shí)，日銷量為件；（2）若日利潤(rùn)為448元，為了盡快減少庫(kù)存，每件售價(jià)應(yīng)定為多少元？23．（10分）請(qǐng)按下列要求作圖．（1）如圖1，在方格紙中，點(diǎn)A在圓上，僅用無(wú)刻度直尺過(guò)點(diǎn)A畫(huà)出圓的切線；（2）如圖2，已知⊙O2，點(diǎn)Q在⊙O2外，用尺規(guī)作⊙O2上所有過(guò)點(diǎn)Q的切線．（保留作圖痕跡）24．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AC邊上，以AD為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)E，連接CE，且CB＝CE．（1）求證：CE是⊙O的切線；（2）若CD＝2，AB＝4，求⊙O的半徑．25．（10分）閱讀材料，解答問(wèn)題：我們?cè)谔骄恳辉畏匠谈c系數(shù)的關(guān)系中發(fā)現(xiàn)，如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)根是x1，x2，那么由求根公式可以推出x1+x2＝﹣，x1?x2＝；已知實(shí)數(shù)m，n滿足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，則m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可知m+n＝1，mn＝﹣1．根據(jù)上述材料，解決以下問(wèn)題：（1）直接應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)a，b滿足：a2﹣7a+1＝0，b2﹣7b+1＝0，且a≠b，則a+b＝，ab＝；（2）間接應(yīng)用：在（1）條件下，求的值；（3）拓展應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)m，n滿足：＝7，n2﹣n＝7且mn+1≠0，求﹣n的值．26．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．（1）經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓弧所在圓的圓心M的坐標(biāo)為；（2）這個(gè)圓的半徑為；（3）直接判斷點(diǎn)D（5，﹣2）與⊙M的位置關(guān)系．點(diǎn)D（5，﹣2）在⊙M（填內(nèi)、外、上）；（4）在方格中，連接AB，AC，BC，將△ABC以原點(diǎn)O為位似中心，縮小為原來(lái)的，請(qǐng)畫(huà)出縮小后的圖形△A1B1C1．27．（12分）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD?AB．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在平行四邊形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)為CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的長(zhǎng)．【拓展提高】（3）如圖3，在菱形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，EF∥AC，AC＝2EF，，AE＝3，DF＝6，則菱形ABCD的邊長(zhǎng)為．28．（12分）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，點(diǎn)P以3cm/s的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以4cm/s的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜2），⊙M是△PQB的外接圓．（1）當(dāng)t＝1時(shí)，⊙M的半徑是cm，⊙M與直線CD的位置關(guān)系是；（2）在點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)⊙M與矩形ABCD相切時(shí)，求t的值．（3）連接PD，交⊙M于點(diǎn)N，如圖2，當(dāng)∠APD＝∠NBQ時(shí)，t的值是．

答案與試題解析一.選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分，每小題僅有一個(gè)答案正確，請(qǐng)把你認(rèn)為正確的答案填寫在答題紙相應(yīng)位置。）1．（3分）下列屬于一元二次方程的是（）A．a(chǎn)x2﹣3x+2＝0 B． C．x2+5x＝0 D．x（x2﹣4x）＝3【分析】根據(jù)定義（只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程）判斷即可．解：A、ax2﹣3x+2＝0當(dāng)a＝0時(shí)方程變?yōu)橐辉淮畏匠蹋时具x項(xiàng)不符合題意；B、有分式不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；C、x2+5x＝0滿足一元二次方程的定義，故本選項(xiàng)符合題意；D、x（x2﹣4x）＝3去括號(hào)并移項(xiàng)后為x3﹣4x2﹣3＝0是一元三次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次方程的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)的靈活運(yùn)用．2．（3分）若⊙O的半徑為4，圓心O到直線l的距離為5，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．無(wú)法確定【分析】若d＜r，則直線與圓相交；若d＝r，則直線于圓相切；若d＞r，則直線與圓相離．解：根據(jù)圓心到直線的距離5大于圓的半徑4，則直線和圓相離．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，能夠熟練運(yùn)用數(shù)量關(guān)系判斷直線和圓的位置關(guān)系．3．（3分）已知5個(gè)數(shù)a1、a2、a3、a4、a5的平均數(shù)是a，則數(shù)據(jù)a1+1，a2+1，a3+1，a4+1，a5+1的平均數(shù)為（）A．a(chǎn)+1 B．a(chǎn) C．a(chǎn) D．2a【分析】根據(jù)平均數(shù)的算法計(jì)算即可．解：由題意得，，則a1+1，a2+1，a3+1，a4+1，a5+1的平均數(shù)為：，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平均數(shù)的概念，熟練掌握算術(shù)平均數(shù)是計(jì)算是關(guān)鍵．4．（3分）若a+3b＝0，且ab≠0，則的值等于（）A．5 B．﹣5 C．6 D．﹣6【分析】直接利用已知代入分式化簡(jiǎn)得出答案．解：∵a+3b＝0，且ab≠0，∴a＝﹣3b，則分式．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式化簡(jiǎn)求值，正確對(duì)式子進(jìn)行變形，化簡(jiǎn)求值是解決本題的關(guān)鍵．在解題過(guò)程中要注意思考已知條件的作用．5．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0，下列變形結(jié)果正確的是（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝7 C．（x﹣4）2＝1 D．（x﹣4）2＝7【分析】首先移項(xiàng)，再進(jìn)行配方，方程左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，即可變形成左邊是完全平方，右邊是常數(shù)的形式．解：x2﹣4x﹣3＝0，∴x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵．6．（3分）一組數(shù)據(jù)26，32，32，36，46，■7，52進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，其中一個(gè)兩位數(shù)的十位上的數(shù)字被墨水涂污看不到，則下列統(tǒng)計(jì)量與被涂污數(shù)字無(wú)關(guān)的是（）A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．方差【分析】利用平均數(shù)、中位數(shù)、方差和眾數(shù)的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．解：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差和中位數(shù)都與第6個(gè)數(shù)有關(guān)，而這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與第6個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查統(tǒng)計(jì)的有關(guān)知識(shí)，主要包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義．7．（3分）將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點(diǎn)C在半圓上．點(diǎn)A、B的讀數(shù)分別為86°、30°，則∠ACB的大小為（）A．15° B．28° C．29° D．34°【分析】根據(jù)圓周角定理可知：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半，從而可求得∠ACB的度數(shù)．解：根據(jù)圓周角定理可知：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半，根據(jù)量角器的讀數(shù)方法可得：（86°﹣30°）÷2＝28°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)之間的關(guān)系：圓周角等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半．8．