第八章第4講[A級基礎達標]1．有下列命題：①若直線l平行于平面α內的無數條直線，則直線l∥α；②若直線a在平面α外，則a∥α；③若直線a∥b，b∥α，則a∥α；④若直線a∥b，b∥α，則a平行于平面α內的無數條直線．其中真命題的個數是()A．1 B．2C．3 D．4【答案】A【解析】命題①l可以在平面α內，不正確；命題②直線a與平面α可以是相交關系，不正確；命題③a可以在平面α內，不正確；命題④正確．2．設m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，且m，n?α，則“α∥β”是“m∥β且n∥β”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】m，n?α，若α∥β，則m∥β且n∥β；反之若m∥β且n∥β，則α與β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要條件．3．如圖所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，過A1B1的平面與平面ABC交于DE，則DE與AB的位置關系是()A．異面B．平行C．相交D．以上均有可能【答案】B【解析】在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，因為AB?平面ABC，A1B1?平面ABC，所以A1B1∥平面ABC．因為過A1B1的平面與平面ABC交于DE.所以DE∥A1B1，所以DE∥AB．4．下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是()A．①③ B．①④C．②③ D．②④【答案】B【解析】①中，易知NP∥AA′，MN∥A′B，所以平面MNP∥平面AA′B，可得出AB∥平面MNP(如圖)．④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP；在②③中不能判定AB∥平面MNP.5．已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面，下列說法正確的是()A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m⊥α，n?α，則m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，則n∥α D．若m∥α，m⊥n，則n⊥α【答案】B【解析】若m∥α，n∥α，則m，n平行、相交或異面，A錯；若m⊥α，n?α，則m⊥n，因為直線與平面垂直時，它垂直于平面內任一直線，B正確；若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，C錯；若m∥α，m⊥n，則n與α可能相交，可能平行，也可能n?α，D錯．6．(2018年清遠校級月考)已知P為△ABC所在平面外一點，平面α∥平面ABC，且α交線段PA，PB，PC分別于點A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，則S△A′B′C′∶S△ABC＝()A．2∶3 B．2∶5C．4∶9 D．4∶25【答案】D【解析】因為平面α∥平面ABC，平面ABC∩平面PAB＝AB，平面α∩平面PAB＝A′B′，所以A′B′∥AB．因為PA′∶AA′＝2∶3，即PA′∶PA＝2∶5，所以A′B′∶AB＝2∶5.由于相似三角形的面積比為相似比的平方，所以S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.7．在四面體A－BCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個面中與MN平行的是________．【答案】平面ABD與平面ABC【解析】如圖，取CD的中點E.連接AE，BE，由于M，N分別是△ACD，△BCD的重心，所以AE，BE分別過M，N，且EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB．因為AB?平面ABD，MN?平面ABD，AB?平面ABC，MN?平面ABC，所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC．8．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，點E為AD的中點，點F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度等于________．【答案】eq\r(2)【解析】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2eq\r(2).又E為AD中點，EF∥平面AB1C，EF?平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以F為DC中點，所以EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).9．一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖如圖所示．(1)請將字母F，G，H標記在正方體相應的頂點處(不需說明理由)；(2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關系，并證明你的結論．【解析】(1)點F，G，H的位置如圖所示．(2)平面BEG∥平面ACH.