第7講離散型隨機變量及其分布列、均值、方差計數原理、概率、隨機變量及其分布第十章

(本講對應系統復習P290)課標要求考情概覽1.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機現象的重要性.2.能確定隨機變量，求出隨機變量發生的概率，正確列出分布列.3.理解超幾何分布，并能進行簡單的應用考向預測：從近三年高考情況來看，本講一直是高考中的熱點內容.預測本年度將會考查：①離散型隨機變量的分布列與期望的求解；②離散型隨機變量的期望與方差在決策中的應用.試題以解答題的形式呈現，以現實生活中的事例為背景進行考查，屬中檔題型.學科素養：主要考查數據分析、數學建模、數學運算的素養欄目導航01基礎整合

自測糾偏03素養微專直擊高考02重難突破

能力提升04配套訓練基礎整合自測糾偏1(1)隨機變量：一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω，都有

的實數X(ω)與之對應，我們稱X為隨機變量.

(2)離散型隨機變量：可能取值為

的隨機變量，我們稱之為離散型隨機變量.

(3)字母表示：通常用大寫英文字母表示隨機變量，例如

；用小寫英文字母表示隨機變量的取值，例如

.

唯一

有限個或可以一一列舉

X，Y，Z

x，y，z2.分布列的概念與性質(1)定義：一般地，設離散型隨機變量X可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列.(2)表示方法：①表格；②概率分布圖.(3)性質：①pi

0，i＝1，2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝

.≥

1

X01P1－pp

(2)超幾何分布：①定義：一般地，假設一批產品共有N件，其中有M件次品，從N件產品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產品中的次品數，則X的分布列為P(X＝k)＝

，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.

其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布.

np4.離散型隨機變量的均值(1)定義：一般地，若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn則稱E(X)＝

＝

為隨機變量X的均值或數學期望，數學期望簡稱期望.

(2)意義：均值是隨機變量可能取值關于取值概率的加權平均數，它綜合了隨機變量的取值和取值的概率，反映了隨機變量取值的

.

x1p1＋x2p2＋…＋xnpn

平均水平

5.離散型隨機變量的方差(1)方差和標準差的定義：設離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn我們稱D(X)＝

＝

為隨機變量X的方差，有時也記為Var(X)，并稱_______________________

為隨機變量X的標準差，記為σ(X).

(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn

(2)方差和標準差的意義：隨機變量的方差和標準差都可以度量隨機變量取值與其均值的

，反映了隨機變量取值的離散程度.方差或標準差

，隨機變量的取值越集中；方差或標準差

，隨機變量的取值越分散.偏離程度越小越大

6.均值與方差的性質(1)E(aX＋b)＝

；

(2)D(aX＋b)＝

.

aE(X)＋b

a2D(X)【特別提醒】1.隨機變量的均值是常數，樣本的平均數是隨機變量，它不確定.2.隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離變量的平均程度越小.【常用結論】1.若X是隨機變量，則Y＝aX＋b(a，b為常數)也是隨機變量.2.min{M，n}表示M，n的最小值，對于m＝min{M，n}，當n≤M時，m＝n；當n＞M時，m＝M.1.(教材習題改編)若某一射手射擊所得環數X的分布列為X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22則此射手“射擊一次命中環數X≥7”的概率是(

)A.0.88B.0.12C.0.79D.0.09A2.(2023年泰安月考)在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分.如果某運動員罰球命中的概率為0.8，那么他罰球1次的得分X的均值為(

)A.0.2B.0.4

C.0.8D.1C3.(2023年孝感月考)已知隨機變量ξ的分布列為ξ012Pa

B4.(2023年聊城期中)(多選)已知隨機變量X的分布列如下表(其中a為常數)：X01234P0.10.20.40.2a則下列計算結果正確的有(

)A.a＝0.1

B.P(X≥2)＝0.7C.P(X≥3)＝0.4D.P(X≤1)＝0.3ABD

1.兩點分布的試驗結果只有兩個可能性，其概率之和為1.2.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數，主要用于抽檢產品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質是古典概型.重難突破能力提升2離散型隨機變量分布列的性質

(1)(2023年鹽城期末)已知隨機變量X的分布列如表：X1234P0.150.35m0.25則實數m＝(

)A.0.05B.0.15C.0.25D.0.35C

C【解題技巧】離散型隨機變量的分布列性質的應用：(1)利用“總概率之和為1”可以求相關參數的取值范圍或值.(2)利用“離散型隨機變量在一范圍內的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和”求某些特定事件的概率.(3)可以根據性質判斷所得分布列結果是否正確.【變式精練】1.(1)(2023年臺州期中)已知隨機變量X的分布列如表，若E(X)＝5，則a＝(

)X3aPb

C

(2)(2023年北京西城區期中)隨機變量X的分布列如下表，其中a，b，c成等差數列，則P(|X|＝1)＝(

)X－101Pabc

A

求離散型隨機變量的分布列

(2022年甲卷)甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局.三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍.已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立.(1)求甲學校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望.解：(1)甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，可以得到兩個學校每場比賽獲勝的概率如下表所示：

