《復變函數與積分變換》課程實施大綱

目錄

1.教學理念.....................................................5

2.課程介紹....................................................5

3.教師簡介.....................................................5

4.先修課程....................................................5

5.課程目標.....................................................5

6.課程內容....................................................5

6.1課程內容概要.................................................6

6.2教學重點、難點、學時安排....................................6

7.教學實施.....................................................7

7.1教學單元一...................................................7

7.2教學單元二...................................................13

7.3教學單元三...................................................18

7.4教學單元四...................................................25

7.5教學單元五...................................................28

7.6教學單元六...................................................34

7.7教學單元七...................................................39

7.8教學單元八...................................................46

7.9教學單元九...................................................52

7.10教學單元十.................................................57

7.11教學單元十一................................................63

7.12教學單元十二...............................................69

7.13教學單元十三...............................................74

7.14教學單元十四...............................................83

7.15教學單元十五...............................................89

7.16教學單元十六...............................................94

7.17教學單元十七...............................................104

7.18教學單元十八...............................................109

7.19教學單元十九...............................................118

7.2()教學單元二十..............................................121

7.21教學單元二H.....................................................................................................128

7.22教學單元二十二.............................................134

8.課程學習要求..............................................139

9.課程考核方式及評分規則.....................................139

10.學術誠信規定..............................................140

11.課堂規范...................................................141

12.教學合約及學生簽名確認142

1.教學理念

展示知識的產生、發展過程;強調基本概念、基本理論、基本方法的掌

握；注重數學計算能力、學習能力的提高.

2.課程介紹

《夏變函數與積分變換》是工科類學校大部分專業的基礎專業課程.課

程基礎性強,理論體系比較成熟.復變函數與積分變換的概念、理論和方法，

特別是積分變換的計算方法，是學生后續專業課程學習的基礎和工具.學

習好復變函數與積分變換的理論和方法，對于進一步的學習和研究有十分

重要的意義和作用.

3.教師簡介

偏微分方程中有很強實際應用背景的雙曲型方程解的存在性、奇異性

等問題的研究.

4.先修課程：高等數學

5.課程目標

通過本門課程的學習，掌握復變函數與積分變換的基本概念、基本理論、

基本方法，進一步提高數學的學習能力、計算能力和應用能力.

6.課程內容

6.1課程的內容概要：復數概念和運算的擴展；復變函數的基本概念和

運算；復變函數導數、解析、奇點的概念，判別方法以及常見復變函數的概

念、性質和介紹；復變函數積分的概念、基本理論和計算方法；復級數收斂

的概念和判別方法，復變函數的Taylor展開以及Laurent展開；孤立奇點的

概念及分類，極點級數的概念及求法，復變函數在孤立奇點留數的概念、留

數的計算規則，復變函數積分的留數計算方法以及留數方法在定積分計算

中的應用.

函數的Fourier積分公式;Fourier變換和逆變換的定義；b-函數的概念

和性質，三角函數的Fourier變換和逆變換;Fourier變換和逆變換的性質；函

數的卷積和卷積定理；應用Fourier變換方法求解微積分方程；L叩lace變換

的概念及常見函數的Laplace變換；Laplace變換的性質;應用留數方法求函

第一講課時/課次：教學日期（學年/學期）

數的Ltiplace逆變換；Laplace變換函數的卷積及卷積公式；1電用Laplace變

換方法求解微積分方程.

6.2教學重點、難點：復變函數積分的基本理論和留數計算方法是課程

的重點.復變函數的Laurent展開及留數方法在積分計算中的應用是課程教

學中的難點.函數Fourier變換和逆變換、Laplace變換和逆變換的求法;

Fourier變換和Laplace變換的應用等內容是課程的重點,也是是課程的難點.

6.3學時安排:45學時

7.課程實施

復數的表示及運算2/12015-16/1

教學目標

一、熟悉復數基本代數運算；

二、了解復數的幾種表達形式及相關概念;

三、了解復數的方塞及方根運算.

教學內容

知識點：

一、復數代數運算；

二、非零復數模、輻角、輻角主值的概念；

三、復數三角形式、指數形式及Euler公式；

四、復數方哥及方根運算.

重點：

復數三角形式、指數形式.

難點：

復數方某及方根運算.

