20.1.1算法的定義五年制高等職業教育公共基礎課程教材《數學（第四冊）》問題探究小李想用銀行卡從自動取款機上取500元錢，由于他第一次用銀行卡取錢，所以向你求助，你能寫下用銀行卡取錢的具體步驟，幫助他順利取到錢嗎？試一試.1.算法算法是指用來解決問題的明確而有效的步驟，是解決問題的清晰指令.抽象概括例題講析例1

設計一個算法，求出1+2+3+…+10的值.思考交流你還有其他的算法解決例1的問題嗎？與同伴交流.例題講析例2

設計一個算法，任意輸入3個正實數，判斷分別以這3個數為三條邊長的三角形是否存在.例題講析例3

設計一個算法，任意輸入一個大于1的整數n，判斷它是否為質數.課堂練習1.設計一個算法，求出的值.2.寫出從12，3，-1，2，6，9，18，5，-3，17中搜索出數據5的一個算法.課堂小結1.

算法的概念2.如何設計一個算法20.1.2

變量與賦值五年制高等職業教育公共基礎課程教材《數學（第四冊）》問題探究在某檔娛樂節目開始時，主持人報：選手的初始分數為100.第一環節結束后，主持人報：選手分數加20.第二環節結束后，主持人報：選手分數加30.第三環節結束后，主持人報：選手分數減15.第四環節結束后，主持人報：選手分數加50.為了計算這名選手最后的得分，小明給出了下面的算法：第一步,S=100；

第二步,S=S+20；第三步,S=S+30；

第四步,S=S－15；第五步,S=S+50；

第六步,輸出S.你能理解小明的做法嗎？1.在解決問題的過程中，可以取不同數值的量稱為變量.2.給變量賦值的一般格式為

變量名=表達式，其中，符號“=”稱為賦值號，它的意義是將后面的表達式的值賦給變量.抽象概括思考交流賦值號“=”與我們熟悉的等號有何不同？

例題講析例1

請仔細閱讀下面的算法：

第一步，A=1，B=2，C=3；

第二步，A=A+B；

第三步，C=A+B+C；

第四步，輸出A，B，C.

問：最后輸出的A，B，C的值分別為多少？例題講析例2

設計一個算法，求出1+2+3+4+5的值.例題講析例3

金融作為現代生活不可或缺的行業，與我們的生活密切相關.李大爺現在手上有10000元人民幣，他按照定期一年，到期自動轉存的方式存入銀行，已知當前定期一年的利率為1.5%，那么5年后他連本帶利可以得到多少錢？你能設計一個算法，幫李大爺算一算嗎？（假設五年的利率不變）.課堂練習2.設計一個算法，求出的值.1.仔細閱讀下面的算法：第一步，n=1，S=1；第二步，n=n+1，S=S×n；第三步，n=n+1，S=S×n；第四步，輸出n，S.問：最后輸出的n，S的值各為多少？課堂小結1.

變量與賦值2.算法中的“變量”、“賦值號”與普通代數中的有何不同？20.1.3

算法的特征五年制高等職業教育公共基礎課程教材《數學（第四冊）》問題探究前面學習了一些算法，想一想，算法有哪些主要的特征呢？1.算法必須能在執行有限個步驟之后終止，即算法的步驟不能是無限的.2.算法的每一個步驟都是可執行的操作，即每一個步驟都可以在有限時間內完成.3.算法的每一步驟必須有確切的定義，不能存在歧義.抽象概括4.一個算法有0個、一個或多個輸入，以刻畫運算對象的初始情況，所謂0個輸入是指算法本身給出了初始條件.5.一個算法必須有一個或多個輸出，以反映對輸入數據加工后的結果.沒有輸出的算法是毫無意義的.抽象概括例題講析例1