證明如下：因為ABCD－EFGH為正方體，所以BC∥FG，BC＝FG.又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四邊形BCHE為平行四邊形，所以BE∥CH.又CH?平面ACH，BE?平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.10．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分別是BC，CC1，C1D1，A1A的中點．求證：(1)BF∥HD1；(2)EG∥平面BB1D1D；(3)平面BDF∥平面B1D1H.【證明】(1)如圖所示，取BB1的中點M，連接MH，MC1，易證四邊形HMC1D1是平行四邊形，所以HD1∥MC1.又因為MC1∥BF，所以BF∥HD1.(2)取BD的中點O，連接EO，D1O，則OE綊eq\f(1,2)DC．又D1G綊eq\f(1,2)DC，所以OE綊D1G，所以四邊形OEGD1是平行四邊形，所以GE∥D1O.又GE?平面BB1D1D，D1O?平面BB1D1D，所以EG∥平面BB1D1D．(3)由(1)知BF∥HD1，又BF?平面B1D1H，HD1?平面B1D1H，所以BF∥平面B1D1H.又BD∥B1D1，BD?平面B1D1H，B1D1?平面B1D1H，所以BD∥平面B1D1H.又DB∩BF＝B，所以平面BDF∥平面B1D1H.[B級能力提升]11．(2018年福州模擬)已知直線a，b異面，給出以下命題：①一定存在平行于a的平面α使b∥α；②一定存在平行于a的平面α使b?α；③一定存在無數個平行于a的平面α與b交于一定點．則其中為真命題的是()A．①② B．①③C．②③ D．①②③【答案】D【解析】對于①，注意到過直線a，b外一點M分別引直線a，b的平行線a1，b1，顯然由直線a1，b1可確定平面α，此時平面α與直線a，b均平行，所以①正確；對于②，注意到過直線b上的一點B作直線a2與直線a平行，顯然由直線b與a2可確定平面α，此時平面α與直線a平行，且b?α，所以②正確；對于③，在直線b上取一定點N，過點N作直線c與直線a平行，經過直線c的平面(除由直線a與c所確定的平面及直線c與b所確定的平面之外)均與直線a平行，且與直線b相交于一定點N，所以③正確．綜上，①②③均正確．12．如圖所示，在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則在下列結論中，錯誤的是()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．異面直線PM與BD所成的角為45°【答案】C【解析】因為截面PQMN是正方形，所以MN∥QP.又PQ?平面ABC，MN?平面ABC，則MN∥平面ABC，由線面平行的性質知MN∥AC．又MN?平面PQMN，AC?平面PQMN，則AC∥截面PQMN.同理可得MQ∥BD，又MN⊥QM，則AC⊥BD，故A，B正確．又因為BD∥MQ，所以異面直線PM與BD所成的角等于PM與QM所成的角，即為45°，故D正確．13．已知E，F分別為正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1上的點，且AE＝eq\f(1,2)AB，AF＝eq\f(1,3)AA1，M，N分別為線段D1E和線段C1F上的點，則與平面ABCD平行的直線MN有()A．1條 B．3條C．6條 D．無數條【答案】D【解析】在線段A1F上任取一點H，過點H可以作與平面ABCD平行的平面α，顯然D1E，C1F都與這個平面α相交，連接兩個交點的直線必與平面ABCD平行，故滿足條件的直線MN有無數條．故選D．14．如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若BC⊥AC，∠BAC＝eq\f(π,3)，AC＝4，M為AA1的中點，點P為BM的中點，Q在線段CA1上，且A1Q＝3QC，則PQ的長度為________．【答案】eq\r(13)【解析】由題意知，AB＝8，過點P作PD∥AB交AA1于點D，連接DQ，則D為AM中點，PD＝eq\f(1,2)AB＝4.又因為eq\f(A1Q,QC)＝eq\f(A1D,AD)＝3，所以DQ∥AC，∠PDQ＝eq\f(π,3)，DQ＝eq\f(3,4)AC＝3.在△PDQ中，PQ＝eq\r(42＋32－2×4×3×cos\f(π,3))＝eq\r(13).15．如圖所示，三棱柱ABC－A1B1C1的側面BCC1B1是菱形，設D是A1C1上的點，且A1B∥平面B1CD，則A1D∶DC1的值為________．【答案】1【解析】設BC1∩B1C＝O，連接OD．因為A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，所以A1B∥OD．因為四邊形BCC1B1是菱形，所以O為BC1的中點，所以D為A1C1的中點，則eq\f(A1D,DC1)＝1.16．如圖所示，四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E為PB的中點．(1)求證：CE∥平面PAD．(2)在線段AB上是否存在一點F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，證明你的結論；若不存在，請說明理由．【解析】(1)證明：取PA的中點H，連接EH，DH.因為E為PB的中點，所以EH∥AB，EH＝eq\f(1,2)AB．又AB∥CD，CD＝eq\f(1,2)AB，所以EH∥CD，EH＝CD．因此四邊形DCEH是平行四邊形，所以CE∥DH.又DH?平面PAD，CE