教學過程及教學方法

§1.1復數及其代數運算

一、復數的概念

1.虛數單位.對虛數單位的規定：

(1)Z2=-l.(2)，與室數在一起時,按同樣的法則進行四則運算.

2.復數：對于任意兩個實數兌》稱z=x+i)，或Z—+W?為復數。其中分別稱為

z=的實部和虛部，記作x=Re(z),y=

當x=O,y/0時，z=iy稱為純虛數；當y=0時，把z=看作實數.復數是

實數的推廣.

兩對于復數4+iy,z2=x2+zy2：=z2o=x2,=y2.

復數z=x+iy等于零：z=0ox=0,y=0.

說明：兩個都退化成實數(兩個復數的虛部同時為零)的復數可以比較大??；否則,

就不能比較大小.

二、復數的代數運算

設兩個復數Z1=再+小，z2=x2+(y2,貝|J

1.兩復數的和差：Zj±z2=(^±x!)+/(yl±y2);

2.兩復數的積：馬?4=(士->2)+7(X1,y2+,3i)-

3.共規復數：實部相同而虛部是相反數的兩個復數稱為共枕復數，即

z=x+i)，的共枕復數5=

例1計算復數z=x+i)，與其共規復數I=x-iy的乘積

解根據平方差公式，有22=(工+方＞(工一射)=/+)1.

結論：任何復數與其共枕的乘積是一個非負實數.

4.共枕復數的性質：

(1)Z|士Z2=Z|±Z”=Z].Z,,-\==\

\Z1)Z?

(2)z=z,ZZ=JC+y2,3

(3)z+z=2Re(z),z-z=2/Im(z).

5.兩復數的商：

Z_4?z?_x,x+.y,y,；WX一人4

一="一2y2r190-*

Z2^2Z2為+為毛+%

例2復數3—i的實部Re(3-i)=3,虛部Im(3-i)=-l,共初復數H=3+l,與其共扼

復數的乘積：(3-/)3+/=10.

商.\+j_=(l+j)(3—)=(l+i)(3+i)=2+々=1+2Z

3^7=(3-/)P-/)=(3-/)(3+Z)=10=-5-,

例3實數切取何值時，復數(“-3加-4)+《“-56-6)

是(1)實數；(2)純虛數？

解令x=nr—3m—4,y=nr-5m—6

（1）復數是實數，則復數的虛部），=0,由/-5m-6=0有機=6或加=一1.

（2）復數是純虛數，則x=0,），。0,由-3〃?一4=0有〃?=4或〃?=一1.

但由），工0知〃z=T應舍去，所以只有"7=4.

§1.2復數的幾何表示

1.復平面的定義

任意復數z=x+iy都與有序實數對（％），）一一對應。因此，一個建立了直角坐標系

的平面可以用來表示復數，通常把坐標系的橫軸稱為實軸或x軸，縱軸稱為虛軸或）,

軸.這種用來表示復數的平面稱為復平面.

2.復數的模（或絕對值）

復數z=x+B，可以用復平面上起點為原點，終點為表示該復數的點P（x,y）

所對應的向量前來表示。這個向量的長度稱為復數的?；蚪^對值，記作

r=|z|=7x2+y2.

對于復數的模，有匕村蟲|慟，^z=|z|2=|r.

3.復數的輻角

在復數z/0時，以正實軸為始邊，表示z的向量而為終邊的角的弧度數仇稱為

復

數z的輻角，記作=<9.

注意：任意復數zwO有無窮多個輻角.若用是復數z的任一個輻角，則該復數的

所有輻角4*=向+2"，其中攵是任意整數.

z=0時，輻角沒有定義.

在應用中，為了避免復數有無窮多個輻角所帶來的不方便，把ZHO的所有輻角中,

滿足條件-不<gW不的一個輻角9。稱為它的輻角主值，記作

4rgz=

復數輻角主值的確定:

(1)坐標軸上復數的情形;

(2)坐標象限里復數的情形：首先根據復數點所在象限確定輻角主值的范圍，然后

通過求解直角三角形求出角.

jr

例4arg3=0,Arg3=arg3+2k/r=lk7r\arg(-1)=肛arg(l+/)=—;

arg(5/)=^;arg(-z)=—y；arg(i-

arg(-Vl2-2/)=arg(-2G-2i)=arg2(-V3-i)=arg(-V3-/)=--5乃

~6

4.復數和差的模的性質

k-z2|表示兩個復數Z”Z2之間的距離，則有三角不等式

國一％||?區土馬|二㈤+㈤.