設計一個算法，從輸入的5個數中找出最大值.例題講析例2

小明有9枚一元的硬幣，其中有一枚是假幣，比真幣略輕，你能用天平（不用砝碼，天平的左右兩個托盤都可以放物）將假幣找出來嗎？寫出解決這個問題的算法.思考交流想一想，用這種算法找出假幣，最多可能要稱幾次？還有沒有其他解決這個問題的算法，使得稱量的次數相對少一些呢？課堂練習1.試寫出求解一元一次方程

的一個算法.2.現有一只能裝3kg水的水桶和一只能裝5kg水的水桶，請你設計一個算法，從水塘里取出4kg水.課堂小結1.算法的特征2.算法的簡單應用20.2.1程序框圖的概念五年制高等職業教育公共基礎課程教材《數學（第四冊）》問題探究

雞兔同籠是我國古代數學專著《孫子算經》中的一個有趣的問題：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”這

四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數，有35個

頭；從下面數，有94只腳.問籠中雞和兔各有多少只？問題：你能設計一個解決這個問題的算法嗎？

你是怎樣描述你的算法的？

你能不能用圖示的方式來表示你的算法？試一試.1.程序框圖的基本概念

用規定的框、帶箭頭的線（也稱為流程線或指向線）以及說明文字來準確、直觀地表示算法的圖形，稱為算法的程序框圖，也稱為流程圖.抽象概括抽象概括圖形符號符號名稱符號表示的功能

起止框

表示一個算法的開始或結束

輸入、輸出框

表示算法中數據的輸入或者結果的輸出

處理框

賦值、計算等

判斷框根據給定的條件判斷:當條件成立時，程序沿“是”或“Y”方向執行；當條件不成立時，程序沿“否”或“N”方向執行

流程線

流程進行的方向2.程序框圖的標準圖形符號及功能

3.在用程序框圖表示算法時，必須遵循的一些共同規則：抽象概括（1）使用標準的圖形符號；（2）程序框圖一般按從上到下、從左到右的次序畫；（3）在程序框圖中，任意兩個程序框之間都存在流程線；（4）一般開始框只有一個出口，結束框只有一個進口，判斷框

有一個進口和兩個出口，其他框有一個進口和一個出口；（5）在圖形符號內使用的語言要簡練、清楚.例題講析例1

任意輸入一個大于1的整數n，判斷它是否為質數，請畫出這個

算法的程序框圖.

思考交流1.

在右側的程序框圖中，變量s的作用是什么？

2.

判斷框中條件“d<n且s=1”的真假如何判斷？

思維拓展

上一節的例3中，曾經用自然語言表示解決這個問題的算法，本例又用程序框圖表示解決這個問題的算法，請說一說這兩種表示算法的方式各有什么特點.

課堂練習

1.

給出如圖所示程序框圖，其功能是

（

）

A.求a－b的值

B.求b－a的值

C.求|a－b|的值

D.求|a|－|b|的值2.設計一個算法，輸入直角三角形兩條直角邊的長，輸出其斜邊的長，畫出這個算法的程序框圖.課堂小結1.

程序框圖的基本概念2.程序框圖的標準圖形符號及功能3.在用程序框圖表示算法時，必須遵循的一些共同規則20.2.2順序結構五年制高等職業教育公共基礎課程教材《數學（第四冊）》復習回顧

程序框圖的概念及各種框圖符號的功能？圖形符號符號名稱符號表示的功能

問題探究

下圖是例1給出的程序框圖的一部分，這一部分的結構有什么特點？順序結構的概念

順序結構是由若干個依次執行的步驟組成.它是最簡單的算法結構，也是任何一個算法都離不開的基本結構.抽象概括抽象概括

下圖就是一個順序結構.它表示先執行步驟A，再執行步驟B，是一種按順序執行的邏輯結構.特征：語句和語句，框與框之間按照自上而下的順序依次執行．例題講析例2

我們知道，如果三角形三條邊的長分別為a,b,c，那么由海倫公式

可知，這個三角形的面積為

，其中p為三角形

的半周長，即

.

