2024-2025學年新教材高中數學第3章排列、組合與二項式定理章末綜合提升教學實錄新人教B版選擇性必修第二冊學校授課教師課時授課班級授課地點教具設計思路本課程設計圍繞“排列、組合與二項式定理”這一核心內容，以新人教B版選擇性必修第二冊教材為基礎，結合學生實際情況，通過實例分析和習題訓練，幫助學生深入理解排列組合的基本原理和二項式定理的應用。課程旨在提升學生對數學知識的應用能力，培養邏輯思維和解決問題的能力。核心素養目標分析本節課旨在培養學生數學抽象、邏輯推理和數學建模的核心素養。學生將通過實際操作和問題解決，學會運用排列組合和二項式定理解決實際問題，提升數學思維能力；同時，通過小組合作和探究活動，培養學生的團隊合作和溝通能力，增強數學應用意識和創新意識。學習者分析1.學生已經掌握了哪些相關知識：

學生在此階段已經學習了基本的計數原理，如加法原理和乘法原理，對簡單的排列組合問題有一定的理解。同時，他們已經接觸過二項式定理的基本概念，但對于其應用和證明方法可能掌握不夠深入。

2.學生的學習興趣、能力和學習風格：

學生對數學學科普遍持有一定的興趣，尤其是對解決實際問題感興趣。在學習能力方面，學生具備一定的邏輯思維能力和抽象思維能力。學習風格上，部分學生傾向于通過實例和操作來學習，而另一部分學生則更偏好通過理論推導和公式記憶來掌握知識。

3.學生可能遇到的困難和挑戰：

學生在學習排列組合時，可能對復雜問題中的元素分類和排列順序感到困惑。在應用二項式定理時，學生可能會遇到如何正確選擇項數和系數的問題。此外，學生在解決實際問題時，可能會缺乏將實際問題轉化為數學模型的能力。因此，教學中需要引導學生逐步克服這些困難，提高他們的數學建模和問題解決能力。教學資源-軟件資源：數學教育軟件、幾何繪圖軟件

-課程平臺：學校內部教學平臺、在線教學資源庫

-信息化資源：排列組合和二項式定理的動畫演示、相關習題數據庫

-教學手段：多媒體教學設備、實物教具（如骰子、卡片等）、黑板或電子白板教學流程1.導入新課

詳細內容：

-利用多媒體展示生活中常見的排列組合現象，如彩票開獎、體育比賽排名等，激發學生的興趣。

-提問：“在日常生活中，我們如何進行有序的排列和組合？”

