2024級高一下學期3月學期檢測試卷數學2025.3一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）.1.已知，是夾角為的兩個單位向量，則（）A.1 B. C. D.2.已知，則（）A. B. C. D.3.要得到函數的圖象，只需將的圖象（）A.向左平移個單位 B.向右平移個單位 C.向左平移個單位 D.向右平移個單位4.已知，，其中，的夾角為，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.5.已知，則（）A. B. C. D.6.設扇形的周長為，面積為，則扇形的圓心角的弧度數是（）A.1 B.2 C.3 D.47.《易經》是闡述天地世間關于萬象變化的古老經典，其中有一種幾何圖形與正六邊形相關.假設正六邊形代表六種不同的卦象元素，邊長為20，點是正六邊形邊內部（包括邊界）上的動點，則的最小值是（）A. B. C. D.1008.已知角，且，當取得最大值時，角（）A. B. C. D.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）.9.下列等式正確的是（）A. B.C. D.10.已知函數的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A. B.C.直線是圖象的一條對稱軸 D.能使得11.如圖，設，是平面內相交成角的兩條數軸，，分別是x軸，y軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數對叫做向量在坐標系中的坐標.若在坐標系中，，，則下列結論正確的是（）A. B.當時，C. D.當時，與的夾角為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.與向量平行的單位向量的坐標為________．13.已知，是方程的兩根，則__________．14已知角，滿足，，且，.則________；________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知為第一象限的角，終邊經過點，且.（1）求的值；（2）求的值.16.已知向量，，.（1）當，求x，y；（2），且，求向量與的夾角.17.已知函數.（1）求函數的最小正周期及單調增區間；（2）若，且，求的值.（3）在中，若，求取值范圍.18.某養殖公司有一處正方形養殖池，邊長100米.（1）如圖1，P，Q分別，上，且，求證：.（2）如圖2，為了便于冬天給養殖池內的水加溫，考慮到整體規劃，要求是邊的中點，點在邊上，點在邊上，且，該公司計劃在養殖池內鋪設兩條加溫帶和，并安裝智能照明裝置，經核算，在兩條加溫帶增加智能照明裝置的費用均為每米400元.問：①設，求的取值范圍；②如何設計才能使安裝智能照明裝置費用最低?說明理由，并求出最低費用.（參考數值：，）19.定義函數的“積向量”為，向量的“積函數”為.（1）若，，求最大值及對應的取值集合；（2）若向量的“積函數”滿足，求的值；（3）已知，，設，且的“積函數”為，其最大值為，求的最小值，并判斷此時，的關系.

2024級高一下學期3月學期檢測試卷數學2025.3一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）.1.已知，是夾角為兩個單位向量，則（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據數量積的定義計算可得.【詳解】因為，是夾角為的兩個單位向量，所以.故選：C2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正切的二倍角公式展開后，代入tana值即可求出.【詳解】，故選B.【點睛】本題考查正切函數二倍角公式的運用，屬于基礎題.3.要得到函數的圖象，只需將的圖象（）A.向左平移個單位 B.向右平移個單位 C.向左平移個單位 D.向右平移個單位【答案】D【解析】【分析】利用三角函數的圖象變換關系求解.【詳解】,所以要得到函數的圖象，只需將的圖象向右平移個單位，故選:D.4.已知，，其中，的夾角為，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用投影向量的定義求解.【詳解】因為，，其中，的夾角為，所以在上的投影向量為，故選：D5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據三角函數的誘導公式和二倍角公式即可求解.【詳解】.故選：.6.設扇形的周長為，面積為，則扇形的圓心角的弧度數是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據扇形的周長為，面積為，得到，解得l，r，代入公式求解.【詳解】因為扇形的周長為，面積為，所以，解得，所以，所以扇形的圓心角的弧度數是2故選：B7.《易經》是闡述天地世間關于萬象變化的古老經典，其中有一種幾何圖形與正六邊形相關.假設正六邊形代表六種不同的卦象元素，邊長為20，點是正六邊形邊內部（包括邊界）上的動點，則的最小值是（）A. B. C. D.100【答案】C【解析】【分析】設與的夾角為，由向量數量積的定義可得當在方向上的投影最小時即可求解.【詳解】設與的夾角為，所以，因為表示在方向上的投影，當點與點重合時，最小，此時，，所以的最小值是.故選：.8.已知角，且，當取得最大值時，角（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函數的兩角和公式將展開化簡，得到關于的表達式，再根據均值不等式求出取得最大值時的值，進而求出.詳解】已知，可得：，，可得：，得：，因為，所以，，等式兩邊同時除以和可得：，上式可化為：，又因為，代入上式可得：

，令，則，，代入可得：，因為，所以，則.根據均值不等式對于有：，當且僅當，即，時等號成立.所以，即當時，取得最大值.

因為，且，所以.