（3分）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是正方形對(duì)角線BD所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE，以AE為斜邊作等腰Rt△AEF（點(diǎn)A，E，F(xiàn)按逆時(shí)針排序），則CF長(zhǎng)的最小值為（）A． B． C．4 D．2【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和題干給定的△AEF是以AE為斜邊作等腰直角三角形，證明△GLA∽△FLE，得到進(jìn)一步證明△GLF∽△ALE，得到GF∥AB，由正方形的性質(zhì)得點(diǎn)H為BC的中點(diǎn)，有點(diǎn)F在BC的垂直平分線GH上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)H重合時(shí)，CF的值最小．解：連接AC交BD于點(diǎn)G，連接GF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)H，如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∠ABD＝45°，AB＝CB＝4，∵△AEF是以AE為斜邊作等腰直角三角形，∴AF＝EF，∠AFE＝90°，∠FAE＝∠FEA＝45°，∵BD⊥AC，∴∠AGL＝∠EFL＝90°，∵∠ALG＝∠ELF，∴△GLA∽△FLE，∴，則，∵∠GLF＝∠ALE，∴△GLF∽△ALE，∴∠LGF＝∠LAE＝45°，∴∠LGF＝∠ABD，則GF∥AB，∴∠GHC＝∠ABC＝90°，∵點(diǎn)G為正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，∴點(diǎn)H為BC的中點(diǎn)，∴點(diǎn)F在BC的垂直平分線GH上運(yùn)動(dòng)，∵CH⊥GH，∴當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)H重合時(shí)，CF的值最小，此時(shí)．即CF長(zhǎng)的最小值為2．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)和垂線段最短，利用相似的邊長(zhǎng)比證明對(duì)應(yīng)三角形邊長(zhǎng)的相似比，并找到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．二.填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，請(qǐng)把你認(rèn)為正確的答案填寫在答題紙相應(yīng)位置。）9．（3分）若關(guān)于x的方程（m+2）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，則m的取值范圍是m≠﹣2．【分析】方程（m+2）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，二次項(xiàng)系數(shù)不能為零，由此即可求解．解：根據(jù)題意得，m+2≠0，∴m≠﹣2，故m≠﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次方程的定義，掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．10．（3分）已知線段a＝2，b＝8，則a，b的比例中項(xiàng)是4．【分析】設(shè)線段a，b的比例中項(xiàng)為c，根據(jù)比例中項(xiàng)的定義可知，c2＝ab，代入數(shù)據(jù)可直接求得c的值，注意兩條線段的比例中項(xiàng)為正數(shù)．解：設(shè)線段a，b的比例中項(xiàng)為c，∵c是長(zhǎng)度分別為2、8的兩條線段的比例中項(xiàng)，∴c2＝ab＝2×8，即c2＝16，∴c＝4（負(fù)數(shù)舍去）．故4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線段的比．根據(jù)比例的性質(zhì)列方程求解即可．解題的關(guān)鍵是掌握比例中項(xiàng)的定義，如果a：b＝b：c，即b2＝ac，那么b叫做a與c的比例中項(xiàng)．11．（3分）超市決定招聘廣告策劃人員一名，某應(yīng)聘者三項(xiàng)素質(zhì)測(cè)試的成績(jī)?nèi)绫恚簻y(cè)試項(xiàng)目創(chuàng)新能力綜合知識(shí)語(yǔ)言表達(dá)測(cè)試成績(jī)（分?jǐn)?shù)）708090將創(chuàng)新能力、綜合知識(shí)和語(yǔ)言表達(dá)三項(xiàng)測(cè)試成績(jī)按5：3：2的比例計(jì)入總成績(jī)，則該應(yīng)聘者的總成績(jī)是77分．【分析】根據(jù)該應(yīng)聘者的總成績(jī)＝創(chuàng)新能力×所占的比值+綜合知識(shí)×所占的比值+語(yǔ)言表達(dá)×所占的比值即可求得．解：根據(jù)題意，該應(yīng)聘者的總成績(jī)是：70×+80×+90×＝77（分），故77．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了加權(quán)平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟記加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法．12．（3分）已知點(diǎn)O是△ABC的外心，且AO+BO＝6，則CO＝3．【分析】根據(jù)三角形外心的性質(zhì)結(jié)合AO+BO＝6，即可求解．解：∵點(diǎn)O是△ABC的外心，∴AO＝BO＝CO，∵AO+BO＝6，∴CO＝3，故3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，熟記三角形外接圓的圓心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．13．（3分）某公司2月份的利潤(rùn)為160萬(wàn)元，4月份的利潤(rùn)250萬(wàn)元，則平均每月的增長(zhǎng)率為25%．【分析】設(shè)平均每月的增長(zhǎng)率是x，根據(jù)2月份的利潤(rùn)為160萬(wàn)元，4月份的利潤(rùn)250萬(wàn)元，可列方程求解．解：設(shè)平均每月的增長(zhǎng)率是x，根據(jù)題意得160（1+x）2＝250，解得x＝25%或x＝﹣225%（舍去）．答：平均每月的增長(zhǎng)率是25%．故25%．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用﹣﹣增長(zhǎng)率問(wèn)題，若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，增長(zhǎng)率為x，則經(jīng)過(guò)兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2＝b（當(dāng)增長(zhǎng)時(shí)中間的“±”號(hào)選“+”，當(dāng)降低時(shí)中間的“±”號(hào)選“﹣”）．14．（3分）已知某組數(shù)據(jù)方差為S2＝，則的值為4．【分析】由題意知，這組數(shù)據(jù)為2、3、3、8，再根據(jù)平均數(shù)的定義求解即可．解：由題意知，這組數(shù)據(jù)為2、3、3、8，所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為＝4，故4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查方差，解題的關(guān)鍵是掌握方差的計(jì)算公式和算術(shù)平均數(shù)的定義．15．（3分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，正方形EFBG和正方形ABCD是以O(shè)為位似中心的位似圖形，位似比為1：2，點(diǎn)F，B，C在x軸上，若AD＝6，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（6，3）．【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到BG∥CD，證明△OBG∽△OCD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．解：∵正方形EFBG和正方形ABCD是以O(shè)為位似中心的位似圖形，位似比為1：2，∴BG∥CD，＝，∴△OBG∽△OCD，∴＝＝，即，解得：OB＝6，BG＝3，∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（6，3），故（6，3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)，根據(jù)位似圖形的概念得到BG∥CD是解題的關(guān)鍵．16．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根為x＝2023，則關(guān)于x的方程a（x+2）2+bx+2b+c＝0的根為x＝2021．【分析】結(jié)合已知條件得到x+2＝2022，求得x即可．解：a（x+2）2+bx+2b+c＝0整理得a（x+2）2+b（x+2）+c＝0，∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根為x＝2023，∴關(guān)于x的方程a（x+2）2+b（x+2）+c＝0，其中一根為x+2＝2023，解得x＝2021．故x＝2021．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解的定義，根據(jù)題意得到x+2＝2023是解題的難點(diǎn)．17．（3分）如圖，由4個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的圖形，若⊙O經(jīng)過(guò)其頂點(diǎn)A、B、C，則圓心O到AB的距離為．