5.復數的三角表示和指數表示

利用直角坐標與極坐標的關系x=rcosS,y=〃sin&復數可以表示成三角形式:

z=r(cost9+/sini9),

其中尸二|z|,3二4'gz,利用實際應用中，一般取3=wgz.

根據Euler公式/=cosS+isina復數可以表示成指數形式:

z=r-e'9

例5求2=$由生+icosC的三角形式和指數形式

55

71713兀71.7171.3兀

解sin—=cos=cos—,cos—=sin--=--si-n—,

5105【25)10

3丫

故三角形式為z=cos包+isin包,指數形式為z=e'歷

1010

§1.3復數的乘累與方根

一、乘積與商

定理一兩個復數乘積的模等于它們的模的乘積；兩個復數乘積的輻角等于它們

的輻角的和.

定理二兩個復數的商的模等于它們的模的商；兩個復數的商的福角等于被除數

與除數的輻角之差.

例6已知馬=一(1一/\/5),Z?=sin工一cos^,求Z]z，—.

233z.

.71\.(7r\..

解由Z1=cos^-yl+/sin=cos——+zsin

I6)

、、

71

+/?s,m——71+zsin

I36;

二、事與根

1.n次呆:n個相同復數z=r(cos9+isin3)的乘積稱為z的n轅，記作z".

對正整數〃，有

z"=「"(cos+isin

規定z-"=L，當〃是負整數是時，上式也成立。

2.n次方根：對于z工0,方程”=z=r(cost9+zsin3)的根w稱為z的〃次方根，記作

w=0則有

S+2女萬..?9+2攵乃

w=<Jrcos------+/sin-------

Inn

其中k=0,1,2,—1.

推導過程如下：由于ZH0,設z=dcQs9+isin”則記2已知，且WHO.

記w=夕(cos°+isino),則有

pn(cos〃0+isinn(p)=r(cos<9+zsinS).

等式兩端同時取模，有p"二匚在正實數意義下，有夕=底.

在友數相等的意義下，有cos“°=cosS,sin=sin9則有

八、，<9+2%尸,八.c

〃夕=3+2k兀=0=--------,A：=0,1,2,???.

n

把對應相同角的女去掉，只保留不同的，有女=0,1,2,…，〃-1.

由此得到上述公式.

例7對正整數〃，化簡（i+/r+（i-z）\

71..71\71..71

解注意到l+i=gcos—+zsin—Lcos+zsin---

44)rI4

則有

（嚏?上稱22c.腰般犍配丁產-。

cEn7i..H7TH7r..n區

-22cos——+/sin——+cos-----zsin一

4444J

-n冗

=2-2-ccs——

4

例8記方程z2+/=0的兩個根為4,Z2,求|z「z?|的值

解由題意有Z]*2=W7.注意到T=—+/sin-

I2

2k九——2k兀——

2??2itxi

所以z.?z,=cos--------+zsin--------,k=(),I.

,222

71兀

由此得4=+/sin一,），

3冗..3%

=cos—+zsin——=-l+i).

44

則|Z,-Z2|=V2|1-/|=2.

作業安排及課后反思：

⑴歸納，總結重要概念，公式和方法.（2）第一章習題：2,6,8,14,15.

本課程使用教材：P2-17

區域及復變函數2/22015T6/1

教學目標

一、熟悉區域、簡單閉曲線等概念；

二、了解復變函數的概念及特點；

三、了解復變函數極限的概念及運算法則；

四、掌握復變函數連續的概念及性質.

教學內容

知識點：

一、區域、簡單閉曲線等相關概念；

二、復變函數的概念、性質；

三、復變函數極限；

四、復變函數連續性.

重點：

區域、簡單閉曲線、復變函數、復變困數極限、復變函數的連續性等概念.

難點：

復變函數極限、連續的判別方法及運算法則.

教學過程及教學方法

1.4區域

一、區域的概念

1.鄰域：復平面上以復數點4為中心，任意正實數b為半徑的圓|z-z/v5內部所有

點z的集合，稱為％的鄰域.

說明包括無窮遠點8,且滿足忖的所有點的集合，稱為無窮遠點的鄰域.

