2024-2025學年度昌泰高級中學高一下學期第一次月考（數學）考試范圍：必修二第6章考試時間：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求，選對得5分，選錯得0分.1.化簡等于（）A. B. C. D.2.等于（）A. B. C. D.3.已知是兩個不共線的向量，向量，.若，則（）A. B. C.2 D.4.已知向量滿足，且，則向量在向量上投影向量為（

）（）A. B.C. D.5.已知向量滿足，，，則（）A.-2 B.-1 C.1 D.26.在中，角所對的邊分別為，且，則等于（）A B. C. D.7.在中，，則（）A. B. C. D.8.記的內角的對邊分別是，已知，，則的面積為（）A.1 B.2 C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，則（）A. B.C. D.10.已知平面向量，，且，則（）A. B.C D.11.設是任意的非零向量，且它們相互不共線，則（）A.B.不與垂直C.D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知點A(2，1)，B(－2，3)，O為坐標原點，且，則點C坐標為________.13.已知的內角A，B，C所對邊長分別是a，b，c，設向量，，若，則角B的大小為_____________.14.如圖所示，當甲船位于處時獲悉，在其正東方向相距20海里的處有一艘漁船遇險等待營救，甲船立即前往營救，同時把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里處的乙船，乙船立即朝北偏東角的方向沿直線前往B處營救，則_____．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知平面向量（1）若，求x的值；（2）若，求.16.已知，，且與的夾角為.（1）求；（2）求與的夾角的余弦值.17.在中，已知，，.（1）求；（2）若D為BC上一點，且，求的面積.18.中，已知．（1）求證：；（2）若，求A的值．19.如圖，某廣場有一塊不規則的綠地，城建部門欲在該地上建造一個底座為三角形的環境標志，小李、小王設計的底座形狀分別為、，經測量，，，．（1）求的長度；（2）若環境標志的底座每平方米造價為5000元，不考慮其他因素，小李、小王誰的設計使建造費用較低（請說明理由）？較低造價為多少？

2024-2025學年度昌泰高級中學高一下學期第一次月考（數學）考試范圍：必修二第6章考試時間：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求，選對得5分，選錯得0分.1.化簡等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據向量的加法運算求解即可.【詳解】

.故選:C.2.等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的減法運算可得答案.【詳解】，故選：B3.已知是兩個不共線的向量，向量，.若，則（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根據向量共線定理結合向量的數乘運算、平面向量基本定理求解.【詳解】由題意，，設，即，則，解得.故選：A.4.已知向量滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（

）（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據投影向量的概念直接求解即可.【詳解】因滿足，且，所以，向量在向量上的投影向量為，故選：D.5.已知向量滿足，，，則（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根據模長與數量積的關系列出得的方程，解方程組即可.【詳解】因為，且，所以，解得.故選：6.在中，角所對的邊分別為，且，則等于（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據給定條件，求出角A，再利用三角形內角和定理計算作答.【詳解】在中，由余弦定理得，而，則，所以.故選：B7.在中，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理的邊角變換與余弦定理即可得解.【詳解】因為，所以由正弦定理得，即，則，故，又，所以.故選：B.8.記的內角的對邊分別是，已知，，則的面積為（）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】由正弦定理及余弦定理得，然后利用余弦定理結合三角形的面積公式，即可求解.【詳解】∵，∴，，可得，∵，，，∴，所以三角形的面積為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由正弦定理邊角互化結合正弦函數值域可判斷選項正誤【詳解】對于AB，注意到，又，則，然后由正弦定理邊角互化可得，故A錯誤，B正確；對于CD，由正弦定理邊角互化，，故C正確；，題目條件不足，無法判斷.故選：BC10.已知平面向量，，且，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據即向量、的坐標，求出，驗證C選項，解出，再根據向量數量積的運算驗證A選項，向量平行的坐標表示驗證B選項，利用坐標求模長驗證D選項即可求解.【詳解】因為，，所以，所以，所以，因為，所以，整理得：，解得，故C錯誤；所以，，故A正確；因為，，所以，所以，故B正確；，故D正確.故選：ABD11.設是任意的非零向量，且它們相互不共線，則（）A.B.不與垂直C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根據向量數量積的運算律可計算并判斷A,B,D，利用三角形三邊關系不等式可判斷C.【詳解】根據向量數量積的分配律可知A正確；對于B，因為，所以與垂直，故B錯誤；對于C，因為不共線，所以組成三角形三邊，則成立，故C正確；根據向量數量積的運算律可知D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知點A(2，1)，B(－2，3)，O為坐標原點，且，則點C的坐標為________.【答案】(04)【解析】【分析】由向量的坐標表示計算即可.【詳解】設C(x，y)，則.由，則x＝0，y＝4.則.故答案為：(0,4)13.已知的內角A，B，C所對邊長分別是a，b，c，設向量，，若，則角B的大小為_____________.【答案】【解析】【分析】由兩向量共線的充要條件可得三角形邊與角的關系，再利用余弦定理即可求解.【詳解】，由正弦定理可化簡得，整理得.【點睛】本題考查向量共線的充要條件，正、余弦定理的應用.熟練掌握并靈活運用正、余弦定理是解題關鍵.14.如圖所示，當甲船位于處時獲悉，在其正東方向相距20海里的處有一艘漁船遇險等待營救，甲船立即前往營救，同時把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里處的乙船，乙船立即朝北偏東角的方向沿直線前往B處營救，則_____．【答案】【解析】【分析】利用余弦定理可得的值，再利用正弦定理即可求解.【詳解】解：根據題意，,,,,根據余弦定理,解得,根據正弦定理，，解得.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知平面向量（1）若，求x的值；（2）若，求.【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）直接利用向量垂直的坐標表示，列方程求解；（2）先通過向量平行的坐標公式求出，再通過向量的坐標運算求模.【小問1詳解】，，解得或；【小問2詳解】，，即解得或，當時，，，；當時，，，，或.16.已知，，且與的夾角為.（1）求；（2）求與的夾角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由數量積的定義求出，再根據及數量積的運算律計算可得；（2）首先根據數量積的運算律求出，再根據夾角公式計算可得.【小問1詳解】由已知可得，所以，所以.【小問2詳解】因為，所以.17.在中，已知，，.（1）求；（2）若D為BC上一點，且，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長的值為，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函數基本關系可得；(2)由題意可得，則，據此即可求得的面積.【小問1詳解】由余弦定理可得：，則，，.【小問2詳解】由三角形面積公式可得，則.18.在中，已知．（1）求證：；（2）若，求A的值．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】【分析】詳解】試題解析：(1)∵,∴,即.由正弦定理,得,∴.又∵,∴.∴即.(2)∵,∴.∴.∴,即.∴.由(1)得,解得.∵,∴.∴.考點：（1）向量的數量積的定義與正弦定理；（2）已知三角函數值，求角.19.如圖，某廣場有一塊不規則的綠地，城建部門欲在該地上建造一個底座為三角形的環境標志，小李、小王設計的底座形狀分別為、，經測量，，，．（1）求的長度；（2）若環境標志的底座每平方米造價為5000元，不考慮其他因素，小李、小王誰的設計使建造費用較低（請說明理由）？較低造價為多少？【答案】（