第六章第1講[A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．?dāng)?shù)列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an＝()A．eq\f(－1n＋1,2) B．coseq\f(nπ,2)C．coseq\f(n＋1,2)π D．coseq\f(n＋2,2)π【答案】D2．(2018年駐馬店模擬)已知數(shù)列{an}的任意連續(xù)三項(xiàng)的和是18，并且a5＝5，a13＝9，那么a2019＝()A．10 B．9C．5 D．4【答案】D3．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)積為n2，那么當(dāng)n≥2時(shí)，an等于()A．2n－1 B．n2C．eq\f(n＋12,n2) D．eq\f(n2,n－12)【答案】D4．(2018年延安模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝2n－1(n∈N*)，則a2018的值為()A．2 B．3C．2018 D．4035【答案】A5．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋1＋an＝2n－3，若a1＝2，則a8－a4＝()A．7 B．6C．5 D．4【答案】D6．(2018年玉溪一模)若數(shù)列{an}為1,2,2,3,3,4,4，…，則該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝________.【答案】an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,2)，n為奇數(shù)，,\f(n＋2,2)，n為偶數(shù)))【解析】數(shù)列{an}為1,2,2,3,3,4,4，…，可得奇數(shù)項(xiàng)分別為1,2,3,4，…，可得an＝eq\f(n＋1,2).偶數(shù)項(xiàng)分別為2,3,4，…，可得an＝eq\f(n＋2,2).故該數(shù)列通項(xiàng)公式an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,2)，n為奇數(shù)，,\f(n＋2,2)，n為偶數(shù).))7．(2018年大連雙基訓(xùn)練)已知數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝1－eq\f(1,an)(n≥2)，則a2019＝________.【答案】2【解析】由題意知a2＝1－eq\f(1,a1)＝－1，a3＝1－eq\f(1,a2)＝2，a4＝1－eq\f(1,a3)＝eq\f(1,2)，所以此數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，a2019＝a3×673＝a3＝2.8．已知數(shù)列{an}中，a10＝17，其前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝n2＋cn＋2.(1)求實(shí)數(shù)c的值；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．【解析】(1)當(dāng)n≥2時(shí)，由an＝Sn－Sn－1＝(n2＋cn＋2)－[(n－1)2＋c(n－1)＋2]＝2n＋c－1，得a10＝20＋c－1＝17，所以c＝－2.(2)由(1)得Sn＝n2－2n＋2，所以a1＝S1＝1.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝2n－3；當(dāng)n＝1時(shí)，上式不成立．所以an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2n－3，n≥2.))9．設(shè)函數(shù)f(x)＝log2x－logx2(0＜x＜1)，數(shù)列{an}滿足f(2an)＝2n(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性．【解析】(1)因?yàn)閒(2an)＝2n(n∈N*)，所以log22an－eq\f(1,log22an)＝2n，所以an－eq\f(1,an)＝2n，化為aeq\o\al(2,n)－2nan－1＝0，解得an＝eq\f(2n±\r(4n2＋4),2)＝n±eq\r(n2＋1).因?yàn)?＜2an＜1，所以an＜0，所以an＝n－eq\r(n2＋1).(2)由(1)得an＝n－eq\r(n2＋1)＝－eq\f(1,n＋\r(n2＋1)).因?yàn)閒(n)＝eq\f(1,n＋\r(n2＋1))關(guān)于n單調(diào)遞減，所以g(n)＝－eq\f(1,n＋\r(n2＋1))關(guān)于n單調(diào)遞增．所以數(shù)列{an}單調(diào)遞增．[B級(jí)能力提升]10．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)an＝eq\f(n,n2＋90)，則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)是()A．3eq\r(10) B．19C．eq\f(1,19) D．eq\f(\r(10),60)【答案】C【解析】因?yàn)閍n＝eq\f(1,n＋\f(90,n))，運(yùn)用基本不等式得eq\f(1,n＋\f(90,n))≤eq\f(1,2\r(90))，由于n∈N*，所以當(dāng)n＝9或10時(shí)，an取得最大值．又a9＝a10＝eq\f(1,19)，故最大值為eq\f(1,19).11．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝a2－2a＋2，an＋1＝an＋2(n－a)＋1，m∈N*，當(dāng)且僅當(dāng)n＝3時(shí)，an最小，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(－1,3) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，3))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(7,2))) D．