2.去心鄰域：滿足不等式0<|z-z°kS所有點z的集合，稱為％的空心鄰域.

說明不包括無窮遠點8,且滿足|z|>M的所有點的集合，稱為無窮遠點的空心鄰域.

也表示為Mv|z|vloo.

3.內點：如果點％存在一個鄰域是平面點集G的子集，則稱％是G的內點.

4.開集：如果G內每一點都是它的內點，則稱G為開集.

5.區域：如果平面點集D滿足以下兩個條件：

(1)。是一個開集；(2)。是連通的，即。中任何兩點都可以用完全屬于。的一

條線連結起來，

則稱。為一個區域.

圓域：圓環域：?<|z-zo|<6都是常用的區域.

6.邊界點、邊界：設。是復平面內的一個區域,如果點P不屬于。，但在戶的任意小

的鄰域內總有。中的點，這樣的P點稱為。的邊界點.0的所有邊界點組成。的邊

界.

說明(1)區域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點所組成的；

(2)區域與它的邊界一起構成閉區域.

7.有界區域和無界區域：如果一個區域。可以被包含在一個以原點為中心的圓內，即

存在何>0,使區域內的每一個點都滿足忖<M,稱。是有界的，否則稱為無界的.

二、單連通域與多連通域

1.連續曲線：如果x(z)和y(z)4是兩個連續的實變函數，則稱方程組：

[X=a<t<b表示的一條平面曲線為連續曲線.

平面曲線可以有復數表示：z=z(z)=x(z)+/y(/),a<t<b.

2.光滑曲線：對于上述平面曲線，如果在。工，4力上，/⑺和)，'(。都是

連續的，且對?的每一個值，有則稱曲線為光滑的.

由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為逐段(分段)光滑曲線.

3.簡單曲線：設C:z=z(/),是一條連續曲線，z(〃)與2(3分別稱為C

的起點和終點.

對于滿足〃的/尸￡有Z(G=Z(幻，則稱Z&)為曲線C的重點.

沒有重點的曲線C稱為簡單曲線(或若爾當曲線).

如果簡單曲線C的起點和終點重合，即z(a)=z(b),則稱曲線C為簡單閉曲線(自

身不相交).

簡單閉曲線的性質：任意一條簡單閉曲線C將復平面唯一地分成三個互不相交的

點集.

4.單連通域與多連通域的定義：

復平面上的一個區域。，如果在其中任作一條簡單閉曲線，而曲線的內部總屬于

就稱為單連通域.一個區域如果不是單連通域，就稱為多連通域.

§1.5復變函數

1.復變函數的定義：

設。是復數z=x+i)，的集合.如果有一個確定的法則使得對集合。中的每一個

復數z=x+都有一個或幾個復數“=〃十日與之對應，則稱復變數卬是z的函數，

簡稱復變函數，記作卬=〃z).

2.復變函數的多值性：

在復變函數中卬=/(z),如果一個z對應著一個“，的值，則稱函數是單值的；如

果一個Z對應著兩個或兩個以上卬值，則稱函數是多值的.

有多值的復變函數存在，如/(z)=正，/(z)=4rgz.

3.復變函數與實變函數之間的關系：

任何復變函數卬=/(z)總可以寫成

/(z)=w(x,>')+^(x,50-

因此一個復變函數對應于兩個二元實變函數.

4.反函數的定義：

對于復變函數w=/(z),如果是己知M，，需要去確定z的值，這樣就定義了一個新的

數z=9(z),稱為w=/(z)的反函數.

§1.6復變函數的極限和連續性

一、函數的極限

1.函數極限的定義

設復變函數卬=/(z)定義在4的去心鄰域Ojz-Zo|<夕內，如果對任意給定的

￡>0,存在一確定數4和一正數8(￡),使得當O〈|z-Zo|夕)時，成立

|/(Z)-A|<f,

則稱A為/(z)當Z趨向丁Z時的極限.記作

lim/(z)=A.

需要注意的是：在復平面上，ZTZ。的方式是任意的！

2.極限的相關定理

定理一設〃z)=〃(x,y)+ii，(x,y),A=/+%,z0=x0+^0,則

lim〃(4,)，)=〃()，

lim/(z)=A0J-/、

2%limv(x,y)=v.