【分析】取AB的中點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB交AB于點(diǎn)D，交CF于點(diǎn)E，則圓心O在DE上，在取DE上取圓心O，連接OB，OC，根據(jù)題意可得DE⊥CF，，DE＝3，OB＝OC，再由勾股定理可得OD2+BD2＝OE2+CE2，即可求解．解：如圖，取AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB交AB于點(diǎn)D，交CF于點(diǎn)E，則圓心O在DE上，在取DE上取圓心O，連接OB，OC，根據(jù)題意得：DE⊥CF，，DE＝3，OB＝OC，∵OB2＝OD2+BD2，OC2＝OE2+CE2，∴OD2+BD2＝OE2+CE2，∴，解得：，即圓心O到AB的距離為．故．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，根據(jù)題意得到圓心的位置是解題的關(guān)鍵．18．（3分）如圖，E是⊙O的直徑AB上一點(diǎn)，AB＝10，BE＝2，過(guò)點(diǎn)E作弦CD⊥AB，P是上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP，過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥PD，垂足為Q，則OQ的最小值為．【分析】先根據(jù)圓周角定理判斷點(diǎn)Q在以AD為直徑的圓上，連接AD，以AD為直徑作⊙M，如圖，連接MO并延長(zhǎng)交⊙M于Q′，則當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q′時(shí)，OQ的值最小，連接OD，再利用勾股定理計(jì)算出DE、AD、OM，然后計(jì)算OQ′即可．解：∵AQ⊥PD，垂足為Q，∴∠AQD＝90°，∴點(diǎn)Q在以AD為直徑的圓上，連接AD，以AD為直徑作⊙M，如圖，連接MO并延長(zhǎng)交⊙M于Q′，當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q′時(shí)，OQ的值最小，連接OD，在Rt△ODE中，∵OD＝5，OE＝5﹣2＝3，∴DE＝＝4，在Rt△ADE中，AD＝＝4，∴MA＝MQ′＝2，在Rt△AOM中，OM＝＝，∴OQ′＝MQ′﹣OM＝2﹣＝，∴OQ的最小值為．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．也考查了圓周角定理和勾股定理．三.解答題（本大題共10小題，共96分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)把答案填寫在答題紙相應(yīng)位置。）19．（8分）解下列方程：（1）x2+4x﹣1＝0；（2）（x﹣1）（x+3）＝5（x﹣1）．【分析】（1）利用公式法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．解：（1）∵a＝1，b＝4，c＝﹣1，∴△＝42﹣4×1×（﹣1）＝20＞0，則x＝＝＝﹣2，即x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；（2）∵（x﹣1）（x+3）﹣5（x﹣1）＝0，∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，則x﹣1＝0或x﹣2＝0，解得x1＝1，x2＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．20．（8分）甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在相同條件下6次射擊成績(jī)的折線統(tǒng)計(jì)圖如下：（1）填表（單位：環(huán)）平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)甲的射擊成績(jī)888乙的射擊成績(jī)88.59（2）計(jì)算甲、乙射擊成績(jī)的方差，并判斷哪位運(yùn)動(dòng)員的射擊成績(jī)更穩(wěn)定？【分析】（1）根據(jù)圖得出兩運(yùn)動(dòng)員的涉及環(huán)數(shù)，依據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的定義求解即可；（2）根據(jù)方差的定義計(jì)算，再依據(jù)方差的意義求解即可．解：（1）∵甲的6次射擊成績(jī)?yōu)椋?、8、7、10、8、9，∴平均數(shù)：，8環(huán)出現(xiàn)2次，其他均為1次，即眾數(shù)為8，∵乙的6次射擊成績(jī)?yōu)椋?、6、9、7、9、8，∴排列為：6、7、8、9、9、9，中位數(shù)為，9環(huán)出現(xiàn)3次，其他均為1次，即眾數(shù)為9，（2）甲射擊成績(jī)的方差為：，乙射擊成績(jī)的方差為，∵，∴乙運(yùn)動(dòng)員的射擊成績(jī)更穩(wěn)定．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查折線統(tǒng)計(jì)圖，21．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x﹣3m＝0．（1）證明：無(wú)論m取何值，此方程必有實(shí)數(shù)根；（2）等腰三角形ABC中，AB＝1，AC、BC的長(zhǎng)是此方程的兩個(gè)根，求m的值．【分析】（1）證明Δ＞0即可；（2）根據(jù)△ABC是等腰三角形分類討論即可．（1）證明：∵Δ＝（m﹣3）2﹣4×1×（﹣3m）＝m2﹣6m+9+12m＝m2+6m+9＝（m+3）2≥0，∴無(wú)論m取何值，此方程必有實(shí)數(shù)根；（2）解：當(dāng)AB＝1為腰時(shí)，則AC或BC有一條邊為腰，x2+（m﹣3）x﹣3m＝0的解為1，∴1+（m﹣3）﹣3m＝0，解得：m＝﹣1，∵m＝﹣1時(shí)原方程兩根為1和3，此時(shí)三角形三邊為1，1，3，這樣的三角形不存在，∴m＝﹣1不合題意，應(yīng)舍去，當(dāng)AB＝1為底時(shí)，則AC，BC為腰，方程x2+（m﹣3）x﹣3m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，Δ＝（m+3）2＝0，解得m＝﹣3，綜上所述，m的值﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式，解一元二次方程，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握一元二次方程根的判別式的求法是解題的關(guān)鍵．22．（8分）直播購(gòu)物逐漸走進(jìn)了人們的生活．某電商在抖音上對(duì)一款成本價(jià)為40元的小商品進(jìn)行直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件．通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品售價(jià)每降低5元，日銷售量增加10件．（1）當(dāng)每件的售價(jià)為50元時(shí)，日銷量為40件；（2）若日利潤(rùn)為448元，為了盡快減少庫(kù)存，每件售價(jià)應(yīng)定為多少元？【分析】（1）利用日銷售量＝20+2×降低的價(jià)格，即可求出結(jié)論；（2）設(shè)每件售價(jià)應(yīng)定為x元，則每件的銷售利潤(rùn)為（x﹣40）元，日銷售量為（140﹣2x）件，利用總利潤(rùn)＝每件的銷售利潤(rùn)×日銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合商家想盡快銷售完該款商品，即可得出每件售價(jià)．解：（1）20+×10＝20+2×10＝20+20＝40．答：當(dāng)每件售價(jià)為50元時(shí)，日銷量是40件．故40；（2）設(shè)每件售價(jià)應(yīng)定為x元，則每件的銷售利潤(rùn)為（x﹣40）元，日銷售量為20+×10＝（140﹣2x）（件），依題意得：（x﹣40）（140﹣2x）＝448，整理得：x2﹣110x+3024＝0，解得：x1＝54，x2＝56，又∵商家想盡快銷售完該款商品，∴x＝54．答：每件售價(jià)應(yīng)定為54元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，列式計(jì)算；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．23．（10分）請(qǐng)按下列要求作圖．（1）如圖1，在方格紙中，點(diǎn)A在圓上，僅用無(wú)刻度直尺過(guò)點(diǎn)A畫(huà)出圓的切線；（2）如圖2，已知⊙O2，點(diǎn)Q在⊙O2外，用尺規(guī)作⊙O2上所有過(guò)點(diǎn)Q的切線．（保留作圖痕跡）【分析】（1）根據(jù)方格的特征，因?yàn)锽D＝AE，∠BDA＝∠AEC＝90°，AD＝EC，得AB是直徑，△ABD≌△CAE，即得∠BAD+∠ABD＝∠BAD+∠EAC＝∠BAC＝90°，據(jù)此作圖即可；（2）連接QO2，再作線段QO2的垂直平分線，交QO2于一點(diǎn)，即為點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，OQ為半徑，⊙O2相交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，連接QA，QB，因?yàn)镼O2為直徑，∠QAO2＝90°＝∠QBO2，即為切線l2，切線l2′，即可作答．解：（1）如圖1，直線AC即為所求：；（2）所有過(guò)點(diǎn)Q的切線為切線l2，切線l2′，如圖2所示：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線（尺規(guī)作圖）以及方格作圖，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．24．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AC邊上，以AD為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)E，連接CE，且CB＝CE．（1）求證：CE是⊙O的切線；（2）若CD＝2，AB＝4，求⊙O的半徑．