-引導學生回顧已學知識，如加法原理和乘法原理，為新課學習做好鋪墊。

用時：5分鐘

2.新課講授

詳細內容：

（1）排列組合的基本概念

-通過實例講解排列和組合的定義，如從5個不同元素中取出3個元素的排列和組合。

-強調排列是有序的，而組合是無序的。

用時：10分鐘

（2）排列組合的計算公式

-講解排列公式和組合公式，并舉例說明如何運用公式解決問題。

-引導學生理解排列數和組合數的計算方法，如排列數P(n,k)=n!/(n-k)!，組合數C(n,k)=n!/[k!(n-k)!]。

用時：10分鐘

（3）二項式定理的應用

-介紹二項式定理的概念，并講解其證明過程。

-通過實例講解二項式定理在解決實際問題中的應用，如概率計算、幾何問題等。

用時：10分鐘

3.實踐活動

詳細內容：

（1）完成課本上的例題

-學生獨立完成課本上的例題，鞏固排列組合和二項式定理的應用。

-教師巡視指導，解答學生疑問。

用時：10分鐘

（2）小組合作解決問題

-將學生分成小組，每組提出一個與排列組合或二項式定理相關的問題。

-小組成員共同探討、分析問題，并嘗試運用所學知識解決問題。

用時：10分鐘

（3）展示小組成果

-各小組展示自己的問題及解決方案，其他小組進行評價和補充。

-教師點評，總結問題解決過程中的亮點和不足。

用時：10分鐘

4.學生小組討論

寫3方面內容舉例回答：

（1）排列組合在實際生活中的應用

-學生舉例說明排列組合在生活中的應用，如生日排序、密碼設置等。

（2）二項式定理在概率計算中的應用

-學生舉例說明二項式定理在概率計算中的應用，如拋硬幣實驗、抽獎活動等。

（3）排列組合與二項式定理在數學證明中的應用

-學生舉例說明排列組合與二項式定理在數學證明中的應用，如證明組合數的性質、二項式定理的證明等。

用時：5分鐘

5.總結回顧

內容：

-回顧本節課所學內容，強調排列組合和二項式定理的基本概念、計算公式和應用。

-總結本節課的重難點，如排列組合的計算方法、二項式定理的證明和應用。

-鼓勵學生在課后繼續鞏固所學知識，并嘗試解決實際問題。

用時：5分鐘

總計用時：45分鐘教學資源拓展1.拓展資源：

-排列組合的實際應用案例：介紹排列組合在密碼學、統計學、計算機科學和日常生活中的應用，如密碼生成、數據分析、計算機編程中的排列組合問題等。

-二項式定理的擴展：探討二項式定理的進一步應用，包括多項式定理的介紹，以及二項式定理在數論和組合數學中的角色。

-組合數學中的其他概念：介紹組合數學中的其他基本概念，如生成函數、圖論中的匹配問題、網絡流問題等。

-排列組合的歷史背景：簡要介紹排列組合的發展歷史，著名數學家的貢獻，以及排列組合在數學發展中的地位。

2.拓展建議：

-鼓勵學生閱讀關于組合數學的書籍或在線資源，如《組合數學及其應用》等，以加深對排列組合理論的理解。

-建議學生參與數學競賽或挑戰，如美國數學競賽（AMC）、國際數學奧林匹克（IMO）等，這些競賽往往包含豐富的排列組合問題。

-提供一些在線模擬實驗或軟件工具，如《Geometer'sSketchpad》或《MATLAB》等，讓學生通過圖形化的方式探索排列組合的規律。

-建議學生嘗試自己設計排列組合問題，并嘗試解決，以此來提高他們的創新能力。

-鼓勵學生參與小組項目，如研究排列組合在特定領域的應用，如密碼學或計算機科學中的數據結構設計。

-建議學生定期復習排列組合的基本概念和公式，通過練習題來鞏固所學知識。

-提供一些視頻教程或講座，如YouTube上的數學教育頻道，幫助學生理解復雜的排列組合問題。

-建議學生嘗試將排列組合的知識應用到日常生活中，如設計一個優化購物清單的算法，或者解決家庭聚會中的座位安排問題。典型例題講解例題1：從5個不同的元素中，任取3個元素，不同的取法共有多少種？

解答：這是一個典型的組合問題。根據組合數的計算公式C(n,k)=n!/[k!(n-k)!]，我們可以計算出：

C(5,3)=5!/[3!(5-3)!]=(5×4×3×2×1)/[(3×2×1)×(2×1)]=10

所以，不同的取法共有10種。

例題2：從0，1，2，3，4，5中任取3個不同的數，其和為偶數的取法共有多少種？

解答：要使三個數的和為偶數，可以有以下兩種情況：

（1）三個數都是偶數，即從{0,2,4}中取3個數，但這是不可能的，因為只有3個數。

（2）兩個奇數和一個偶數，即從{1,3,5}中取2個數，再從{0,2,4}中取1個數。

計算兩個奇數的組合數C(3,2)=3，然后乘以偶數的組合數C(3,1)=3，得到：

C(3,2)×C(3,1)=3×3=9

所以，和為偶數的取法共有9種。

例題3：從0，1，2，3，4，5中任取3個不同的數，其和為奇數的取法共有多少種？

解答：與例題2類似，要使三個數的和為奇數，可以有以下兩種情況：

（1）三個數都是奇數，即從{1,3,5}中取3個數，但這是不可能的，因為只有3個數。

（2）一個奇數和兩個偶數，即從{1,3,5}中取1個數，再從{0,2,4}中取2個數。

計算一個奇數的組合數C(3,1)=3，然后乘以兩個偶數的組合數C(3,2)=3，得到：

C(3,1)×C(3,2)=3×3=9

所以，和為奇數的取法共有9種。

例題4：從5個不同的元素中，任取3個元素，其中有2個是特定的元素，求不同的取法共有多少種？

解答：由于有2個特定的元素，我們只需要從剩下的3個元素中再取1個元素。這是一個簡單的組合問題：

C(3,1)=3

所以，不同的取法共有3種。

例題5：從0，1，2，3，4，5中任取3個不同的數，其中有1個是特定的偶數，求不同的取法共有多少種？

解答：首先，特定的偶數是固定的，所以我們只需要從剩下的5個元素（包括3個奇數和2個偶數，但不包括特定的偶數）中取2個元素。這是一個組合問題：

C(5,2)=5!/[2!(5-2)!]=(5×4)/(2×1)=10

所以，不同的取法共有10種。教學評價與反饋1.課堂表現：

課堂表現是評價學生參與度和學習效果的重要指標。在教學過程中，教師將觀察學生的注意力集中程度、回答問題的積極性、參與課堂討論的主動性以及完成課堂練習的速度和質量。例如，教師可以記錄以下評價點：