-0

定理的作用在于把復變函數/(z)=〃(x,)，)+w(.*)，)的極限問題轉化為求兩個二

元實變函數的極限.

定理一若lim/(z),limg(z)存在，則

⑴

-r-0■r-0

⑶.室Hmg(z)wO

X/g(z)limg(z)':T與

L」Zf全

例9設〃=4+無則當Re(￡)=a<0時，有lim*=O.

證明由Euler公式，有

ep>=>"小>=d"(cos歷+1sin勿).

根據定理一，有

lim-=limeatcosht+/limea,sinbt.

注意到〃，/是實數，則

|cosb/|<1,|sinZ?z|<l,

即cos/sin歷是有界量.

又當Re（0=a<O時，&吧*=0,即當r―時，，“是無窮小量.則有

lime"cosbl=limea,sinbt=0.

JT田

所以當Re（4）=a<0時，㈣/=0.

類似的，當Re（尸）=a>0時,，㈣*二。

例如lim—wQ。，lime（i"=0.

二、函數的連續性

1.連續的定義

如果Hm〃z）=/（z。）,則稱函數〃z）在點馬連續.

2-*20

如果在區域。內每一點都連續，則稱/（z）在。內連續.

定理三函數/卜）=〃（乂田+山（1,），）在4=/+?0連續

<=>"（X,y）,v（x,y）在一,No）連續?

所有初等函數在有定義的點都是連續的！

定理四（1）在一點z0連續的兩個函數/（z）,g（z）的和、差、枳、商（分母在

點與不能為零）在點石也連續。

（2）如果函數〃=g（z）在點馬連續，函數卬=/（/?）在％=g（z0）連續，則復合函數

w=f（g（z））在點％連續.

重要結論：

⑴有理整函數（多項式）卬二戶卜尸死篙仔十生三十…+白?在復平面內所有點都連續；

⑵有理分式函數卬=坐,

其中P（z）,Q（z）都是多項式，在復平面內使分母不為零的

Q（z）

點連續.

作業安排及課后反思：

(1)歸納，總結重要概念和結論.(2)第一章習題：22,29,30.

本課程使用教材：P17-29

第三講課時/課次：教學日期(學年/學期)

解析函數2/32015-16/1

教學目標

一、了解復變函數導數的概念及求導方法；

二、掌握復變函數解析的概念以及確定奇點的方法；

三、掌握復變函數可導、解析的充要條件及條件的應用.

教學內容

知識點：

一、復變函數導數的概念及求導方法；

二、復變函數可導、可微、連續的關系；

三、復變函數解析，奇點的概念及確定奇點的方法；

四、復變函數可導、解析的充要條件及充要條件的應用.

重點：

復變函數奇點的概念及確定具體函數奇點的方法.

難點：

復變函數與實變函數導數的差異及復變函數可導、解析的充要條件.

教學過程及教學方法

§2.1解析函數的概念

一、復變函數的導數與微分

1.導數的定義：

設復變函數/(z)定義在區域。內，Zo，z0+Az是。內兩點，如果極限

lim

Az

存在，則稱/(z)在可導.這個極限值稱為/(z)在導數.記作

〃Zo+Az)-/(Zo)

r(%)=㈣

Az

在定義中應注意：4+Azf苞(<=>Azf0)的方式是任意的.即z°+Az在區域。內

“Zo+Az)-/(z。)都趨于同一個復數值.

以任意方式趨于4時，比值

Az

如果函數/(z)在區域。內處處可導，則稱/(z)在區域。內可導.

例1求/(z)=z2的導數

解對任意的z,都有

/(z+Az)-〃z)

f'(z)=lim

“'JAz->0Az

=.(小)」

Az

=lim(2z+Az)

=lim2z+limAz

Az->0

=2z.

所以對任意的z,/(z)=z2都可導，且有(Z2)'=2Z.

例2問/(z)=x+2yi是否可導？

解函數/(z)的實部〃(工,)，)=汽,虛部射(元,)，)=2，根據上一章的方法可知，實部

和

虛部對任意(尤)，)都連續,則/(z)是復平面上的連續函數，而且實部和虛部都是無窮

次可微函數，由他們所構成的復變函數/(z)是否可導呢?

