第頁，共頁第19頁，共19頁高一數學（滿分：150分，考試時間：120分鐘）注意事項1.答卷前考生務必把自己的姓名，準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑：回答非選擇題時，用0.5毫米黑色跡簽字筆將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將答題卡交回.一?單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.已知向量滿足：，則（）A.1 B.3 C. D.10【答案】D【解析】【分析】根據數量積的運算律，結合模長公式求解即可.【詳解】由由，得，所以，故選：D．2.在中，角的對邊分別為，若，則（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據題意，由正弦定理求得，可得為等腰直角三角形，可求得.【詳解】由，得，即，所以，則，則為等腰直角三角形，所以，故選：B．3.在中，動點P滿足，則P點軌跡一定通過（）A.外心 B.內心 C.重心 D.垂心【答案】A【解析】【分析】由變形得，設的中點為，推出，點P在線段AB的中垂線上，再根據外心的性質可得答案.【詳解】因為，所以，所以，設的中點為，則，則，所以，所以點P在線段AB的中垂線上，故點P的軌跡過的外心.故選：A4.已知點為外接圓的圓心，且，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推導出是以為直角的等腰直角三角形，結合投影向量的定義可得出結果.【詳解】因為，所以，，即，即為的中點，所以是圓的直徑.又因為，所以是以為直角的等腰直角三角形.所以，，所以在上投影向量為.故選：B.5.已知非零向量滿足，向量在向量方向上的投影向量是，則與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由投影向量的計算方法，結合題干條件易得結果.【詳解】設非零向量夾角為，向量在向量方向上的投影向量是，則，又，解得．故選：C.6.在中，，，是所在平面內一點，，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據向量的數量積以及基本不等式求解即可.【詳解】，，，，，當且僅當，即，時等號成立，所以的最大值為.故選：D.7.在中，、分別在邊、上，且，，在邊上（不包含端點）．若，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設，其中，推導出，將代數式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因為在邊上（不包含端點），不妨設，其中，即，所以，，又因為，則，，其中、均為正數，且有，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，故則的最小值是.故選：A.8.已知點均在圓上，若有，則必有平分圓O.則滿足要求的的個數為（）A.0個 B.僅有1個 C.僅有2個 D.3個或以上【答案】C【解析】【分析】分，，三種情況討論可判定結論.【詳解】由，當時，兩向量共線反向，平分圓，符合題意，當，由，設圓的半徑為1，變形可得，兩邊平方可得，所以，解得，因為，所以，同理可得，，所以平分圓，若時，當為偶數時，只要分為對，每對共線，可得，比如過圓心的兩條直線與圓相交的四個點，滿足，但不平分圓，所認不一定平分圓，故不符合題意，當為奇數時，可分三個點，使這三個向量滿足，可得平分圓，另外剩余的一定是偶數點，由前面知道，這些點可分組，但不一定平分圓，故可得不一定平分圓，綜上所述，可得只有與符合題意，故選：C.【點睛】思路點睛：分類討論是解決本題的關鍵，掌握向量的有關運算與性質是基礎.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.關于同一平面內的任意三個向量，下列四種說法錯誤的有（）A.B.若，且，則C.若，則或D.【答案】ABC【解析】【分析】對A，根據向量的數量積不滿足結合律可判斷，對B，若，則不一定成立，對C，根據向量及向量模的概念可判斷，對D，由向量模的三角公式可判斷.【詳解】對于A：因為向量的數量積不滿足結合律，故選項A錯誤；對于B：若，則不一定成立，故選項B錯誤；對于C：，但是與不一定是共線同向或反向，故選項C錯誤；對于D：，故選項D正確；故選：ABC．10.在等腰中，已知，若分別為的垂心?外心?重心和內心，則下列四種說法正確的有（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據三角形各心的性質結合向量的加減法則即可求得.【詳解】A選項：為垂心，為高線的交點，則，選項A正確．B選項：，選項B正確；C選項：，選項C正確；D選項：，選項D錯誤；故選：ABC11.在銳角中，已知角的對邊分別為，且，，則下列說法正確的是有（）A.的外接圓的周長為B.的周長的取值范圍為C.的面積的取值范圍為D.的內切圓的半徑的取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】將條件式利用正弦定理和三角恒等變換求得，，對A，由正弦定理求解判斷；對B，利用正弦定理邊化角并結合角的范圍求解；對C，利用三角形面積公式結合正弦定理邊化角并結合角的范圍求解；對D，由內切圓，結合余弦定理，可得，結合B選項求解判斷.