專題22.1二次函數【八大題型】

【人教版】

?題型梳理

【題型1識別二次函數】........................................................................1

【題型2由二次函數的定義求參數的值】.........................................................3

【題型3由二次函數的定義求參數的取值范圍】...................................................4

【題型4二次函數的一般形式】.................................................................6

【題型5判斷二次函數的關系式】...............................................................7

【題型6列二次函數關系式（銷售問題）】......................................................10

【題型7列二次函數關系式（幾何圖形問題）】..................................................11

【題型8列二次函數關系式（增長率、循環問題）】..............................................14

?舉一反三

【知識點1二次函數的概念】

一般地，形如產ax?+bx+c（a、b、c是常數，a#0）的函數，叫做二次函數.其中x、y是變量，a、b、

c是常量，a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項.y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，a/））也叫做二

次函數的一般形式.

【題型1識別二次函數】

【例1】（2023春?廣西河池?九年級統考期末）下列函數中，是二次函數的是（）

A.y=3x—1B.y=x3+2C.y=（x—2）2-x2D.y=x（4—x）

【答案】D

【分析】根據二次函數的定義對各選項進行逐一分析即可，注意C、D兩項化簡完后再判斷.

【詳解】解：A、y=3x-l是一次函數，不符合題意；

B、y=/+2中，犬的次數是3,不是二次函數，不符合題意；

C、y=（%-2/一M可化為y=_4x+4是一次函數，不符合題意；

D、y=x（4-x）可化為y=4%-合，是二次函數，符合題意.

故選：D.

【點睛】本題考查的是二次函數的定義，一般地，形如y=a/+bx+c（a、b、c是常數，a手0）的函數,

叫做二次函數，熟練掌握其定義是解決此題的關鍵.

【變式（2023.內蒙古錫林郭勒盟?校考模擬預測）下列函數中，不是二次函數的是（）

A.y-x(x-1)B.y=V2x2-lC.y=-x2D.y=(x+5)2-x2

【答案】D

【分析】二次函數要求化簡后有二次項，根據二次函數的定義回答即可.

【詳解】A、函數化簡為y=/一，是二次函數，本選項不符合題意；

B、是二次函數，本選項不符合題意；

C、是二次函數，本選項不符合題意；

D、函數化簡為y=10》+25,沒有二次項，不是二次函數，本選項符合題意.

故選D.

【點睛】本題考查二次函數的定義，掌握二次函數的定義是解題的關鍵.

【變式1-2](2023春?浙江嘉興?九年級校考期中)有下列函數：

?y=5x-4；@y=|x2—6%；@y=2x3-8x2+3；?y=1x2-1；⑤y=2—：-2；

其中屬于二次函數的是(填序號).

【答案】②④

【分析】根據二次函數的定義判斷即可.

【詳解】解：②)乏/一6元④產;x2-1符合二次函數的定義，屬于二次函數；

3o

①尸5%-4是一次函數，不屬于二次函數；

③)=2K3-8*2+3自變量的最高次數是3,不屬于二次函數；

⑤尸■一3一2的右邊不是整式，不屬于二次函數.

綜上所述，其中屬于二次函數的是②④.

故答案為：②④.

【點睛】此題主要考查了二次函數的定義，判斷函數是否是二次函數，首先是要看它的右邊是否為整式，若

是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據二次函數的定義作出判斷，要抓住二次項系數不為。這個

關鍵條件.

【變式1-3](2023春?廣東梅州?九年級校考開學考試)下列函數中，是二次函數的有()

?>'=1->/2x2,②y=爰，③y=3x(1—3%),?y=(1-2x)(1+2%)

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】根據二次函數的定義；形如y=a/+bx+c(a,b,c為常數且a于0),逐一判斷即可.

【詳解】解：①y=l是二次函數；

②），=爰，不符合二次函數的定義，不是二次函數：

③『=3x（1-3%）,整理后是二次函數；

@>'=（1-2x）（1+2%）,整理后是二次函數；

故選：C.

【點睛】本題考杳了二次函數的定義，熟練掌握二次函數的定義是解題的關鍵.

【題型2由二次函數的定義求參數的值】

【例2】（2023春?河南洛陽?九年級統考期末）已知函數丫=（血+1）/向+1+4工一5是關于％的二次函數，

則一次函數y=mx一7九的圖像不經過第象限.

【答案】二

【分析】先根據二次函數的定義得到|m|+1=2,m+1H0,解得m=1,然后根據一次函數的性質進行判

斷.