根據復變函數導數的定義，有

一四=lim”吃〉)二/⑸

Az->0八7Az—>0AA

x+Ar+2(y+A.v)z-x-2yi

=lim

Az->0Az

△x+

=lim

—Av+Ay/

首先設Zo+Az沿著平行于x軸的直線趨于Z,則有

A/(z)[.

rhm——=hm——=I;

內->oAz-Ax

再設z0+Az沿著平行于y軸的直線趨于z,則有

4/(z)2A)，i

lim———=lim---=2.

x—oAZA'-?O

由此表明，當q十"沿著不|可方式趨于z時，極限值不|可.由此可知，極限不存在.

所以函數/(z)在任意z=x+iy的導數不存在.

2.可導與連續：

函數/(z)在4處可導則連續：但連續不一定可導.

證根據可導定義知，Vf>0,王5>0,50<|AZ|<^,有

./(ZO4-A3)-/(ZO)

令夕(及卜“劣+4卜則有

V￡〉0,>0,?0<|Az|<c>,[p（Az）|<￡ohmp（Az）=0

這時

,ZAZ+AZAZ

/(Z0+AZ)-/(Z0)=/(())P()-

所以Rq/(Zo+Az)=/(Zo),即〃z)在與連續.

3.求導法則：

由于復變函數中導數的定義與一元實變函數中導數的定義在形式上完全一致，并且

復變函數中的極限運算法則也和實變函數中一樣，因而實變函數中的求導法則都可

以不加更改地推廣到復變函數中來，且證明方法也是相同的.

例3求導

'z+1V(z+l)(z2-2z+3)-(z+l)(z2-2z+3)

<Z2-2Z+3)(Z2-2Z+3)2

(z2-2z+3)-(z+l)(2z-2'|

(Z2-2Z+3)2

_5-z2

=22

(Z-2Z+3)'

4.微分的概念：

復變函數微分的概念在形式上與一元實變函數的微分概念完全一致.

函數〃z)可導o可微.

二、解析函數的概念

1.解析函數的定義:如果函數/(z)在％以及4的一個鄰域內處處可導，則稱/(z)在

%解析.

如果函數“Z)在區域。內每一點都解析，則稱“Z)在區域。內解析，或稱“Z)

是區域。內的解析函數(全純函數，正則函數).

2.奇點的定義：函數/(z)不解析的點，統稱為〃z)的奇點.

根據定義可知：函數在區域內解析。區域內可導.

但是，函數在一點處解析與在一點處可導是不等價的.而函數在一點處解析比在該點

處可導的要求要高得多.

例4研究函數/(z)=z\g(z)=x+2yi,"(z)=|z『解析性.

解由本節例1和例3知：在復平面內/(z)=z2處處可導，也解析，而

g(z)=x+2yi處處不可導，也不解析.

下面從可導的定義開始來討論a(z)=|zf的解析性.

△〃《)二片+加|2田2

AzAz

Az

(zo+Az)(zo+Az)-zozo

Az

二—…—+江Az

『。誓=螞左=°"（z）=，可導?

(1)若z0=0,則蛀lim

Az

（2）若％工0,假設4+AZ沿著直線＞，-%=6%-不）趨于Z，則

=/一(Vo+AY-，△'+(拓+iy)

Az0A:^二+1？Ay

Ax-ikbx

=不一九十(1)Ax+(x0+%)

Ax+ikkx

l—ik

=/一九+（1-法）&+（同+認）

T+lk

由攵的任意性知，上式在AzfO時的極限不存在.因此,函數/?（z）=W僅僅在Z°=（）可

導，而在其他點都不可導.根據復變函數解析的定義可知，這個函數在復平面內處處

不解析.

定理（1）在同一個點或區域內解析的兩個函數的和、差、積、商（除去分母為零的

點）在該區域內解析；

（2）兩個解析函數的復合函數解析.

根據定理可知:

（1）多項式函數P（z）=%+4z+%z?+…+q；z"在復平面內處處解析;

（2）有理分式函數坐在復平面內除了分母為零的點不解析以外，其余點都解析,

Q（z）

分母為零的點：Q（z）=O是有理分式函數的奇點;

（3）一般分式函數4a的奇點由三部分構成：①分子〃z）的奇點；②分母

g（z）

g(z)的奇點；③分母的零點：g(z)=o.