(2,4)【答案】C【解析】由an＋1＝an＋2(n－a)＋1，得a2＝a1＋2(1－a)＋1；a3＝a2＋2(2－a)＋1；a4＝a3＋2(3－a)＋1；…；an＝an－1＋2(n－1－a)＋1.累加得an＝a1＋2[1＋2＋3＋…＋(n－1)－(n－1)×a]＋n－1＝a1＋2eq\f(n－1n,2)－2(n－1)a＋n－1.因?yàn)閍1＝a2－2a＋2，所以an＝a2－2a＋2＋n2－n－2an＋2a＋n－1＝n2－2an＋a2＋1.設(shè)f(n)＝an＝n2－2an＋a2＋1，該函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱軸方程為n＝－eq\f(－2a,2)＝a，因?yàn)閚∈N*，所以當(dāng)eq\f(5,2)<a<eq\f(7,2)時(shí)，f(n)＝an最小．故選C．12．(2018年河南一模)已知數(shù)列：eq\f(1,1)，eq\f(2,1)，eq\f(1,2)，eq\f(3,1)，eq\f(2,2)，eq\f(1,3)，eq\f(4,1)，eq\f(3,2)，eq\f(2,3)，eq\f(1,4)，…，依它的前10項(xiàng)的規(guī)律，這個(gè)數(shù)列的第2018項(xiàng)a2018等于()A．eq\f(1,31) B．eq\f(1,63)C．64 D．eq\f(63,2)【答案】D【解析】觀察數(shù)列可知該數(shù)列按以下規(guī)律分組：①eq\f(1,1)；②eq\f(2,1)，eq\f(1,2)；③eq\f(3,1)，eq\f(2,2)，eq\f(1,3)；④eq\f(4,1)，eq\f(3,2)，eq\f(2,3)，eq\f(1,4)；….知它的項(xiàng)數(shù)是1＋2＋3＋…＋k＝eq\f(kk＋1,2)(k∈N*)，且在每一個(gè)k段內(nèi)，是k個(gè)分?jǐn)?shù)(k∈N*，k≥3)，且它們的分子分母和為k＋1(k∈N*，k≥3)．由k＝63時(shí)，eq\f(kk＋1,2)＝2016＜2018(k∈N*)，故a2018在64段中，所以a2018為第64組的第2項(xiàng)，故a2018＝eq\f(63,2).故選D．13．某數(shù)列的前10項(xiàng)依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，則此數(shù)列第20項(xiàng)為()A．180 B．200C．128 D．162【答案】B【解析】由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，可得偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式a2n＝2n2，則此數(shù)列第20項(xiàng)為2×102＝200.故選B．14．(2018年唐山模擬)在數(shù)列{an}中，對(duì)任意的正整數(shù)n，點(diǎn)(n，an)在直線y＝2x＋3上，則{an}的第10項(xiàng)為_(kāi)_______．【答案】23【解析】根據(jù)題意，點(diǎn)(n，an)在直線y＝2x＋3上，即an＝2n＋3，則有a10＝2×10＋3＝23，即{an}的第10項(xiàng)為23.15．(2018年南充模擬)若an＝2n2＋λn＋3(其中λ為實(shí)常數(shù))，n∈N*，且數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】(－6，＋∞)【解析】若數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，則an＋1＞an，即2(n＋1)2＋λ(n＋1)＋3＞2n2＋λn＋3，整理得λ＞－(4n＋2)．因?yàn)閚≥1，所以－(4n＋2)≤－6，即λ＞－6.16．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)an＝(n＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n(n∈N*)，試問(wèn)該數(shù)列{an}有沒(méi)有最大項(xiàng)？若有，求出最大項(xiàng)；若沒(méi)有，說(shuō)明理由．【解析】設(shè)an是該數(shù)列的最大項(xiàng)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an＋1，,an≥an－1，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＋1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n≥n＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n＋1，,n＋1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n≥n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n－1，))解得9≤n≤10，所以最大項(xiàng)為a9＝a10＝eq\f(1010,119).17．已知數(shù)列{an}中，an＝1＋eq\f(1,a＋2n－1)(n∈N*，a∈R且a≠0)．(1)若a＝－7，求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值；(2)若對(duì)任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范圍．【解析】(1)因?yàn)閍n＝1＋eq\f(1,a＋2n－1)(n∈N*，a∈R且a≠0)，又a＝－7，所以an＝1＋eq\f(1,2n－9)(n∈N*)．結(jié)合函數(shù)f(x)＝1＋eq\f(1,2x－9)的單調(diào)性，可知1>a1>a2>a3>a4，a