【詳解】???函數、=（根+1）-刑+1+4%—5是關于工的二次函數，

|m|+1=2且m+1*0,

解得:m=1,

???一次函數y=mx—m的圖像經過第一、三、四象限，不經過第二象限，

故答案為：二

【點睛】本題考查了二次函數的定義以及一次函數的性質，求得m=l是解題的關鍵.

【變式2-1]（2023春?吉林長春?九年級校聯考期末）若函數y=（m-2）/+5x+6是二次函數，則有（）

A.m芋0B.C.xHOD.

【答案】B

【分析】直接根據二次函數的定義解答即可.

【詳解】解：由題意得，血一2。0,

解得m工2.

故選:B.

【點睛】本題考查的是二次函數的定義，熟知一般地，形如y=a/+b%+c（a、氏c是常數，aHO）的

函數，叫做二次函數是解題的關鍵.

【變式2-2]（2023春?北京西城?九年級北京十四中校考期中）已知函數y=血％而-2血+2+7九一2,若它是二

次函數，則函數解析式為.

【點睛】本題考查了二次函數的定義，熟練掌握和運用二次函數的定義是解決本題的關鍵.

【變式3-1](2023.浙江?九年級假期作業)若函數、=(/71+1)%2+2%+1是二次函數，則常數機的取值范

圍是()

A.m=-1B.m>—1C.m<-1D.znH—1

【答案】D

【分析】根據二次函數的定義即可得到答案.

【詳解】解：?.?函數y=(6+1)/+2工+1是二次函數，

二m+1,0,

二mf一1,

故選D.

【點睛】本題考查了二次函數的定義，熟記二次函數的二次項系數不等于0是解題關鍵.

【變式3-2](2023?全國?九年級假期作業)關于人的函數y十1是二次函數的彖件是()

A.QHba=bC.b=0D.a=0

【答案】A

【分析】根據二次函數的定義，直接求解即可得到答案；

【詳解】解：?.3=(。一匕)/+1是二次函數，

G—b不。,

解得：a于b,

故選A.

【點睛】本題考查二次函數的條件，二次函數二次項系數不為0.

【變式3-3](2023春?河北承德?九年級階段練習)若函數y=-2(%-1)2+僅-1)/為二次函數，則a的取

值范圍為()

A.B.QH1C.QW2D.Q03

【答案】D

【詳解】試題分析：由原函數解析式得到：y=-2(%-1)2+(a-1)/=(Q-3)/+4%-2.=函數、=

一2,-1)2+(a-1)M為二次函數，Aa-30,解得Q03.故選D.

考點：二次函數的定義.

【題型4二次函數的一般形式】

【例4】(2023?北京?九年級統考期中)已知關于x的函數y=(IT.-1)xm+(3m+2)x+1是二次函數，則此

解析式的一次項系數是()

A.-1B.8C.-2D.1

【答案】B

【分析】根據二次函數的一般形式為y=Q/+bx+c(a/O),其中二次項系數存0,且二次項指數為2求

解即可.

【詳解】?.，=(m-1)%狙+(3m+2)%+1是二次函數，-100,m=2,即m=2,m/1,???此解析

式的一次項系數是3m+2=3x2+2=8,故本題正確答案為B選項.

【點睛】本題考查了二次函數的定義，掌握二次函數的一般形式為y=Q/+bx+c(QW0),其中二次項系

數在0,且二次項指數為2是解決本題的關鍵.

【變式4-1](2023春?新疆烏魯木齊?九年級校考期末)把y=(3x-2)(x+3)化成一般形式后，一次項系數與常

數項的和為.

【答案】1

【分析】先將其化為一般式，即可求出一次項系數和常數項，從而求出結論.

【詳解】解：y=(3x-2)(x+3)=3x2+7x-6

???一次項系數為7,常數項為-6

???一次項系數與常數項的和為7+(-6)=1

故答案為：I.

【點睛】此題考查的是二次函數的一般式，掌握二次函數的一般形式是解題關鍵.

【變式4-2](2023?上海?九年級假期作業)下列函數中(%,I為自變量)，哪些是二次函數？如果是二次函

數，請指出二次項、一次項系數及常數項.

(l)y=-1+3x2；

(2)y=(x-3)(4-2x)+2x2；

(3)5=V5t2+)+3；

(4)y=x2-3近-6.

【答案】(I)是，二次項是3/、一次項系數是0、常數項是一點

(2)不是；

(3)是，二次項是通產、一次項系數是1、常數項是3；

(4)不是

【分析】根據二次函數的概念求解即可.