利用海倫公式，設計一個求三角形面積

的算法，并畫出算法的程序框圖.例題講析例3

現在有一杯開水和一杯茶，請設計一個算法，將開水和茶對調，

也就是將開水裝在原來裝茶的杯子中，同時將茶裝在原來裝開

水的杯子中，并畫出這個算法的程序框圖.課堂練習1.

請你設計一個算法，輸入兩個非0實數，計算這兩個數加、減、乘、

除運算的結果，并畫出算法的程序框圖.2.

請你設計一個算法，輸入球的半徑，計算球的表面積和體積，并畫

出算法的程序框圖.課堂小結順序結構的概念和特征20.2.3選擇結構五年制高等職業教育公共基礎課程教材《數學（第四冊）》問題探究

下圖是例1給出的程序框圖的一部分，這一部分的結構有什么特點？選擇結構的概念

在一些算法中，經常會碰到對條件的判斷，算法的流程根據條件是否成立有不同的流向，選擇結構（也稱為分支結構、條件結構）就是處理這種過程的結構.抽象概括抽象概括

下圖是一個選擇結構.它表示當條件成立時，執行步驟A，當條件不成立時，執行步驟B.需要注意的是，在A、B兩個步驟中，只能有一個被執行.特征：(1)選擇結構中,含有一個判斷框,當條件滿足時執行語句A,當條件不滿足時執行語句B．(2)在A,B兩個語句中,只能有一個被執行,所以選擇結構仍然只有一個入口和一個出口．例題講析例2

我們知道，如果三角形三條邊的長分別為a,b,c，那么由海倫公式

可知，這個三角形的面積為

，其中p為三角形

的半周長，即

.

利用海倫公式，設計一個求三角形面積

的算法，并畫出算法的程序框圖.例題講析例4

設計一個求任意實數的絕對值的算法,并畫出程序框圖.例題講析例5

設計一個算法，在實數范圍內求一元二次方程,

的根，并畫出這個算法的程序框圖.課堂練習1．如圖所示為求某個函數f(x)的函數值的程序框圖，則其中函數f(x)的

解析式為

.課堂練習2.

任意給定3個正數，判斷分別以這3個數為三邊長的三角形是否存在，

畫出這個算法的程序框圖.課堂小結選擇結構的概念和特征20.2.4循環結構五年制高等職業教育公共基礎課程教材《數學（第四冊）》問題探究

下圖是例1給出的程序框圖的一部分，這一部分的結構有什么特點？1.循環結構的概念

在一些算法中，有時會出現從某處開始，按照一定的條件反復執行某些步驟的情況，這就是循環結構.反復執行的步驟稱為循環體.抽象概括抽象概括

2.兩種常見的循環結構抽象概括

2.兩種常見的循環結構

直到型循環：先執行循環體，然后再判斷條件是否滿足，如果不滿足，則繼續執行循環體，如此反復，直到條件滿足，該循環過程才結束.

當型循環：先判斷條件是否滿足，如果滿足，則執行循環體，然后再判斷條件是否滿足，如果仍滿足，則再次執行循環體，如此反復，直到條件不滿足時，該循環過程才結束.例題講析例6

設計一個算法，計算1+2+3+…+100的值，并畫出程序框圖.例題講析例7

某廠今年的利潤為100萬元，該廠的利潤以每年5%的增幅遞增，

計算10年后該廠的年利潤和今后10年該廠的總利潤.請畫出算法

的程序框圖.思考交流

如圖所示,

程序框圖用到了直到型循環結構，你能用當型循環結構來設計解決這個問題的算法嗎？試一試.抽象概括3.在循環結構中，常常用到下面幾個變量(1)

計數變量：用來記錄某個事件發生的次數，這個變量常常會含

在執行或終止循環體的條件中，如:i＝0；i＝i＋1(2)

累加變量：用來計算數據之和，如:

S=0（表示初始值為0，如果初始值為a，則S=a）

S＝S＋i（i為累加項）(3)