-學生是否能準確復述排列組合的基本概念和二項式定理的定義。

-學生在課堂上是否能主動提問或對問題進行深入思考。

-學生在完成課堂練習時是否表現出對知識的理解和應用能力。

2.小組討論成果展示：

小組討論是培養學生合作精神和解決問題能力的重要環節。評價小組討論成果時，教師可以關注以下方面：

-小組成員是否能夠有效分工合作，共同解決問題。

-小組是否能夠提出創新的解決方案或對問題進行深入分析。

-小組展示成果時，是否能夠清晰、有條理地表達觀點，并回答其他小組的提問。

3.隨堂測試：

隨堂測試是檢驗學生學習成果的直接方式。評價隨堂測試時，教師可以考慮以下內容：

-學生對排列組合和二項式定理的基本概念和公式的掌握程度。

-學生能否將理論知識應用到解決實際問題中。

-學生在測試中的時間管理能力和答題速度。

4.學生自評與互評：

鼓勵學生進行自評和互評，以增強他們的自我反思能力和團隊合作意識。教師可以引導學生從以下幾個方面進行評價：

-學生對自己的學習態度、參與程度和知識掌握情況進行自我評價。

-學生之間相互評價，包括對小組討論的貢獻、解決問題的能力以及對他人建議的接受程度。

5.教師評價與反饋：

教師評價應針對學生的具體表現，提供具體的反饋和建議。以下是一些可能的評價點和反饋內容：

-針對學生對排列組合概念的理解，教師可以評價他們是否能夠正確應用公式解決實際問題。

-對于學生在小組討論中的表現，教師可以評價他們的溝通能力、團隊合作精神和解決問題的能力。

-針對隨堂測試的結果，教師可以提供具體的成績分析，指出學生在哪些知識點上存在困難，并給出相應的改進建議。

-教師還可以根據學生的學習進度和興趣，提供個性化的學習建議，如推薦相關學習資源或額外練習題。反思改進措施反思改進措施（一）教學特色創新

1.案例教學法的應用：在講解排列組合和二項式定理時，我嘗試引入了一些實際生活中的案例，如彩票開獎、密碼設置等，讓學生在實際情境中理解數學知識的應用，這樣可以提高學生的學習興趣和積極性。

2.多媒體輔助教學：利用多媒體課件展示圖形和動畫，幫助學生直觀地理解抽象的數學概念，比如通過動態演示排列組合的過程，讓學生更容易掌握。

反思改進措施（二）存在主要問題

1.學生對理論知識的理解不夠深入：在教學過程中，我發現有些學生對排列組合和二項式定理的基本概念理解不夠，尤其是在解決復雜問題時，往往無法靈活運用所學知識。

2.小組討論效果不理想：雖然小組討論是一種很好的學習方式，但在實際操作中，我發現有些小組討論流于形式，學生之間的互動不夠，缺乏深入的交流和合作。

3.教學評價單一：目前的教學評價主要依賴于隨堂測試，缺乏對學生學習過程的全面評價，這可能不利于學生全面發展和個性化學習。

反思改進措施（三）

1.深化理論教學：針對學生對理論知識理解不夠深入的問題，我計劃在今后的教學中，通過更多實例和練習，幫助學生深入理解排列組合和二項式定理的原理，并加強解題技巧的講解。

2.優化小組討論：為了提高小組討論的效果，我計劃在小組討論前提供更明確的任務和指導，鼓勵學生提出問題并積極尋求解決方案，同時加強對小組討論成果的評價，以激勵學生更積極地參與。

3.多元化教學評價：為了更全面地評價學生的學習情況，我計劃引入多種評價方式，如課堂表現、小組作業、學生自評和互評等，以形成對學生學習過程的全面了解，并據此提供個性化的反饋和指導。內容邏輯關系①排列組合的基本概念

-排列：指從n個不同的元素中，按照一定的順序取出m（m≤n）個元素的方法數。

-組合：指從n個不同的元素中，不考慮順序地取出m（m≤n）個元素的方法數。

②排列組合的計算公式

-排列數公式：P(n,k)=n!/(n-k)!

-組合數公式：C(n,k)=n!/[k!(n-k)!]

③二項式定理

-二項式定理：對于任何實數a和b，以及任何非負整數n，都有：

(a