【詳解】（1）是二次函數，二次項是3/、一次項系數是0、常數項是一去

（2）y=（%-3）（4-2x）+2x2=-2x2+lOx-12+2x2=lOx-12,不含二次項，故不是二次函數；

（3）是二次函數，二次項是6《、一次項系數是1、常數項是3；

（4）y=x2-3y/x-6中一34不是整式，故不是二次函數.

【點睛】本題考杳二次函數的概念，二次項系數、一次項系數、常數項的概念，解題的關鍵是掌握以上知識

點.形如y=a/+b%+c（。工0）的函數叫做二次函數，其中Q/叫做二次項、b叫做一次項系數、c是常

數項.

【變式4-3]（2023春?全國?九年級專題練習）如果二次函數y=%/+打工+R。0,%、與、R是常

數）與y=+52工+C2（。2豐。，。2、與、C2是常數）滿足雹與。2互為相反數，仇與匕2相等，J與互

為倒數，那么稱這兩個函數為“亞旋轉函數請直接寫出函數丫=-/+3%-2的“亞旋轉函數”為

【答案】y=x2+3x-1

【詳解】解：V-1的相反數是1,一2的倒數是一點???函數y=-/+3x-2的“亞旋轉函數"為y=/+3x-

g.故答案為y=x2+3x-T.

【知識點2列二次函數關系式】

（1）理解題意：找出實際問題中的已知量和變量（自變量，因變量），將文字或圖形語言轉化為數學語言；

（2）分析關系：找到已知量和變量之間的關系，列出等量關系式；

⑶列函數表達式：設出表示變量的字母，把等量關系式用含字母的式子替換，將表達式寫成月自變量表示

的函數的形式.

【題型5判斷二次函數的關系式】

【例5】（2023春?北京西城?九年級北京市第三十五中學校考開學考試）如圖，在△/18C中，ZC=90°,AC=

5,DC=10,動點M、N分別從A、。兩點同時出發，點股從點A開始沿邊AC向點。以每秒1個單位長

的速度移動，點N從點。開始沿C8向點8以每秒2個單位長的速度移動.設運動的時間為3點M、C之

間的距離為y,△MCN的面積為5,則），與3S與/滿足的函數關系分別是（）

A

M

BN

A.正比例函數關系，一次函數關系B.正比例函數關系，二次函數關系

C.?次函數關系，正比例函數關系D.一次函數關系，二次函數關系

【答案】D

【分析】求出y與f,S與l滿足的函數關系式，再根據函數的類型進行判斷即可.

【詳解】解：由題意得，AM=t,CN=2t,

：.MC=AC-AM=5-t,

即y=5-r,

:?SWMC?CN=5P

因此），是/的一次函數，S是，的二次函數，

故選:D.

【點睛】本題考查一次函數、二次函數，理解一次函數、二次函數的意義是正確解答的前提，求出y與t,S

與t的函數關系式是正確判斷的關鍵.

【變式5-1］（2023春?九年級課時練習）下列關系中，是二次函數關系的是（）

A.當距離S一定時，汽車行駛的時間I與速度v之間的關系；

B.在彈性限度時，彈簧的長度y與所掛物體的質量x之間的關系；

C.圓的面積S與圓的半徑r之間的關系；

D.正方形的周長C與邊長a之間的關系；

【答案】C

［詳解】A.路程:速度x時間，所以當路程一定時，汽車行駛的時間t與速度v之間是一次函數的關系；

B.彈簧的長度y是隨著物體的質量x增大而增長的，是一次函數關系；

C.圓的面積=兀亡所以圓的面積S與圓的半徑r之間是二次函數關系；

D.正方形的周長C二邊長ax4,故C與邊長a之間是一次函數關系；

故選C.

點睛：本題主要考查的是二次函數的定義，根據題意列出函數關系式是解題的關鍵.

【變式5-2］（2023春?湖北宜昌?九年級校聯考期中）下列選項描述的y與x之間的關系是二次函數的是（）

A.正方體的體積），與棱長x之間的關系

B.某商品在6月的售價為30元，7月和8月連續兩次降價銷售，平均每月降價的百分率為「該商品8月

的售價），與x之間的關系

C.距離一定時，汽車勻速行駛的時間y與速度x之間的關系

D.等腰三角形的頂角度數），與底角度數x之間的關系

【答案】B

【分析】根據題意分別列出各項中的），與X之間的關系，進行判斷即可；

【詳解】解：A、正方體的體積），與棱長x之間的關系為：y=x3,y與工不是二次函數關系，不符合題意；

B、該商品8月的售價），與x之間的關系為：y=30（l-x）2,y與％是二次函數關系；符合題意；

C、距離一定時，汽車勻速行駛的時間y與速度x之間成反比例關系，不符合題意；

D、等腰三角形的頂角度數），與底角度數k之間成一次函數關系，不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題考查了二次函數的表達形式；熟練根據題意列出相對應的函數表達式是解題的關鍵.