累乘變量：用來計算數據之積，如:

p＝1（表示初始值為1，如果初始值為a，則p=a）

p＝p×i（i為累乘項）課堂練習1．閱讀如下圖所示的程序框圖，若輸出

s

的值為－7，則判斷框內可

填寫().課堂練習2.設計一個算法，計算1×2×3×…×100的值，并畫出其程序框圖.課堂小結1.循環結構的概念2.兩種常見的循環結構3.循環結構中的三種常用變量20.2.5三種邏輯結構的特點五年制高等職業教育公共基礎課程教材《數學（第四冊）》復習回顧1.算法的概念與特征；2.給變量賦值的一般格式；3.三種邏輯結構的基本概念及表示．三種邏輯結構的特點：抽象概括

(1)只有一個入口和一個出口（菱形判斷框有兩個出口，而選

擇結構只有一個出口，不要將菱形框的出口和選擇結構的

出口混為一談）；三種邏輯結構的特點：抽象概括

(2)基本邏輯結構內的每一部分都有機會被執行到,即對每一個

框來說都應當有一條從入口到出口的路徑通過它；三種邏輯結構的特點：抽象概括

(3)基本邏輯結構內不允許存在死循環，所以循環結構中必定

包含一個選擇結構，用以判斷循環結束的條件.例題講析例8

某班有40名學生，依次輸入這40名學生的數學考試成績，輸出

全班學生的數學總分和平均分.請畫出解決這個問題的算法的程

序框圖.例題講析例9

滿足

，

，

的數列稱為斐波那契數列，

請畫出算法的程序框圖，依次輸出斐波那契數列的前100項.思考交流

1.

想一想，右側算法中，

所起的

作用是什么？這兩個步驟的先后次序可以

互換嗎？思考交流

2.

如果還想計算斐波那契數列前100項的和，

怎樣修改右側算法？課堂練習1.如果執行下面的程序框圖，輸入n＝6，m＝4，那么輸出的p等于().

A．720

B．360

C．240

D．120課堂練習2.設計一個算法，計算

的值，畫出其程序框圖.課堂小結三種邏輯結構的特點20.3算法與程序框圖應用舉例五年制高等職業教育公共基礎課程教材《數學（第四冊）》復習回顧1算法的概念與特征；2給變量賦值的一般格式；3三種邏輯結構的基本概念及表示．例題講析例1

（更相減損術）任意給定兩個正整數a，b，畫出求a，b的最大公約數的程序框圖.思考交流想一想，用“更相減損術”求最大公約數的數學道理是什么？例題講析例2（秦九韶算法）已知n次多項式

，設計一個算法，求當

時，多項式

的值，并畫出算法的程序框圖.課堂練習1.設計一個算法，任意輸入一個正整數，計算這個正整數的各位數字之和，請畫出算法的程序框圖.2.查閱相關資料，利用“轉輾相除法”設計一個算法，任意輸入兩個正整數a，b，求它們的最大公約數，畫出算法的程序框圖.例題講析例3某城市對居民的生活用水實行階梯式收費，標準為：當月生活用水20立方米以內(含20立方米)為第一級，按居民生活用水的供水價格收費；當月用水超過20立方米且低于或等于30立方米為第二級，超出部分按供水價格1.5倍收費；當月用水超過30立方米為第三級，超出部分按供水價格的2倍收費.如果該市居民生活用水的供水價格為每立方米1.24元，且每立方米用水另外加收城市附加費0.06元、污水處理費1.3元和水資源費0.2元.請設計一個算法，輸入某戶居民某個月的用水量，輸出這個月該戶居民所要繳納的水費.例題講析例4小王從今年開始，每年元旦的時候都將10000元獎金按照定期一年，到期自動轉存的方式存入銀行，連著存了5年，那么到第5年年終時，他連本帶利可以得到多少錢？你能設計一個算法，幫小王算一算嗎？（已知當前定期一年的利率為1.5%，且假設五年的利率不變）課堂練習3.某公園每天9∶00開園，20∶00停止入園，在下邊的程序框圖中，T表示整點時間，S表示某一天到該整點時入園的總人數，

表示該整點前1個小時內入園人數，則空白的執行框內應填入什么？

課堂練習4.