【分析】（1）連接OE，DE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和直徑所對(duì)圓周角是直角得∠OEC＝90°，于是得到結(jié)論；（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則OD＝OE＝r，OC＝r+2，AC＝2r+2，由AC2+BC2＝AB2，OE2+CE2＝OC2得到關(guān)于r的方程，即可求出半徑．（1）證明：如圖，連接OE，DE，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵AD是⊙O的直徑，∴∠AED＝∠DEB＝90°，∴∠DEC+∠CEB＝90°，∵CE＝BC，∴∠B＝∠CEB，∴∠A＝∠DEC，∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE，∵∠A+∠ADE＝90°，∴∠DEC+∠OED＝90°，即∠OEC＝90°，∴OE⊥CE．∵OE是⊙O的半徑，∴CE是⊙O的切線；（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝2，AB＝4，BC＝CE，設(shè)⊙O的半徑為r，則OD＝OE＝r，OC＝r+2，AC＝2r+2，∴AC2+BC2＝AB2，∴（2r+2）2+BC2＝（4）2，在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，∴OE2+CE2＝OC2，∴r2+BC2＝（r+2）2，∴BC2＝（r+2）2﹣r2，∴（2r+2）2+（r+2）2﹣r2＝（4）2，解得r＝3，或r＝﹣6（舍去）．∴⊙O的半徑為3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的判定、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，掌握切線的判定定理、勾股定理是解題的關(guān)鍵．25．（10分）閱讀材料，解答問(wèn)題：我們?cè)谔骄恳辉畏匠谈c系數(shù)的關(guān)系中發(fā)現(xiàn)，如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)根是x1，x2，那么由求根公式可以推出x1+x2＝﹣，x1?x2＝；已知實(shí)數(shù)m，n滿足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，則m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可知m+n＝1，mn＝﹣1．根據(jù)上述材料，解決以下問(wèn)題：（1）直接應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)a，b滿足：a2﹣7a+1＝0，b2﹣7b+1＝0，且a≠b，則a+b＝7，ab＝1；（2）間接應(yīng)用：在（1）條件下，求的值；（3）拓展應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)m，n滿足：＝7，n2﹣n＝7且mn+1≠0，求﹣n的值．【分析】（1）由題意可知a、b是方程x2﹣7x+1＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，再由根與系數(shù)的關(guān)系可得a+b＝7，ab＝1；（2）將所求式子變形為，再將（1）的代數(shù)式代入求值即可；（3）由題意可知、﹣n是方程x2+x﹣7＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，再由根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．解：（1）∵a2﹣7a+1＝0，b2﹣7b+1＝0，且a≠b，∴a，b是方程x2﹣7x+1＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴a+b＝7，ab＝1，故7，1；（2）＝＝，∵a+b＝7，ab＝1，∴原式＝；（3）∵，n2﹣n＝7且mn+1≠0，∴、﹣n是方程x2+x﹣7＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，弄懂題干所給的例子，靈活應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．26．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．（1）經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓弧所在圓的圓心M的坐標(biāo)為（2，0）；（2）這個(gè)圓的半徑為；（3）直接判斷點(diǎn)D（5，﹣2）與⊙M的位置關(guān)系．點(diǎn)D（5，﹣2）在⊙M內(nèi)（填內(nèi)、外、上）；（4）在方格中，連接AB，AC，BC，將△ABC以原點(diǎn)O為位似中心，縮小為原來(lái)的，請(qǐng)畫(huà)出縮小后的圖形△A1B1C1．【分析】（1）連接AB，BC，分別作線段AB，BC的垂直平分線，交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M即為經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓弧所在圓的圓心，即可得出答案．（2）連接AM，利用勾股定理求出AM的值，即可得出答案．（3）連接DM，利用勾股定理求出DM的值，與⊙M的半徑作比較，即可得出結(jié)論．（4）利用位似的性質(zhì)作圖即可．解：（1）連接AB，BC，分別作線段AB，BC的垂直平分線，交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M即為經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓弧所在圓的圓心，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）．故（2，0）．（2）連接AM，由勾股定理得，AM＝＝，∴這個(gè)圓的半徑為．故．（3）連接DM，由勾股定理得，DM＝＝，∵＜2，∴點(diǎn)D（5，﹣2）在⊙M內(nèi)．故內(nèi)．（4）如圖，△A1B1C1即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣位似變換、垂徑定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟練掌握位似的性質(zhì)、垂徑定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．27．（12分）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD?AB．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在平行四邊形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)為CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的長(zhǎng)．【拓展提高】（3）如圖3，在菱形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，EF∥AC，AC＝2EF，，AE＝3，DF＝6，則菱形ABCD的邊長(zhǎng)為．【分析】（1）證明△ADC∽△ACB，得出，則可得出結(jié)論；（2）證明△BFE∽△BCF，得出比例線段，則BF2＝BE?BC，求出BC，則可求出AD．（3）分別延長(zhǎng)EF，DC相交于點(diǎn)G，證得四邊形AEGC為平行四邊形，得出AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，證明△EDF∽△EGD，得出比例線段，則，可求出DG，則答案可求出．（1）證明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB．∴．∴AC2＝AD?AB；（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，又∵∠BFE＝∠A，∴∠BFE＝∠C．又∵∠FBE＝∠CBF，∴△BFE∽△BCF．∴．∴BF2＝BE?BC．∴，∴；（3）解：如圖，分別延長(zhǎng)EF，DC相交于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥DC，∵AC∥EF，∴四邊形AEGC為平行四邊形，∴AC＝EG，CG＝AE＝3，∠EAC＝∠G，∵，∴∠EDF＝∠BAC．∴∠EDF＝∠G．又∵∠DEF＝∠GED，∴△EDF∽△EGD．∴．∴DE2＝EF?EG．又∵EG＝AC＝2EF，∴DE2＝2EF2．∴．又∵，∴∴則菱形ABCD的邊長(zhǎng)為，故．【點(diǎn)評(píng)】此題考查相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，正確掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．28．（12分）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，點(diǎn)P以3cm/s的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以4cm/s的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜2），⊙M是△PQB的外接圓．（1）當(dāng)t＝1時(shí)，⊙M的半徑是cm，⊙M與直線CD的位置關(guān)系是相離；（2）在點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)⊙M與矩形ABCD相切時(shí)，求t的值．（3）連接PD，交⊙M于點(diǎn)N，如圖2，當(dāng)∠APD＝∠NBQ時(shí)，t的值是．【分析】（1）先求出PB，BQ的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可得PQ的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形的外接圓直徑是斜邊即可求解；（2）如圖3，根據(jù)切線的性質(zhì)作輔助線EF，則EF⊥AD，EF⊥BC，由EF＝FM+ME列方程即可求解；（3）如圖4，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明AP＝PQ，AD＝DQ，最后根據(jù)勾股定理列方程即可求解．