【變式5-3]（2023春?北京昌平?九年級校考期中）如圖，線段4?=5,動點P以每秒1個單位長度的速度

從點A出發，沿線段48運動至點&以點A為圓心，線段AP長為半徑作圓.設點戶的運動時間為，，點P,

8之間的距面為y,04的面積為5,則，與f,S與，滿足的函數關系分別是,

.（填“正比例函數”或“一次函數''或"二次函數”）

【分析】根據題意列出函數關系式，即可判斷函數的類型.

【詳解】解：根據題意得：y=5-3因此屬于一次函數關系，

S=nt2,屬于二次函數關系.

故答案為：①一次函數；②二次函數.

【點睛】本題考查了函數關系式，根據題意列出函數關系式是解題的關鍵.

【題型6列二次函數關系式（銷售問題）】

【例6】（2023春?九年級課時練習）某商店從廠家以每件21元的價格購進一批商品，該商店可以自行定價.若

每件商品售為工元，則可■賣出（350-lOx）件商品，那么商品所賺錢），元與售價x元的函數關系為（）

A.y=-10x2—560x+7350B.y=-10x2+560%—7350

C.y=-10x24350kD.y=-10x2I350x—7350

【答案】B

【分析】商品所賺錢;每件的利潤x賣出件數，把相關數值代入即可求解.

【詳解】解：每件的利潤為（心21）,

工尸（片21）（350-1Ox）

=-10A2+560X-7350.

故選B.

【點睛】本題考查了根據實際問題列二次函數關系式，解決本題H勺關鍵是找到總利潤的等量關系，注意先求

出每件商品的利潤.

【變式6-1］（2023春?全國?九年級專題練習）王大爺生產經銷一種農副產品，其成本價為20元每千克.市

場調查發現,該產品每天的銷售量w（千克）與俏售價”（元/千克）有如下關系:w=-2%+60.若這種產品每天的

銷售利潤為y（元）.求y與》之間的函數關系式.

【答案】y=-2x2+100x-1200

【分析】利用單價利潤X總銷售量二總利潤.

【詳解】y=（X-20）w=（x-20）（-2x+60）=-2x2+100%-1200.

y=-2x2+100x-1200.

【變式6-2］（2023?浙江?九年級假期作業）商店銷售一種進價為50元/件的商品，售價為60元/件，每星期

可賣出200件，若每件商品的售價上漲1元，則每星期就會少賣10件.每件商品的售價上漲X元（％元為

正整數），每星期銷售的利潤為y元，則％與y的函數關系式為（）

A.y=10（200-10x）B.y=200（10+%）

C.y=（50+x）（200-10%）D.y=（10+x）（200-lOx）

【答案】D

【分析】先求出銷售量與x的關系，再根據利潤=（售價-進價）X銷售量列出y關于x的關系即可得到答案.

【詳解】解：設每件商品的售價上漲x元，則銷售量為（200-10切件，

Ay=（60+x-50）（200-10x）=（x+10）（200-10%）,

故選D.

【點睛】本題主要考杳了列函數關系式，正確理解題意是解題的關鍵.

【變式6-3］（2023?全國?九年級專題練習）某農戶要改造部分農田種植蔬菜，經調查，平均每畝改造費用是

900元，添加輔助設備費用（元）與改造面積（畝）的平方成正比，比例系數為18,每畝種植蔬菜還需種

子、人工費用600元，若每畝蔬菜年銷售額為7000元，設改造農田x畝，改造當年收益為），元，則），與x

之間的數量關系可列式為()

A.y=7000%-(900x+18x+600x)B.y=7000%-(90Ox+18x2+600x)

C.y=7000-(900x+18/+600x)D.y=7000%-(900%+18/+600)

【答案】B

【分析】設改造農田x畝，根據題意可求出改造的x畝農田的總成本和總銷售額，再根據收益;總銷售額-總

成本，即可列出方程.

【詳解】設改造農田X畝，則總成本為900%+18/+600，總銷售額為7000%,

，可列方程為y=7000x-(900%+18x24-600%).