當取得最大值時，角.故選：D.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）.9.下列等式正確的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】利用二倍角公式判斷A、B，利用和差角公式判斷C、D.【詳解】對于A：，故A錯誤；對于B：，故B錯誤；對于C：，故C正確；對于D：，故D正確.故選：CD10.已知函數部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A. B.C.直線是圖象的一條對稱軸 D.能使得【答案】BCD【解析】【分析】根據函數的圖象，先求得的解析式，然后逐項判斷.詳解】由，得，則，因為函數的圖象過點，所以，則，又，則，故A錯誤；又函數的圖象過點，則，解得，故B正確；所以，而，所以直線是圖象的一條對稱軸，故C正確；由，得，因為函數的最小正周期為，所以在上的值域，與在上的值域相同，則，故D正確；故選：BCD.11.如圖，設，是平面內相交成角的兩條數軸，，分別是x軸，y軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數對叫做向量在坐標系中的坐標.若在坐標系中，，，則下列結論正確的是（）A. B.當時，C. D.當時，與的夾角為【答案】ACD【解析】【分析】首先求出，再根據所給定義及數量積的運算律、夾角公式計算可得.【詳解】依題意，對于A：因為，所以，所以，故A正確；對于B：當時，則，所以，所以與不垂直，故B錯誤；對于C：，所以，所以當時取得最小值，且，故C正確；對于D：由C可知，當時，，所以，設與的夾角為，則，又，所以，所以與的夾角為，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.與向量平行的單位向量的坐標為________．【答案】【解析】【分析】設單位向量坐標為，根據向量共線公式及求模公式，化簡計算，即可得答案.【詳解】設與向量平行的單位向量的坐標為，由題意得，解得或，故答案為：13.已知，是方程的兩根，則__________．【答案】##【解析】【分析】將所求式利用兩角和的正弦與兩角差的余弦公式展開，然后根據商數關系弦化切，最后結合韋達定理即可求解.【詳解】解：因為，是方程的兩根，所以，所以，故答案為：.14.已知角，滿足，，且，.則________；________.【答案】①.②.【解析】【分析】由題意，利用兩角差的正弦公式求，先求得，再根據的范圍求解.【詳解】因為角，滿足，，且，.所以，，所以，，因為，所以，則，所以，，因為，且，所以，則，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知為第一象限的角，終邊經過點，且.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）利用三角函數的定義求解；（2）由（1）得到，代入求解【小問1詳解】因為為第一象限的角，終邊經過點，且，所以，解得，【小問2詳解】由（1）知：，所以，.16.已知向量，，.（1）當，求x，y；（2），且，求向量與的夾角.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量相等構造方程求得；（2）先利用平面向量共線的坐標表示求解向量，再利用向量的夾角公式計算即得.【小問1詳解】依題意，即，解得所以.【小問2詳解】由向量，，所以由，得，解得，所以，所以，所以，又，所以.17.已知函數.（1）求函數的最小正周期及單調增區間；（2）若，且，求的值.（3）在中，若，求的取值范圍.【答案】（1）最小正周期為；單調增區間（2）（3）【解析】【分析】（1）利用誘導公式、正弦的二倍角公式以及輔助角公式化簡，再由正弦函數的性質即可求解；（2）由已知可得，根據的范圍和同角三角函數的基本關系可得，由兩角差的正弦函數求解即可；（3）由可得，根據三角恒等變換結合三角函數的性質求解即可.【小問1詳解】，最小正周期為，令，，所以，，所以函數的單調遞增區間為；【小問2詳解】，因為，所以，所以所以；【小問3詳解】因為，所以，因為，所以，，因為，所以，所以，所以的取值范圍為.18.某養殖公司有一處正方形養殖池，邊長為100米.（1）如圖1，P，Q分別在，上，且，求證：.（2）如圖2，為了便于冬天給養殖池內的水加溫，考慮到整體規劃，要求是邊的中點，點在邊上，點在邊上，且，該公司計劃在養殖池內鋪設兩條加溫帶和，并安裝智能照明裝置，經核算，在兩條加溫帶增加智能照明裝置的費用均為每米400元.問：①設，求的取值范圍；②如何設計才能使安裝智能照明裝置的費用最低?說明理由，并求出最低費用.（參考數值：，）【答案】（1）證明見解析（2）①；②當米時，安裝智能照明裝置的費用最低，最低費用為元，理由見解析【解析】【分析】（1）延長到，使，連接，根據三角形的邊角關系即可證明；（2）①由已知當點與點重合時，最小，當點與點重合時，最大，即可求解；②先表示出，然后通過三角換元，令，由此可得關于的函數，利用函數單調性求解出的最小值，則結果可知.【小問1詳解】延長到，使，連接，因為為正方形，所以，，所以與全等，所以，，因為，所以，即，所以與全等，所以，所以，所以，又，所以；【小問2詳解】①因為，所以，當點與點重合時，最小，，所以，，當點與點重合時，最大，，所以，所以的取值范圍為；②設，由①知，，，，設，因為，所以，又，所以，因為在上單調遞增，所以當時，最小，此時，即，所以的最小值為，因為在兩條加溫帶增加智能照明裝置的費用均為每米400元，所以當米時，安裝智能照明裝置的費用最低，最低費用為元.19.定義函數的“積向量”為，向量的“積函數”為.（1）若，，求最大值及對應的取值集合；（2）若向量的“積函數”滿足，求的值；（3）已知，，設，且的“積函數”為，其最大值為，求的最小值，并判斷此時，的關系.【答案】