【詳解】由，得到，得到，由，得到，則，得到.因為為銳角三角形，則，且，得對于A選項：，即，外接圓周長為，故選項A錯誤；對于B選項：周長，，，，則，所以周長的取值范圍為.故選項B正確；對于C選項：的面積，，，，.故選項C正確；對于D選項：，得，因為內切圓，則，由選項B，知，，故選項D正確；故選：BCD．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面向量與的夾角為銳角，則實數的取值范圍是__________．【答案】且【解析】【分析】因夾角為銳角可知數量積大于0，但要去掉夾角為0的情況.【詳解】由題意知，得，當時，，得故答案為：且13.如圖，在中，，，為上一點，且滿足，若，，則的值為________.【答案】1【解析】【分析】由，為上一點，且滿足，可求得，再用及表示出及，進而求數量積即可.【詳解】由，可得，又，，三點共線，則有，由于，所以，即，又，且，，，故.故答案為：1.14.已知平行四邊形的面積為，，為線段的中點．若為線段上的一點，且，則的最小值為___________．【答案】【解析】【分析】利用向量的加減法運算，求出，即可得出，運用向量的數量積運算求出，再利用基本不等式求出的最小值，即可得出的最小值.【詳解】解：由題可知，平行四邊形的圖象如下：設，，，，則，所以，又，則有：，解得：，即，平行四邊形的面積為，即，，，即：，，即：，，即，所以，，當且僅當：時，取等號，的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查平面向量的應用，涉及向量加減法運算、向量的數量積運算和模以及運用基本不等式求最值，考查轉化思想和計算能力.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知向量滿足，設與的夾角為，（1）若對任意實數，不等式恒成立，求的值；（2）根據（1）中與的夾角值，求與夾角的余弦值．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）把不等式兩邊平方，將問題轉化為一元二次不等式恒成立問題，即可得解；（2）分別求出，再利用夾角公式即可得解．【小問1詳解】將不等式兩邊同時平方，得，即因為，與的夾角為，則恒成立，所以，化簡得，解得．【小問2詳解】由（1）知，則，，則，則，故與夾角的余弦值為.16.三角形在數學中是十分常用的圖形，將向量運用在三角形中同時會迸發出火花!（1）如圖1，在中，，點是上一點，且滿足：，以點為圓心，的長為半徑作圓交于點，交于點.若，求的值.（2）如圖2，在中，點分所成的比為，點為線段上一動點，若，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據題意，設，根據直角三角形和圓的性質可由求出的值，再分析得點為中點，從而求解.（2）根據平面向量線性運算法則得到，再由點分所成的比為，得到，即可得到，設，則，最后由基本不等式計算可得.【小問1詳解】設，則，，又，所以，又，所以，所以，所以．【小問2詳解】因為，又點分所成的比為，即，所以，則，設，則，當或時，當時，當且僅當，即時取等號．即的最小值為．17.三角形中，分別是角對邊，已知點是AB的中點，點在線段上，且，線段CD與線段交，（1）求角的大小；（2）若，求的值；（3）若點是三角形的重心，求的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理進行邊角互化，由三角函數值求角即得；（2）利用兩組三點共線，列出向量方程，由平面向量基本定理即可求得的值；（3）結合圖形和條件將化簡成，通過兩邊取平方，將化為，結合基本不等式即可求解.【小問1詳解】因為，所以由正弦定理可得，整理得，故，因為，所以.【小問2詳解】如圖，由題意可得，因為三點共線，故可設，又因三點共線，故，所以，故.【小問3詳解】因為所以，因為，所以，于是，兩邊平方化簡得：，當且僅當時取等號，所以，即.所以的最小值為.18.如圖，在中，點，分別是，的中點，點在線段上且是靠近點的一個三等分點，交于點，交于點．（1）用和表示；（2）若，求實數；（3）過點的直線與邊，分別交于點，，設四邊形的面積為，梯形的面積為，求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據及即可求解；（2）設，可得，根據三點共線可求，又根據，即可得實數的值；（3）設，可得是的中心，故，根據三點共線，得.由，，可得，根據及基本不等式求出的最小值，從而可求解.【小問1詳解】由題意可得，所以.【小問2詳解】設，由（1）得，所以,即.因為三點共線，所以，解得,所以，又.所以，解得.【小問3詳解】設，因為分別是的中點，所以是的重心，所以.因為三點共線，所以，即.所以，，所以.因為，所以，即,所以，當且僅當時等號成立，所以.19.在平面直角坐標系中，為坐標原點，對任意兩個向量.作：，，當不共線時，記以為鄰邊的平行四邊形的面積為；當共線時，規定.（1）已知，求；（2）若向量，求證：；（3）記，且滿足，求的最大值.【答案】（1）0；（2）證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）利用新定義計算即得.（2）由新定義證得，，即可證明.（3）設，并表示出，由新定義和三角恒等變換化簡計算可得，結合正弦函數的性質即可