故選B.

【點睛】本題考查二次函數的實際應用.理解題意，找出等量關系，列出等式是解題關鍵.

【題型7列二次函數關系式(幾何圖形問題)】

【例7】(2023春?山東青島?九年級統考期末)如下圖所示，在一幅長80cm、寬50cm的矩形風景畫的四周鑲

一條金色紙邊，制成一幅矩形掛面，設整個掛畫總面積為yen?,金色紙邊的寬為%cm,則)，與x之間的函數

關系式是.

［答案］y=4x2+260%+4000

【分析】由于整個掛畫為長方形，用x分別表示新的長方形的長用寬，然后根據長方形的面積公式即可確定

函數關系式.

【詳解】解：由題意可得：y=(80+2%)(50+2%)

=4%2十260X+4000.

故答案為：y=4x2+260%+4000.

【點睛】本題主要考查了根據實際問題列二次函數關系式，解題的關鍵是根據題意，找到所求晟的等最關系，

此題主要利用了長方形的面積公式解題.

【變式7-1】(2023春?全國.九年級統考期末)如圖，等腰梯形的周長為60,底角為30。，腰長為x,面積為

y,試寫出y與x的函數表達式.

0°30'

B

【答案】s=-，2+15X（0<X<60）

【分析】作AE_LBC,在RtZkABE中，求出AEgAB^x,利用梯形的周氏可得出AD+BC的值，代入梯形

面積公式即可得出y與x的函數表達式.

【詳解】作AE_LBC,

/0。：30、

BEc

在RSABE中,ZB=3O°,

則AE^AB與，

丁四邊形ABCD是等腰梯形，

/.AD+BC=60-AB-CD=60-2x,

?,3（AD+BC）xAE=1（60-2x）x沁沁15x（0<x<60）.

【點睛】本題考查了根據實際問題抽象二次函數關系式的知識，掌握梯形的面積公式及等腰梯形的性質是解

答本題的關鍵.

【變式7-2］（2023春?浙江?九年級統考期中）為了改善小區環境，某小區決定要在一塊一邊靠墻（墻長25m）

的空地上修建一個矩形綠化帶ABCD,綠化帶一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍住（如圖）.若設綠

化帶的BC邊長為xm,綠化帶的面積為yn】2.則y與x之間的函數關系式是自變量x的取值范圍是二

【答案】y=_12+20%,o<x<25

【分析】根據矩形的面積公式列出關于二次函數解析式；根據墻長、x、y所表示的實際意義來確定x的取值

范圍.

【詳解】由題意得:

y=x?殍=-1X2+20X,自變量x的取值范圍是0VX525.

故答案是：y=4x2+20x,0<x<25

【點睛】本題考查二次函數的實際應用，根據題意建立二次函數碟型是解題的關鍵.

【變式7-3]（2023春?九年級課時練習）圖（1）是一個水平擺放的小正方體木塊，圖（2）、（3）是由這

樣的小正方體木塊疊放而成，按照這樣的規律繼續疊放下去，則第〃個疊放的圖形中，小正方體木塊總數，〃

與〃的解析式是.

【分析】圖（1）中只有一層，有（4x0+1）一個正方形，圖（2）中有兩層，在圖（1）的基礎上增加了一

層，第二層有（4x1+1）個.圖（3）中有三層，在圖（2）的基礎長增加了一層，第三層有（4x2+1）,

依此類推出第〃層正方形的個數，即可推出當有〃層時總的正方形個數.

【詳解】解：經分析，可知：第一層的正方形個數為（4x0+1）,

第二層的正方形個數為（4x1+1）,

第三層的正方形個數為（4x2+1）,

第〃層的個數為：[4x(〃-1)+1],

第〃個疊放的圖形中，小正方體木塊總數，〃為：

1+(4x1+1)+(4x2+1)+...+[4x(〃-2)+l]+[4x(〃-1)+1]

=1+4x14-1+4x2+1+...4-4X(〃-2)+1+4x(〃-1)4-1

="+4(1+2+3+…+11-2+n-I)

=zj+4x(l±n-lXn-l)

2

=71+2〃(72-1)

=2tr-n.

0P；m=2n2-n.

故答案為：〃-2〃2-〃

【點睛】本題解題關鍵是根據圖形的變換總結規律，由圖形變換得規律：每次都比上?次增加?層，增加第

〃層時小正方形共增加了4（〃-1）+1個，將〃層的小正方形個數相加即可得到總的小正方形個數.

【題型8