解：（1）如圖1，過(guò)M作KN⊥AB于N，交CD于K，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AB∥CD，∴⊙M的直徑是PQ，KN⊥CD，當(dāng)t＝1時(shí)，AP＝3，CQ＝4，∵AB＝6，BC＝8，∴PB＝6﹣3＝3，BQ＝8﹣4＝4，∴PQ＝＝5，∴⊙M的半徑為cm，∵M(jìn)N∥BQ，M是PQ的中點(diǎn)，∴PN＝BN，∴MN是△PQB的中位線，∴MN＝BQ＝×4＝2，∴MK＝8﹣2＝6＞，∴⊙M與直線CD的位置關(guān)系是相離；故，相離；（2）如圖3，當(dāng)⊙M與AD相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為F，連接FM并延長(zhǎng)交BC于E，則EF⊥AD，EF⊥BC，則BQ＝8﹣4t，PB＝6﹣3t，∴PQ＝10﹣5t，∴PM＝＝FM＝5﹣t，△BPQ中，ME＝PB＝3﹣t，∵EF＝FM+ME，∴5﹣t+3﹣t＝6，解得：t＝；當(dāng)⊙M與AD相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為F，連接FM并延長(zhǎng)交BC于E，則EF⊥CD，EF⊥AB，則BQ＝8﹣4t，PB＝6﹣3t，∴PQ＝10﹣5t，∴PM＝＝EM＝5﹣t，∴MF＝EF﹣ME＝，∴8﹣（5﹣t）＝，解得：t＝；綜上所述：當(dāng)⊙M與矩形ABCD相切時(shí)t＝或；（3）如圖4，過(guò)D作DG⊥PQ，交PQ的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接DQ，∵∠APD＝∠NBQ，∠NBQ＝∠NPQ，∴∠APD＝∠NPQ，∵∠A＝90°，DG⊥PG，∴AD＝DG＝8，∵PD＝PD，∴Rt△APD≌Rt△GPD（HL），∴PG＝AP＝3t，∵BQ＝8﹣4t，PB＝6﹣3t，∴PQ＝10﹣5t，∴QG＝3t﹣（10﹣5t）＝8t﹣10，∵DC2+CQ2＝DQ2＝DG2+QG2，∴62+（4t）2＝82+（8t﹣10）2，∴3t2﹣10t+8＝0，（t﹣2）（3t﹣4）＝0，解得：t1＝2（舍），t2＝．故．【點(diǎn)評(píng)】本題四邊形和圓的綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，添加恰當(dāng)輔助線是本關(guān)鍵．江蘇省揚(yáng)州市2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（二）一、填空題（本大題共有12小題，每小題2分，共計(jì)24分．）1．（2分）一元二次方程x2﹣4＝0的解是．2．（2分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0的一個(gè)根為﹣1，則k＝．3．（2分）已知⊙O半徑為4cm，點(diǎn)P到圓心O的距離為4.5cm，那么點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是．4．（2分）用配方法解方程x2﹣4x+3＝0，可以將其變形為（x+h）2＝k（h、k為常數(shù)）的形式，則k＝．5．（2分）已知圓錐的底面半徑是4，母線長(zhǎng)是5，則該圓錐的側(cè)面積是（結(jié)果保留π）．6．（2分）若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為．7．（2分）如圖，扇形OAB的半徑為1，分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)P，∠BOP＝35°，則的長(zhǎng)l＝（結(jié)果保留π）．8．（2分）如圖，△ABC內(nèi)接于圓，∠ACB＝90°，過(guò)點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，∠P＝26°，則∠CAB＝．9．（2分）鎮(zhèn)江香醋甲天下，為開(kāi)拓醋的養(yǎng)生功能，某醋廠開(kāi)發(fā)出櫻桃醋．為打開(kāi)市場(chǎng)，該櫻桃醋經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，售價(jià)由原來(lái)的每瓶25元降至每瓶16元，已知兩次降價(jià)的百分率相同，若設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，則可列方程．10．（2分）《九章算術(shù)》中提出了如下問(wèn)題：今有戶不知高、廣，竿不知長(zhǎng)短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問(wèn)戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門不知其高寬；有竿，不知其長(zhǎng)短，橫放，竿比門寬長(zhǎng)出4尺；豎放，竿比門高長(zhǎng)出2尺；斜放，竿與門對(duì)角線恰好相等．問(wèn)門高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)各是多少？則該問(wèn)題中的門高是尺．11．（2分）如圖，在⊙O中，直徑AB與弦CD交于點(diǎn)E，＝2，連接AD，過(guò)點(diǎn)B的切線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若∠AFB＝60°，則∠DEB＝°．12．（2分）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，，點(diǎn)P為線段AC的中點(diǎn)，連接BP，則BP的最大值是．二、選擇題（本大題共有6小題，每小題3分，共計(jì)18分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)符合題目要求．）13．（3分）下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是（）A．2x﹣3＝x B．2x+3y＝5 C．2x﹣x2＝1 D．x+＝714．（3分）一元二次方程x2+5x+1＝0根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根15．（3分）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的兩個(gè)根，則m+n的值為（）A．2 B．﹣2 C．5 D．﹣516．（3分）如圖，AB、AD、DE是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是B、C、E．若AD＝20，AB＝12，則DE的長(zhǎng)是（）A．6 B．8 C．10 D．1217．（3分）如圖，點(diǎn)A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，點(diǎn)O為正多邊形的中心，若∠ADB＝18°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（）A．5 B．10 C．12 D．2018．（3分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了一元二次方程的幾何解法，以x2+2x﹣35＝0為例，構(gòu)造方法如下：首先將方程x2+2x﹣35＝0變形為x（x+2）＝35，然后畫(huà)四個(gè)長(zhǎng)為x+2，寬為x的矩形，按如圖①所示的方式拼成一個(gè)“空心”大正方形，則圖①中大正方形的面積可表示為（x+x+2）2，還可表示為四個(gè)矩形與一個(gè)邊長(zhǎng)為2的小正方形面積之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4．因此，可得新方程（x+x+2）2＝144．因?yàn)閤表示邊長(zhǎng)，所以2x+2＝12，即x＝5．遺憾的是，這樣的做法只能得到方程的其中一個(gè)正根．小明用此方法解關(guān)于x的方程x2+mx﹣n＝0（m＞0、n＞0）時(shí)，構(gòu)造出同樣的圖形，已知大正方形的面積為14，小正方形的面積為4，則（）A．m＝2，n＝3 B．m＝，n＝2 C．m＝，n＝2 D．m＝2，n＝三、解答題（本大題共有8小題，共計(jì)78分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）19．（20分）解下列方程：（1）（x﹣1）2＝9；（2）x2+4x﹣1＝0；（3）；（4）3x（x﹣2）＝x﹣2．20．（6分）關(guān)于x的方程x2+2x+2k﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）當(dāng)k取最大整數(shù)值時(shí)，求方程的兩個(gè)根．21．（6分）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BCD＝110°，點(diǎn)E在AD上．（1）∠BAD＝°；（2）求∠AED的度數(shù)．22．（8分）“圓”是中國(guó)文化的一個(gè)重要精神符號(hào)，中式圓的含蓄和韻味，被設(shè)計(jì)師一一運(yùn)用在了園林設(shè)計(jì)中，帶來(lái)了濃濃的古典風(fēng)情．如圖1，是某園林的一個(gè)圓形拱門，既美觀又實(shí)用，彰顯出中國(guó)元素的韻味，圖2是其示意圖．已知拱門圓的半徑為1.5m，拱門下端AB為1.8m．（1）在圖2中畫(huà)出拱門圓的圓心O（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）若拱門最高點(diǎn)為點(diǎn)D，求點(diǎn)D到地面（AB）的距離．23．（8分）杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日舉行．某商場(chǎng)銷售亞運(yùn)會(huì)文化衫，每件進(jìn)價(jià)為50元．試銷售期間發(fā)現(xiàn)，銷售定價(jià)為55元時(shí)，平均每天可售出2100件；銷售定價(jià)每上漲1元，銷售量就減少30件．（1）當(dāng)每件文化衫的售價(jià)為58元時(shí)，平均每天售出件文化衫，銷售利潤(rùn)是元．（2）若每件文化衫的售價(jià)上漲x元（x＞0），①平均每天售出件文化衫（用含x的代數(shù)式表示）．