另外，函數/(z)在簡單閉曲線C內解析o函數/(z)在C內沒有奇點o函數o

的所有奇點在C外.

§2.2函數解析的充要條件

一、主要定理

由上一節例2可知，有的看起來可導的函數，嚴格應用導數的定義標準來驗證，

發現卻處處不可導，所以復變函數可導或解析所需要的條件較多，要求很高.對于實

部和虛部已經分出來了，或者容易分出來的函數/(z)=〃ay)+a(x,)，)在判斷可導或

解析時，有

定理一定義在區域。內的函數/(2)=〃(尤)，)+加(尤)，)在點2=工+方可導

<=>在點(x,y),(1)函數〃(工,)，)#(4,)，)可微；出滿足Cauchy-Riemann方程

-d-u=-d-vd-u-=--d-v-

dxdy'dydx'

定理必要性和充分性的證明.

在定理一的證明過程中可知，若函數/(2)="(%)，)+立，(尢)，)在點27+加可導，則有

導數公式：

/，⑵二包+i包二!包+包.

oxdxidydy

定理二定義在區域。內函數/(2)=〃(尤)，)+小(蒼)，)解析=

在區域。內⑴函數可微；⑵滿足Cauchy-Riemann方程.

判定函數解析的方法：

(1)如果直接用求導公式和求導法則在區域內求出了函數的導數，則根據解析函數

的定義可斷定/(z)在。內解析.

(2)對函數/(z)=w(x,y)+zv(A-,y),如果〃(x,y),u(x,y)在。內的各一階偏導存在且

連續，并滿足Cauchy-Riemann(C-R)方程，則根據函數解析的充要條件可斷定了(z)

在。內解析.

二、典型例題

例5判定下列函數在何處可導，在何處解析：

(1)/(z)=z,(2)〃z)=e'(cosy+isiny),(3)/(z)=z-Re(z).

解⑴/(z)=z,〃(x,y)=x,v(x9y)=-y.則有

包小包.0,@_0,@二T.

dxdydxdy

由此可知，偏導存在且連續，在任意點(X,)，)可微，但是不滿足柯西一

黎蛀方程,故/(z)=W在復平面內處處不可導，也處處不解析.

(2)f^z)=ex(cosy+isiny),u(x,y)=excosy,u(x,y)=e'siny.則有

dudu.dv.加丫

—=ercosy,—=-exsiny,—=exsiny,—=ecosy.

dxdydxdy

四個偏導數均處處存在且連續，故可微，而且也處處滿足C-R方程.則根據定理可

知，函數在復平面內處處可導，處處解析.且由導數公式有

(z)=ex(cosy+zsiny)=/(z).

(3)/(z)=z-Re(z)=x'+ixy,=v(x,y)=xy,則

du-duAdvdv

dxdydx'dy

四個偏導數均處處存在且連續，故可微.但是僅當x=y=0時，滿足C-R方程，故函

數/(z)=z-Re(z)僅在z=0處可導，在復平面內處處不解析.

例6如果尸(z)在區域o內處處為零，則/(z)在區域。內為常數.

證由已知條件

，(吟+哈熱/。

有卷二^=篙=京二。因此"(x,y)#(x,y)是常數，則/(z)在區域。內是常數.

作業安排及課后反思

(1)歸納，總結重要概念和結論.(2)第二章習題：3,4,6,10.

本課程使用教材：P35-44

第四講課時/課次：教學日期(學年/學期)

初等函數2/42015-16/1

教學目標

一、掌握幾個常見初等復變函數的定義及計算公式；

二、掌握初等復變函數的主要性質；

三、掌握Euler公式及其應用.

教學內容

知識點：

一、復指數函數的定義及性質；

二、復對數函數的定義公式、計算公式及解析性；

三、復三角函數的定義、性質；

四、Euler公式.

重點：

初等復變函數的定義、計算及解析性質.

難點：

復對數函數的解析性、復三角函數的計算.

教學過程及教學方法

§2.3初等函數

一、指數函數

1.指數函數的定義：ez=ex~,y=ex(cosy+/siny).

2.性質

加法定理：/?e2z=e*22；

周期性：。源.=""E二*k是任意整數.

解析性：在復平面解析.

二、對數函數

1.定義指數函數卬=爐的反函數，即已知“，，求z稱為對數函數，記作:

z=Lnw.