某班有40名學生，請設計一個算法，輸入每個學生的數學考試成績，分別統計不及格（得分區間)、及格得分區間)

、良好（得分區間

）、優秀（得分區間

）四個等第的學生人數.例題講析例5圓周長和直徑的比值稱為圓周率（π），它是一個常數，也是一個超越數.在歷史上，有不少數學家都對圓周率作過研究.到了現代，由于算法的改進和計算機科學的發展，π值計算精度也迅速提高.例如，利用萊布尼茨公式：就可以計算π的近似值.

設計一個算法，利用上面的公式，計算π的近似值，請畫出算法的程序框圖.例題講析例6（二分法）設計一個算法，求方程

在區間

上的一個近似解，請畫出算法的程序框圖.（要求近似解與精確解之間的誤差不超過0.001）

課堂練習5.設分段函數

設計一個算法，任意輸入一個實數

，輸出函數值

，請畫出算法的程序框圖.課堂練習6.設對正弦函數，我們有它的冪級數展開式：利用這個公式，設計一個算法，任意輸入一個實數

，計算sin的近似值，請畫出算法的程序框圖.（誤差小于

）課堂小結算法及其程序框圖的三種邏輯結構第20章算法與程序框圖-復習五年制高等職業教育公共基礎課程教材《數學（第四冊）》知識框圖內容要點1.算法的概念算法是指用來解決問題的一系列明確而有效的步驟，是解決問題的清晰指令.也就是說，能夠對一定規范的輸入，在有限步內獲得所要求的輸出.現代意義上的“算法”通常是指可以用計算機來解決的某一類問題的程序或步驟,這些程序或步驟必須是明確和有效的,而且能夠在有限步之內完成.值得注意的是求解某個問題的算法不一定唯一.內容要點2.變量和賦值在解決問題的過程中，可以取不同數值的量稱為變量.給變量賦值的一般格式為“變量名=表達式”，其中的符號“=”稱為賦值號，它的意義是將后面的表達式的值賦給變量.在一個算法中，可以給同一個變量先后多次賦值，但該變量最終的值只是最后一次所賦的值.

內容要點3.算法的特征（1）算法必須能在執行有限個步驟之后終止，即算法的步驟不能是無限的.（2）算法的每一個步驟都是可執行的操作，即每一個步驟都可以在有限時間內完成.（3）算法的每一步驟必須有確切的定義，不能存在歧義.（4）一個算法有0個、一個或多個輸入.所謂0個輸入是指算法本身給出了初始條件.（5）一個算法必須有一個或多個輸出.沒有輸出的算法是毫無意義的.

除以上特征外,算法還具有指向性.即算法往往用于解決某一類問題，泛泛地談

算法是沒有意義的.內容要點4.程序框圖用規定的框、帶箭頭的線（也稱為流程線或指向線）以及說明文字來準確、直觀地表示算法的圖形，稱為算法的程序框圖，也稱為流程圖.內容要點圖形符號符號名稱符號表示的功能

起止框表示一個算法的開始或結束

輸入、輸出框表示算法中數據的輸入或者結果的輸出

處理框賦值、計算等

判斷框框內填寫判斷條件,根據給定的條件判斷,在不同的情況下執行不同的運算

流程線流程進行的方向內容要點在用程序框圖表示算法時，必須遵循一些共同的規則，下面就是一些常用的規則：(1)使用標準的圖形符號；(2)程序框圖一般按從上到下、從左到右的次序畫；(3)在程序框圖中，任意兩個程序框之間都存在流程線；(4)一般開始框只有一個出口，結束框只有一個進口，判斷框有一個進口和兩個出口，其他框有一個進口和一個出口；(5)在圖形符號內使用的語言要簡練、清楚.我們可以用自然語言來描述算法，也可以用程序框圖來描述算法.用程序框圖表示算法，不僅直觀、形象、容易理解，而且可以清楚地展現算法的邏輯結構.