②若每天的銷售利潤(rùn)恰好為27000元，且獲利不超過(guò)35%，求x的值．24．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OA為半徑作⊙O，與邊AC相交于點(diǎn)D，與邊AB相交于點(diǎn)E，作線段BE的垂直平分線PQ交BC、AB于點(diǎn)P、Q，連接EP．（1）求證：PE是⊙O的切線；（2）若AC＝3，BC＝4，OA為1，求線段EP的長(zhǎng)．25．（10分）我們?cè)诎四昙?jí)上冊(cè)曾經(jīng)探索：把一個(gè)直立的火柴盒放倒（如圖1），通過(guò)對(duì)梯形ABCD面積的不同方法計(jì)算，來(lái)驗(yàn)證勾股定理．a(chǎn)、b、c分別是Rt△ABE和Rt△CDE的邊長(zhǎng)，易知AD＝c，這時(shí)我們把關(guān)于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程稱為“勾氏方程”．請(qǐng)解決下列問(wèn)題：（1）方程x2+2x+1＝0（填“是”或“不是”）“勾氏方程”；（2）求證：關(guān)于x的“勾氏方程”ax2+cx+b＝0必有實(shí)數(shù)根；（3）如圖2，⊙O的半徑為10，AB、CD是位于圓心O異側(cè)的兩條平行弦，AB＝2m，CD＝2n，m≠n．若關(guān)于x的方程mx2+10x+n＝0是“勾氏方程”，連接AD，求∠BAD的度數(shù)．26．（10分）如圖1，在矩形ABCD中，邊長(zhǎng)AB＝a，AD＝b，其中a、b（a＜b）分別是方程x2﹣7x+12＝0的兩個(gè)根，連接BD．點(diǎn)O從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（到達(dá)點(diǎn)B停止運(yùn)動(dòng)），速度為1個(gè)單位每秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）BD＝；（2）如圖2，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，連接OD，將△ODC沿OD折疊，得到△ODP，連接BP，當(dāng)BP取最小值時(shí)，t為，此時(shí)，AP的值為；（3）如圖3，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以O(shè)為圓心，OC的長(zhǎng)為半徑作半圓，交射線CB于Q，當(dāng)半圓O與△ABD的邊有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直接寫出t的取值范圍．

答案與試題解析一、填空題（本大題共有12小題，每小題2分，共計(jì)24分．）1．（2分）一元二次方程x2﹣4＝0的解是x＝±2．【分析】式子x2﹣4＝0先移項(xiàng)，變成x2＝4，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求4的平方根．解：移項(xiàng)得x2＝4，∴x＝±2．故x＝±2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解一元二次方程﹣直接開(kāi)平方法．解這類問(wèn)題要移項(xiàng)，把所含未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)的左邊，把常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)等號(hào)的右邊，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用數(shù)的開(kāi)方直接求解．（1）用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解的類型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同號(hào)且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同號(hào)且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開(kāi)平方取正負(fù)，分開(kāi)求得方程解”．（2）用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解，要仔細(xì)觀察方程的特點(diǎn)．2．（2分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0的一個(gè)根為﹣1，則k＝﹣2．【分析】把x＝﹣1代入方程x2﹣x+k＝0得到關(guān)于k的一元一次方程，解方程即可得到答案．解：根據(jù)題意得：12﹣（﹣1）+k＝0，解得：k＝﹣2，故﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵．3．（2分）已知⊙O半徑為4cm，點(diǎn)P到圓心O的距離為4.5cm，那么點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是在圓外．【分析】根據(jù)點(diǎn)在圓上，則d＝r；點(diǎn)在圓外，d＞r；點(diǎn)在圓內(nèi)，d＜r（d即點(diǎn)到圓心的距離，r即圓的半徑）．解：∵OP＝4.5＞4，∴點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是點(diǎn)在圓外．故在圓外．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，注意：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的等價(jià)關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．4．（2分）用配方法解方程x2﹣4x+3＝0，可以將其變形為（x+h）2＝k（h、k為常數(shù)）的形式，則k＝1．【分析】先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再把方程兩邊都加上4，然后把方程左邊寫成完全平方形式，即可得出k的值．解：∵x2﹣4x+3＝0，∴x2﹣4x＝﹣3，∴x2﹣4x+4＝﹣3+4，即（x﹣2）2＝1，∴k＝1，故1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程—配方法，熟練掌握配方法是關(guān)鍵．5．（2分）已知圓錐的底面半徑是4，母線長(zhǎng)是5，則該圓錐的側(cè)面積是20π（結(jié)果保留π）．【分析】圓錐的側(cè)面積＝底面周長(zhǎng)×母線長(zhǎng)÷2．解：∵底面圓的半徑為4，∴底面周長(zhǎng)＝8π，∴側(cè)面面積＝×8π×5＝20π．故20π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算，利用了圓的周長(zhǎng)公式和扇形面積公式求解．6．（2分）若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為k＜4且k≠0．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到k≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4k＞0，然后求出兩不等式的公共部分即可．解：根據(jù)題意得k≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4k＞0，解得k＜4且k≠0，即k的取值范圍為k＜4且k≠0．故k＜4且k≠0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．7．（2分）如圖，扇形OAB的半徑為1，分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)P，∠BOP＝35°，則的長(zhǎng)l＝π（結(jié)果保留π）．【分析】由等腰三角形的性質(zhì)求出∠AOB的度數(shù)，由弧長(zhǎng)公式即可計(jì)算．解：由作圖知：OP垂直平分AB，∵OA＝OB，∴∠AOB＝2∠BOP＝2×35°＝70°，∵扇形的半徑是1，∴的長(zhǎng)＝＝π．故π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查弧長(zhǎng)的計(jì)算，關(guān)鍵是掌握弧長(zhǎng)公式．8．（2分）如圖，△ABC內(nèi)接于圓，∠ACB＝90°，過(guò)點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，∠P＝26°，則∠CAB＝32°．【分析】連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OCP＝90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠COP，再根據(jù)圓周角定理計(jì)算即可．解：連接OC，∵CP是圓O的切線，∴OC⊥CP，即∠OCP＝90°，∵∠P＝26°，∴∠COP＝90°﹣26°＝64°，由圓周角定理得：∠CAB＝∠COP＝32°，故32°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理，熟記圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．9．（2分）鎮(zhèn)江香醋甲天下，為開(kāi)拓醋的養(yǎng)生功能，某醋廠開(kāi)發(fā)出櫻桃醋．為打開(kāi)市場(chǎng)，該櫻桃醋經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，售價(jià)由原來(lái)的每瓶25元降至每瓶16元，已知兩次降價(jià)的百分率相同，若設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，則可列方程25（1﹣x）2＝16．【分析】設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后的價(jià)格＝原價(jià)×（1﹣每次降價(jià)的百分率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系．