第一場比賽第二場比賽第三場比賽甲學校獲勝概率0.50.40.8乙學校獲勝概率0.50.60.2甲學校要獲得冠軍，需要在3場比賽中至少獲勝2場.①甲學校3場全勝，概率為P1＝0.5×0.4×0.8＝0.16.②甲學校3場獲勝2場敗1場，概率為P2＝0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.8＝0.44.所以甲學校獲得冠軍的概率為p＝P1＋P2＝0.6.(2)乙學校的總得分X的可能取值為0，10，20，30，P(X＝0)＝P1＝0.16，P(X＝10)＝P2＝0.44，P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06，P(X＝20)＝1－P(X＝0)－P(X＝10)－P(X＝30)＝0.34，則X的分布列為X0102030P0.160.440.340.06X的期望E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.【解題技巧】離散型隨機變量分布列的求解步驟：(1)明確隨機變量的可能取值有哪些，且每一個取值所表示的意義.(2)弄清楚隨機變量的概率類型，利用相關公式求出變量所對應的概率.(3)按規范要求形式寫出分布列.(4)利用分布列的性質檢驗分布列是否正確.

ξ0123P離散型隨機變量的均值與方差

示通法求離散型隨機變量X的均值與方差的步驟：(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值.(2)求X取每個值時的概率.(3)寫出X的分布列.(4)由均值的定義求E(X).(5)由方差的定義求D(X).考向1求離散型隨機變量的均值、方差

(2022年南京模擬)(多選)設離散型隨機變量X的分布列如表，若離散型隨機變量Y滿足Y＝2X＋1，則下列結果正確的有(

)A.E(X)＝0.4B.D(X)＝0.24C.E(Y)＝1.8D.D(Y)＝0.48X01P0.60.4ABC

【解析】由題意可知X服從兩點分布，所以E(X)＝0.4，D(X)＝(0－0.4)2×0.6＋(1－0.4)2×0.4＝0.24，A，B正確.因為Y＝2X＋1，所以E(Y)＝E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×0.4＋1＝1.8，故C正確.D(Y)＝D(2X＋1)＝22D(X)＝4×0.24＝0.96，故D錯誤.故選ABC.考向2已知均值與方差，求參數值

(2023年紹興二模)設0＜a，b，c＜1，隨機變量ξ的分布列是ξ012Pabc

B

【解題技巧】離散型隨機變量的均值與方差的常見類型及解題策略：(1)求離散型隨機變量的均值與方差.可依題設條件求出離散型隨機變量的概率分布列，然后利用均值、方差公式直接求解.(2)由已知均值或方差求參數值.可依據條件利用均值、方差公式得出含有參數的方程，解方程即可求出參數值.【變式精練】3.(1)(2023年十堰期末)(多選)某同學求得一個離散型隨機變量X的分布列為X1246P0.20.3m0.1

ABD

(2)(2023年衡水模擬)(多選)已知某商場銷售一種商品的單件銷售利潤為X＝0，a，2，根據以往銷售經驗可得0＜a＜2，隨機變量X的分布列為(

)X0a2Pb

ABC

超幾何分布

(2023年河北模擬)學校體育節，某小組共10人利用假期參加義工活動.已知參加義工活動次數為1，2，3的人數分別為3，3，4.現從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會.(1)設A為事件“選出的2人參加義工活動次數之和為4”，求事件A發生的概率；(2)設X為選出的2人參加義工活動次數之差的絕對值，求隨機變量X的分布列和數學期望與方差.

X012P

【解題技巧】1.超幾何分布的應用條件：(1)考察對象分兩類.(2)已知各類對象的個數.(3)從中抽取若干個個體，考察某類個體個數ξ的概率分布.2.求超幾何分布的分布列的步驟：

η123P

素養微專直擊高考3思想方法——均差與方差在決策中的應用(2022年聊城三模)2021年3月5日李克強總理在政府工作報告特別指出，扎實做好碳達峰、碳中和各項工作，制定2030年前碳排放達峰行動方案，優化產業結構和能源結構.某環保機器制造商為響應號召，對一次購買2臺機器的客戶推出了兩種超過機器保修期后5年內的延保維修方案.方案一：交納延保金5000元，在延保的5年內可免費維修2次，超過2次每次收取維修費1000元；方案二：交納延保金6230元，在延保的5年內可免費維修4次，超過4次每次收取維修費t元.制造商為制定收取標準，為此搜集并整理了200臺這種機器超過保修期后5年內維修的次數，統計得到下表：典例精析維修次數0123機器臺數20408060以這200臺機器維修次數的頻率代替1臺機器維修次數發生的概率，記X表示2臺機器超過保修期后5年內共需維修的次數.(1)求X的分布列；(2)以所需延保金與維修費用之和的均值為決策依據，為使選擇方案二對客戶更合算，應把t定在什么范圍？【思路導引】(1)由X的取值求解概率，得到分布列；(2)求出兩種方案所需費用的均值，由方案二的均值小于方案一的均值求解t的取值范圍.

X0123456P(2)設選擇方案一所需費用為Y1元，則X≤2時，Y1＝5000；X＝3時，Y1＝6000；X＝4時，Y1＝7000；X＝5時，Y1＝8000，X＝6時，Y1＝9000.故Y1的分布列為Y150006000700080009000P

Y262306230＋t6230＋2tP

【點評】隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量穩定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產實際中用于方案取舍的重要理論依據.一般先比較均值，當均值不同時，兩個隨機變量取值的水平可見分歧，可對問題作出判斷.若兩隨機變量均值相同或相差不大，則可通過分析兩變量的方差來研究隨機變量的離散程度或者穩定程度，進而進行決策.

為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對