由于對任意z,WHO,則已知的w后指數形式

w=卜qe,9,3=Argy\\

記未知的2二%+加，則有

何/9母.

對上式兩端取模，并注意到復指數函數的周期性，有

[H|=e"=x=In網--eiy=y=3+2k兀、

注意到.9=Arg卬，可記8=Argw.ill此有

=In[H]+滔出爾

按照表示函數值和自變量所用字母的習慣，有對數函數

Lnz=\n\z\+iArgz.

由此可知，(z#O)是無窮多值函數.一般可取對數上值為

lnz=]n\z\+iargz.

這時有Lnz=Inz+2km.

例7求L〃2,L〃(T)以及相應主值。

解Lfi2=\n\^+iArg2=]n2+2k7riy

L/7(-l)=ln|-l|+泊rg(-1)=lnl+z'(2^+arg(-1))=(2^+1)^/.

主值：加2=In2,/〃(一1)=汨.

例8求解方程=

解由e:-1-/V3=0=>e:=\+i>/3=>z=Ln[\+iyj3^

=z=lnI+i\/5|+i4rg(1+i>/5)=z=ln2+i[2A/r+〃g(l+i\/5)]

71I

=>z=In2+z2k7i+—=>z=\n2+i2k+—Dr,

3I3)

2.性質

(1)4?z,)=Lnz14-Lnz2;

⑵Ln—=Lnz]-Lnz^;

z2

⑶上位的各個分支在除去負實軸及原點的復平面內解析，且有

(inz)'=—,(L/JZ)*=—.

3.典型問題

⑴函數史三的奇點？

z+1

⑵函數皿：+1)在圓。閆二r<1內解析嗎?

z2+l11

⑶函數一二)在單位圓c：|z|=l內解析?

Z2+2Z+411

三、三角函數和雙曲函數

n,y

1.三角函數的定義由e=cosy+isiny,e~=cosy-isinyt有

一廠

cosy=----------,siny

2"2i'

把上述函數中的自變量推廣到復數，有

ei:+e~iz_eiz-e-iz

sinz

22i'

2.性質

⑴根據定義，有cost=~~—,,所以，|cosz|<l,|sinz|Ml不再成立,除非z取

2

實值.

⑵除了⑴與實值不同以外，復正弦函數和余弦函數具有實值時完全相同的性質,

比如

奇偶性：cos(-z)=cosz,sin(-z)=-sinz.

周期性：cos(z+2^-)=cosz,sin(z+2^-)=sinz.

三角公式：cos2z=cos2z-sin2z,sin2z=2coszsinz.

求導公式：(cosz)=-sinz,(sinz)=cosz.

⑶正弦和余弦函數在復平面內解析.求等的奇點？

z~+1

3.其他函數的類似定義

⑴正切，余切函數：

⑵雙曲正弦，余弦函數：

作業安排及課后反思

(1)歸納，總結重要概念和結論.(2)第二章習題：12,15,18.

本課程使用教材：P45-51

第五講課時/課次：教學日期(學年/學期)

積分概念及基本定理2/52015-16/1

教學目標

一、了解復變函數積分的概念；

二、熟悉復變函數積分的性質；

三、掌握Cauchy-Goursat基本定理.

教學內容

知識點：

一、復變函數積分概念及存在條件；

二、復變函數積分的性質；

三、直接計算復變函數積分的典型例題；

四、CauchyGoursat基本定理.

重點：

復變函數積分的性質、Cauchy-Goursat基本定理.

難點：

復變函數積分概念、Cauchy-Goursat基本定理.

教學過程及教學方法

§3.1復變函數積分的概念

一、積分的定義

1.有向曲線：

設C為平面上給定的一條光滑（或按段光滑）曲線，如果選定C的兩個可能方向中

的一個作為正方向（或正向），那么我們就把C理解為帶有方向的曲線，稱為有向曲

線.

如果A到B作為曲線C的正向，那么B到A就是曲線C的負向,記為C-.

關于曲線方向的說明：

在今后的討論中,常把兩個端點中的一個作為起點，另一個作為終點，除特殊

聲明外，正方向總是指從起點到終點的方向.

簡單閉曲線正向的規定：如無特殊申明均是指逆時針方向為正方向.

2.積分的定義：

設復變函數w=/（z）定義在區域。內，C