解：由題意得：25（1﹣x）2＝16，故25（1﹣x）2＝16．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，正確列出一元二次方程是解此題的關(guān)鍵．10．（2分）《九章算術(shù)》中提出了如下問(wèn)題：今有戶不知高、廣，竿不知長(zhǎng)短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問(wèn)戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門不知其高寬；有竿，不知其長(zhǎng)短，橫放，竿比門寬長(zhǎng)出4尺；豎放，竿比門高長(zhǎng)出2尺；斜放，竿與門對(duì)角線恰好相等．問(wèn)門高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)各是多少？則該問(wèn)題中的門高是8尺．【分析】利用勾股定理建立方程，解方程得出門高即可．解：設(shè)竿長(zhǎng)為x尺，則門寬為（x﹣4）尺，門高（x﹣2）尺，門對(duì)角線是x尺，根據(jù)勾股定理可得：x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，整理得：x2﹣12x+20＝0，解得x＝2（舍去）或x＝10．則門高：10﹣2＝8．故8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的應(yīng)用，設(shè)未知數(shù)建立關(guān)于未知數(shù)的方程是解題的關(guān)鍵．11．（2分）如圖，在⊙O中，直徑AB與弦CD交于點(diǎn)E，＝2，連接AD，過(guò)點(diǎn)B的切線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若∠AFB＝60°，則∠DEB＝90°．【分析】先根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠ABF＝90°，結(jié)合∠AFB＝60°可求出∠BAF的度數(shù)，再根據(jù)弧之間的關(guān)系得出它們所對(duì)的圓周角之間的關(guān)系，最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出∠DEB的度數(shù)．解：如圖，連接OC，OD，∵BF是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，∴OB⊥BF，∴∠ABF＝90°，∵∠AFB＝60°，∴∠BAF＝90°﹣∠AFB＝30°，∴∠BOD＝2∠BAF＝60°，∵，∴∠COA＝2∠BOD＝120°，∴∠CDA＝∠COA＝60°，∵∠DEB是△AED的一個(gè)外角，∴∠DEB＝∠BAF+∠CDA＝90°，故90．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)，熟知：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．12．（2分）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，，點(diǎn)P為線段AC的中點(diǎn)，連接BP，則BP的最大值是．【分析】連接OB，OC，OA，OP，則△OBC是等腰直角三角形，得出OB＝OC＝4，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠OPC＝90°，從而得出點(diǎn)P在以O(shè)C為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)C為直徑作⊙O'，連接O′B，O′P，當(dāng)P為BO′的延長(zhǎng)線與⊙O'的交點(diǎn)時(shí)，BP的長(zhǎng)取最大值，此時(shí)BP＝BO′+O′P，由勾股定理計(jì)算出O′B，即可得出答案．解：如圖，連接OB，OC，OA，OP，，∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，∵OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形，∵，∴OB＝OC＝4，∵點(diǎn)P為線段AC的中點(diǎn)，OA＝OC，∴OP⊥AC，∴∠OPC＝90°，∴點(diǎn)P在以O(shè)C為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)C為直徑作⊙O'，連接O′B，O′P，當(dāng)P為BO′的延長(zhǎng)線與⊙O'的交點(diǎn)時(shí)，BP的長(zhǎng)取最大值，此時(shí)BP＝BO′+O′P，∵，∴，∴BP的最大值為，故．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓周角定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．二、選擇題（本大題共有6小題，每小題3分，共計(jì)18分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)符合題目要求．）13．（3分）下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是（）A．2x﹣3＝x B．2x+3y＝5 C．2x﹣x2＝1 D．x+＝7【分析】利用一元二次方程的定義判斷即可．解：A、方程2x﹣3＝x為一元一次方程，不符合題意；B、方程2x+3y＝5是二元一次方程，不符合題意；C、方程2x﹣x2＝1是一元二次方程，符合題意；D、方程x+＝7是分式方程，不符合題意，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解本題的關(guān)鍵．14．（3分）一元二次方程x2+5x+1＝0根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根【分析】利用一元二次方程根的判別式進(jìn)行判斷即可得．解：一元二次方程x2+5x+1＝0中的a＝1，b＝5，c＝1，則這個(gè)方程根的判別式為Δ＝52﹣4×1×1＝21＞0，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題關(guān)鍵．15．（3分）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的兩個(gè)根，則m+n的值為（）A．2 B．﹣2 C．5 D．﹣5【分析】關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2和系數(shù)a，b，c，有如下關(guān)系：，，由此即可得出答案．解：∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的兩個(gè)根，∴m+n＝﹣2，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．16．（3分）如圖，AB、AD、DE是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是B、C、E．若AD＝20，AB＝12，則DE的長(zhǎng)是（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】由題意得出AB＝AC＝12，DE＝CD，求出CD的長(zhǎng)即可得出答案．解：∵AB、AD、DE是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是B、C、E，∴AB＝AC＝12，DE＝CD，∵CD＝AD﹣AC＝20﹣12＝8，∴DE＝CD＝8，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線長(zhǎng)定理，熟練掌握切線長(zhǎng)定理是解此題的關(guān)鍵．17．（3分）如圖，點(diǎn)A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，點(diǎn)O為正多邊形的中心，若∠ADB＝18°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（）A．5 B．10 C．12 D．20【分析】作正多邊形的外接圓，連接AO，BO，根據(jù)圓周角定理得到∠AOB＝36°，根據(jù)中心角的定義即可求解．解：如圖，作正多邊形的外接圓，連接AO，BO，∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，∴這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為＝10．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查正多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知圓周角定理．18．（3分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了一元二次方程的幾何解法，以x2+2x﹣35＝0為例，構(gòu)造方法如下：首先將方程x2+2x﹣35＝0變形為x（x+2）＝35，然后畫(huà)四個(gè)長(zhǎng)為x+2，寬為x的矩形，按如圖①所示的方式拼成一個(gè)“空心”大正方形，則圖①中大正方形的面積可表示為（x+x+2）2，還可表示為四個(gè)矩形與一個(gè)邊長(zhǎng)為2的小正方形面積之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4．因此，可得新方程（x+x+2）2＝144．因?yàn)閤表示邊長(zhǎng)，所以2x+2＝12，即x＝5．遺憾的是，這樣的做法只能得到方程的其中一個(gè)正根．小明用此方法解關(guān)于x的方程x2+mx﹣n＝0（m＞0、n＞0）時(shí)，構(gòu)造出同樣的圖形，已知大正方形的面積為14，小正方形的面積為4，則（）A．m＝2，n＝3 B．m＝，n＝2 C．m＝，n＝2 D．m＝2，n＝【分析】仿照題目中的運(yùn)算方法，進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．解：∵x2+mx﹣n＝0，∴x（x+m）＝n，∴四個(gè)矩形的長(zhǎng)為x+m，寬為x，∴大正方形的面積可以表示為（x+x+m）2＝14，中間小正方形的面積為m2＝4，∴m＝2，∵大正方形的面積還可以表示為4x（x+m）+m2＝14，∴，∴，綜上所述，，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解法解一元二次方程，正方形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共有8小題，共計(jì)78分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）19．（20分）解下列方程：（1）（x﹣1）2＝9；（2）x2+4x﹣1＝0；（3）；（4）3x（x﹣2）＝x﹣2．【分析】（1）利用直接開(kāi)平方法解一元二次方程即可；（2）利用配方法解一元二次方程即可；（3）利用因式分解法解一元二次方程即可；（4）利用因式分解法解一元二次方程即可．解：（1）∵（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，解得：x1＝4，x2＝﹣2；（2）∵x2+4x﹣1＝0，∴x2+4x＝1，∴x2+4x+4＝1+4，即（x+2）2＝5，∴，解得：，；（3）∵，∴x2﹣4x+3＝0，∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，解得：x1＝1，x2＝3；（4）∵3x（x﹣2）＝x﹣2，∴3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，∴（x﹣2）（3x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或3x﹣1＝0，解得：x1＝2，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：配方法、直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法，選擇合適的方法進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．20．（6分）關(guān)于x的方程x2+2x+2k﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）當(dāng)k取最大整數(shù)值時(shí)，求方程的兩個(gè)根．【分析】（1）根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4（2k﹣1）＝8﹣8k＞0，求解即可；（2）根據(jù)（1）確定的k的取值范圍，得出k取最大整數(shù)值，代入方程，求解方程即可．解：∵方程x2+2x+2k﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4（2k﹣1）＝8﹣8k＞0，∴k＜1，∴當(dāng)k＜1時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）∵k＜1，∴k的最大整數(shù)值為0，把k＝0代入方程x2+2x+2k﹣1＝0，得方程x2+2x﹣1＝0，解得，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程根的情況，熟練掌握一元二次方程根的情況與根的判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．21．（6分）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BCD＝110°，點(diǎn)E在AD上．（1）∠BAD＝70°；（2）求∠AED的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；（2）連接BD，由等邊對(duì)等角結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得出∠ABD＝∠ADB＝55°，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．解：（1）∵在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BCD＝110°，∴∠BAD＝180°﹣∠BCD＝180°﹣110°＝70°，故70；（2）如圖，連接BD，∵AB＝AD，∴，∵四邊形ABDE是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠AED+∠ABD＝180°，∴∠AED＝180°﹣∠ABD＝125°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等邊對(duì)等角、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．22．（8分）“圓”是中國(guó)文化的一個(gè)重要精神符號(hào)，中式圓的含蓄和韻味，被設(shè)計(jì)師一一運(yùn)用在了園林設(shè)計(jì)中，帶來(lái)了濃濃的古典風(fēng)情．如圖1，是某園林的一個(gè)圓形拱門，既美觀又實(shí)用，彰顯出中國(guó)元素的韻味，圖2是其示意圖．已知拱門圓的半徑為1.5m，拱門下端AB為1.8m．（1）在圖2中畫(huà)出拱門圓的圓心O（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）若拱門最高點(diǎn)為點(diǎn)D，求點(diǎn)D到地面（AB）的距離．【分析】（1）在拱門上找任意一點(diǎn)C，連接AC、BC，并做垂直平分線，利用垂徑定理可確定圓心的位置；（2）連接AO，設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理，構(gòu)造直角三角形AOE，然后根據(jù)勾股定理解答即可．解：（1）如圖2，點(diǎn)O即為所求，；（2）連接AO，如圖3，，設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∵點(diǎn)O為圓心，連接EO并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)D，∴點(diǎn)D即為拱門為最高點(diǎn)，∴DE⊥AB，∵AB＝1.8m，OA＝1.5m，，OD＝1.5m，在Rt△AEO中，＝1.2（m），∴DE＝DO+OE＝1.5+1.2＝2.7（m），∴點(diǎn)D到地面（AB）的距離為2.7m．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理，能夠準(zhǔn)確作出輔助線，根據(jù)直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．23．（8分）杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日舉行．某商場(chǎng)銷售亞運(yùn)會(huì)文化衫，每件進(jìn)價(jià)為50元．試銷售期間發(fā)現(xiàn)，銷售定價(jià)為55元時(shí)，平均每天可售出2100件；銷售定價(jià)每上漲1元，銷售量就減少30件．（1）當(dāng)每件文化衫的售價(jià)為58元時(shí)，平均每天售出2010件文化衫，銷售利潤(rùn)是16080元．（2）若每件文化衫的售價(jià)上漲x元（x＞0），①平均每天售出（2100﹣30x）件文化衫（用含x的代數(shù)式表示）．②若每天的銷售利潤(rùn)恰好為27000元，且獲利不超過(guò)35%，求x的值．【分析】（1）利用日銷售量＝2100﹣30×每件文化衫的售價(jià)上漲的錢數(shù)，可求出日銷售量，再利用每天的銷售利潤(rùn)＝每件的銷售利潤(rùn)×日銷售量，即可求出每天的銷售利潤(rùn)；（2）①利用日銷售量＝2100﹣30×每件文化衫的售價(jià)上漲的錢數(shù)，可用含x的代數(shù)式表示出日銷售量；②利用每天的銷售利潤(rùn)＝每件的銷售利潤(rùn)×日銷售量，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．解：（1）根據(jù)題意得：當(dāng)每件文化衫的售價(jià)為58元時(shí)，平均每天售出2100﹣30×（58﹣55）＝2010（件）文化衫，銷售利潤(rùn)是（58﹣50）×2010＝16080（元）．故2010，16080；（2）①根據(jù)題意得：平均每天售出（2100﹣30x）件文化衫．故（2100﹣30x）；②根據(jù)題意得：（55+x﹣50）（2100﹣30x）＝27000，整理得：x2﹣65x+550＝0，解得：x1＝10，x2＝55，又∵獲利不超過(guò)35%，∴x＝10．答：x的值為10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、列代數(shù)式以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，列式計(jì)算；（2）①根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含x的代數(shù)式表示出日銷售量；②找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．24．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OA為半徑作⊙O，與邊AC相交于點(diǎn)D，與邊AB相交于點(diǎn)E，作線段BE的垂直平分線PQ交BC、AB于點(diǎn)P、Q，連接EP．（1）求證：PE是⊙O的切線；（2）若AC＝3，BC＝4，OA為1，求線段EP的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的兩銳角互余得出∠NEB+∠AEO＝90°即可；（2）利用線段中垂線的性質(zhì)以及勾股定理列方程求解即可．（1）證明：如圖，連接OE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∵PQ是BE的中垂線，∴PE＝PB，∴∠B＝∠PEB，∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∴∠PEB+∠OEA＝90°，∴∠OEP＝180°﹣90°＝90°，即OE⊥PE，∵OE是半徑，∴PE是⊙O的切線；（2）解：如圖，連接OP，∵PQ是BE的中垂線，∴EP＝PB，設(shè)EP＝x＝PB，在Rt